If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

აბსოლუტური მინიმუმისა და მაქსიმუმის მიმოხილვა

მიმოიხილეთ, როგორ გამოვიყენოთ დიფერენციალური კალკულუსი, რომ ვიპოვოთ აბსოლუტური ექსტრემუმები (მინიმუმი და მაქსიმუმი).

როგორ ვიპოვოთ აბსოლუტური მინიმუმი და მაქსიმუმი დიფერენცილური კალკულუსით?

აბსოლუტური მაქსიმუმის წერტილი ის წერტილია, სადაც ფუნქცია უდიდეს შესაძლო მნიშვნელობას იღებს. ამის მსგავსად, აბსოლუტური მინიმუმის წერტილი ის წერტილია, სადაც ფუნქცია უმცირეს შესაძლო მნიშვნელობას იღებს.
დავუშვათ, უკვე იცით, როგორ იპოვოთ ლოკალური მინიმუმი და მაქსიმუმი, თუმცა აბსოლუტური ექსტრემუმის წერტილის პოვნა კიდევ ერთ ნაბიჯს მოიცავს: ბოლოების განხილვას ორივე მიმართულებით.
გინდათ, მეტის ისწავლოთ აბსოლუტური ექსტრემუმისა და დიფერენციალური კალკულუსის შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.

დახურულ ინტერვალზე აბსოლუტური ექსტრემუმის პოვნა

ვაიერშტრასის თეორემა გვეუბნება, რომ უწყვეტმა ფუნქციამ უნდა მიიღოს აბსოლუტური მინიმუმისა და მაქსიმუმის მნიშვნელობები ჩაკეტილ ინტერვალზე. ეს ექსტრემუმის მნიშვნელობები მიიღება ან ინტერვალის ლოკალურ ექსტრემუმის წერტილზე, ან ინტერვალის ბოლოებზე.
მაგალითისთვის ვიპოვოთ h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x-ის აბსოლუტური ექსტრემუმი minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 ინტერვალზე.
h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, ასე რომ, კრიტიკული წერტილებია x, equals, minus, 2 და x, equals, 1. ისინი ჩაკეტილ ინტერვალს minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 სამ ნაწილად ჰყოფენ:
ინტერვალიx-ის მნიშვნელობაh, prime, left parenthesis, x, right parenthesisდასკვნა
minus, 3, is less than, x, is less than, minus, 2x, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fractionh, prime, left parenthesis, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, 21, divided by, 2, end fraction, is greater than, 0h იზრდება \nearrow
minus, 2, is less than, x, is less than, 1x, equals, 0h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0h მცირდება \searrow
1, is less than, x, is less than, 3x, equals, 2h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0h იზრდება \nearrow
ახლა მოდით, შევხედოთ ინტერვალის კრიტიკულ წერტილებსა და ბოლოებს:
xh, left parenthesis, x, right parenthesis-მდეშემდეგდასკვნა
minus, 39minus\nearrowმინიმუმი
minus, 220\nearrow\searrowმაქსიმუმი
1minus, 7\searrow\nearrowმინიმუმი
345\nearrowminusმაქსიმუმი
ჩაკეტილ ინტერვალზე minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3, left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis და left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis წერტილები ლოკალური მინიმუმებია და left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis და left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis - ლოკალური მაქსიმუმები.
left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis უმცირესი ლოკალური მინიმუმია, ასე რომ, იგი არის აბსოლუტური მინიმუმის წერტილი და left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis არის უდიდესი ლოკალური მაქსიმუმი, ასე რომ, იგი არის აბსოლუტური მაქსიმუმის წერტილი.
ყურადღება მიაქციეთ, რომ აბსოლუტური მინიმუმის მნიშვნელობა მიიღება ინტერვალის შიგნით და აბსოლუტური მაქსიმუმი მიიღება ბოლოებზე.
ამოცანა 1
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, minus, 3, x, squared, plus, 12
რას უდრის f-ის აბსოლუტური მაქსიმუმის მნიშვნელობა open bracket, minus, 2, comma, 4, close bracket ინტერვალზე?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

აბსოლუტური ექსტრემუმის პოვნა მთლიან განსაზღვრის არეზე

ყველა ფუნქციას არ აქვს აბსოლუტური მაქსიმუმის ან მინიმუმის წერტილი განსაზღვრის მთლიან არეზე. მაგალითად, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x წრფივ ფუნქციას არ აქვს აბსოლუტური მინიმუმი ან მაქსიმუმი (მას ნებისმიერი სიდიდის მნიშვნელობა აქვს).
თუმცა, ზოგ ფუნქციას მართლაც აქვს აბსოლუტური ექსტრემუმი. მოდით, მაგალითისთვის გავაანალიზოთ g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript ფუნქცია.
g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, ასე რომ, ერთადერთი კრიტიკული წერტილია x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.
ინტერვალიx-ის მნიშვნელობაg, prime, left parenthesis, x, right parenthesisდასკვნა
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesisx, equals, minus, 1g, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 2, divided by, e, cubed, end fraction, is less than, 0g მცირდება \searrow
left parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 0g, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 1, is greater than, 0g იზრდება \nearrow
მოდით, წარმოვიდგინოთ g-ის გრაფიკზე მოძრაობა განსაზღვრის არეს უკიდურესი მარცხენა მხრიდან (minus, infinity-დან) უკიდურეს მარჯვენა მხარემდე (plus, infinity-მდე).
დავიწყებთ ქვევით გადაადგილებას, სანამ x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction-ს მივაღწევთ. შემდეგ უსასრულოდ ზევით ვიმოძრავებთ. ასე რომ, g-ს აბსოლუტური მინიმუმის წერტილია x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. ფუნქციას არ აქვს აბსოლუტური მაქსიმუმის მნიშვნელობა.
გინდათ, მეტი ისწავლოთ განსაზღვრის არეზე აბსოლუტური ექსტრემუმის შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.
ამოცანა 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction
რას უდრის g-ს აბსოლუტური მაქსიმუმი ?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.