If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

აბსოლუტური მინიმუმისა და მაქსიმუმის მიმოხილვა

მიმოიხილეთ, როგორ გამოვიყენოთ დიფერენციალური კალკულუსი, რომ ვიპოვოთ აბსოლუტური ექსტრემუმები (მინიმუმი და მაქსიმუმი).

როგორ ვიპოვოთ აბსოლუტური მინიმუმი და მაქსიმუმი დიფერენცილური კალკულუსით?

აბსოლუტური მაქსიმუმის წერტილი ის წერტილია, სადაც ფუნქცია უდიდეს შესაძლო მნიშვნელობას იღებს. ამის მსგავსად, აბსოლუტური მინიმუმის წერტილი ის წერტილია, სადაც ფუნქცია უმცირეს შესაძლო მნიშვნელობას იღებს.
დავუშვათ, უკვე იცით, როგორ იპოვოთ ლოკალური მინიმუმი და მაქსიმუმი, თუმცა აბსოლუტური ექსტრემუმის წერტილის პოვნა კიდევ ერთ ნაბიჯს მოიცავს: ბოლოების განხილვას ორივე მიმართულებით.
გინდათ, მეტის ისწავლოთ აბსოლუტური ექსტრემუმისა და დიფერენციალური კალკულუსის შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.

დახურულ ინტერვალზე აბსოლუტური ექსტრემუმის პოვნა

ვაიერშტრასის თეორემა გვეუბნება, რომ უწყვეტმა ფუნქციამ უნდა მიიღოს აბსოლუტური მინიმუმისა და მაქსიმუმის მნიშვნელობები ჩაკეტილ ინტერვალზე. ეს ექსტრემუმის მნიშვნელობები მიიღება ან ინტერვალის ლოკალურ ექსტრემუმის წერტილზე, ან ინტერვალის ბოლოებზე.
მაგალითისთვის ვიპოვოთ h(x)=2x3+3x212x-ის აბსოლუტური ექსტრემუმი 3x3 ინტერვალზე.
h(x)=6(x+2)(x1), ასე რომ, კრიტიკული წერტილებია x=2 და x=1. ისინი ჩაკეტილ ინტერვალს 3x3 სამ ნაწილად ჰყოფენ:
ინტერვალიx-ის მნიშვნელობაh(x)დასკვნა
3<x<2x=52h(52)=212>0h იზრდება
2<x<1x=0h(0)=12<0h მცირდება
1<x<3x=2h(2)=24>0h იზრდება
ახლა მოდით, შევხედოთ ინტერვალის კრიტიკულ წერტილებსა და ბოლოებს:
xh(x)-მდეშემდეგდასკვნა
39მინიმუმი
220მაქსიმუმი
17მინიმუმი
345მაქსიმუმი
ჩაკეტილ ინტერვალზე 3x3, (3,9) და (1,7) წერტილები ლოკალური მინიმუმებია და (2,20) და (3,45) - ლოკალური მაქსიმუმები.
(1,7) უმცირესი ლოკალური მინიმუმია, ასე რომ, იგი არის აბსოლუტური მინიმუმის წერტილი და (3,45) არის უდიდესი ლოკალური მაქსიმუმი, ასე რომ, იგი არის აბსოლუტური მაქსიმუმის წერტილი.
ყურადღება მიაქციეთ, რომ აბსოლუტური მინიმუმის მნიშვნელობა მიიღება ინტერვალის შიგნით და აბსოლუტური მაქსიმუმი მიიღება ბოლოებზე.
ამოცანა 1
f(x)=x33x2+12
რას უდრის f-ის აბსოლუტური მაქსიმუმის მნიშვნელობა [2,4] ინტერვალზე?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

აბსოლუტური ექსტრემუმის პოვნა მთლიან განსაზღვრის არეზე

ყველა ფუნქციას არ აქვს აბსოლუტური მაქსიმუმის ან მინიმუმის წერტილი განსაზღვრის მთლიან არეზე. მაგალითად, f(x)=x წრფივ ფუნქციას არ აქვს აბსოლუტური მინიმუმი ან მაქსიმუმი (მას ნებისმიერი სიდიდის მნიშვნელობა აქვს).
თუმცა, ზოგ ფუნქციას მართლაც აქვს აბსოლუტური ექსტრემუმი. მოდით, მაგალითისთვის გავაანალიზოთ g(x)=xe3x ფუნქცია.
g(x)=e3x(1+3x), ასე რომ, ერთადერთი კრიტიკული წერტილია x=13.
ინტერვალიx-ის მნიშვნელობაg(x)დასკვნა
(,13)x=1g(1)=2e3<0g მცირდება
(13,)x=0g(0)=1>0g იზრდება
მოდით, წარმოვიდგინოთ g-ის გრაფიკზე მოძრაობა განსაზღვრის არეს უკიდურესი მარცხენა მხრიდან (-დან) უკიდურეს მარჯვენა მხარემდე (+-მდე).
დავიწყებთ ქვევით გადაადგილებას, სანამ x=13-ს მივაღწევთ. შემდეგ უსასრულოდ ზევით ვიმოძრავებთ. ასე რომ, g-ს აბსოლუტური მინიმუმის წერტილია x=13. ფუნქციას არ აქვს აბსოლუტური მაქსიმუმის მნიშვნელობა.
გინდათ, მეტი ისწავლოთ განსაზღვრის არეზე აბსოლუტური ექსტრემუმის შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.
ამოცანა 1
g(x)=ln(x)x
რას უდრის g-ს აბსოლუტური მაქსიმუმი ?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.