If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 7: ჩაზნექილობისა და გადაღუნვის წერტილების გაანალიზება
მათემატიკა
დიფერენციალური კალკულუსი
ფუნქციების გაანალიზება
ჩაზნექილობისა და გადაღუნვის წერტილების გაანალიზება
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

მეორე რიგის წარმოებულის გაანალიზება გადაღუნვის წერტილების საპოვნელად

Google–ის საკლასო ოთახი
ისწავლეთ, როგორ გამოიყენება ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული, რომ ვიპოვოთ ფუნქციის გადაღუნვის წერტილები. ისწავლეთ, რომელ გავრცელებულ შეცდომებს უნდა მოვერიდოთ ამ დროს.
ფუნქციის გადაღუნვის წერტილები შეგვიძლია, ვიპოვოთ მეორე რიგის წარმოებულის პოვნით.

მაგალითი: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript-ის გადაღუნვის წერტილების პოვნა

ნაბიჯი 1: მეორე რიგის წარმოებულის პოვნა
f-ის გადაღუნვის წერტილების საპოვნელად უნდა გამოვიყენოთ f, start superscript, prime, prime, end superscript:
f′(x)=5x4+203x3f′′(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)\begin{aligned} f'(x)&=5x^4+\dfrac{20}{3}x^3 \\\\ f''(x)&=20x^3+20x^2 \\\\ &=20x^2(x+1) \end{aligned}
ნაბიჯი 2: ყველა კანდიდატის პოვნა
კრიტიკული წერტილების მსგავსად, ეს ის წერტილებია, სადაც f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 ან f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis განუსაზღვრელია.
f, start superscript, prime, prime, end superscript ნულია x, equals, 0-სა და x, equals, minus, 1-ზე და განსაზღვრულია ყველა ნამდვილ რიცხვზე. ასე რომ, x, equals, 0 და x, equals, minus, 1 არაა ჩვენი კანდიდატები.
ნაბიჯი 3: ამოზნექილობა-ჩაზნექილობის გაანალიზება
ინტერვალიx-ის შესამოწმებელი მნიშვნელობაf, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesisდასკვნა
x, is less than, minus, 1x, equals, minus, 2f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0f ამოზნექილია \cap
minus, 1, is less than, x, is less than, 0x, equals, minus, 0, comma, 5f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 2, comma, 5, is greater than, 0f ჩაზნექილია \cup
x, is greater than, 0x, equals, 1f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0f ჩაზნექილია \cup
ნაბიჯი 4: გადაღუნვის წერტილების პოვნა
ახლა, როცა ვიცით ინტერვალები, სადაც f ჩაზნექილი ან ამოზნექილია, შეგვიძლია, ვიპოვოთ გადაღუნვის წერტილები (ე.ი. ამოზნექილობა-ჩაზნექილობა იცვლება).
  • f ამოზნექილია, სანამ x, equals, minus, 1, მას შემდეგ ჩაზნექილია და განსაზღვრულია x, equals, minus, 1-ზე. ასე რომ, f-ს გადაღუნვის წერტილი აქვს x, equals, minus, 1-ზე.
  • f ჩაზნექილია x, equals, 0-მდეც და შემდეგაც, ასე რომ, აქ არ გვაქვს გადაღუნვის წერტილი.
ჩვენი შედეგი შეგვიძლია, დავასაბუთოთ f-ის გრაფიკზე შეხედვით.
ამოცანა 1
ოლგას სთხოვეს ეპოვა, თუ სად აქვს f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript-ს გადაღუნვის წერტილები. ეს არის მისი ამონახსნი:
ნაბიჯი 1:
f′(x)=4(x−2)3f′′(x)=12(x−2)2\begin{aligned} f'(x)&=4(x-2)^3 \\\\\\ f''(x)&=12(x-2)^2 \end{aligned}
ნაბიჯი 2: f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0-ის ამონახსნი არის x, equals, 2.
ნაბიჯი 3: f-ს გადაღუნვის წერტილი აქვს x, equals, 2-ზე.
ოლგას ნაშრომი სწორია? თუ არა, რა არის შეცდომა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: კანდიდატების არშემოწმება

გახსოვდეთ: არ უნდა ჩავთვალოთ, რომ ნებისმიერი წერტილი, სადაც f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (ან f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis განუსაზღვრელია), გადაღუნვის წერტილია. კანდიდატები უნდა შევამოწმოთ, რომ ვნახოთ, იცვლის თუ არა მეორე რიგის წარმოებული მიმართულებას ამ წერტილებზე და არის თუ არა ფუნქცია განსაზღვრული მათზე.
ამოცანა 2
რობერტს სთხოვეს, ეპოვა, თუ სად აქვს g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cube root of, x, end cube root-ს გადაღუნვის წერტილები. ეს არის მისი ამონახსნი:
ნაბიჯი 1:
g′(x)=13x−23g′′(x)=−29x−53=−29x53\begin{aligned} g'(x)&=\dfrac13x^{-\frac23} \\\\\\ g''(x)&=-\dfrac29x^{-\frac53} \\\\ &=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}} \end{aligned}
ნაბიჯი 2: g, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0-ს არ აქვს ამონახსნი.
ნაბიჯი 3: g-ს არ აქვს გადაღუნვის წერტილი.
სწორია რობერტის ნაშრომი? თუ არა, რა არის მისი შეცდომა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: იმ წერტილების არჩართვა, რომლებზეც წარმოებული განუსაზღვრელია

გახსოვდეთ: ჩვენი გადაღუნვის წერტილობის კანდიდატებია ის წერტილები, რომლებზეც მეორე რიგის წარმოებული უდრის ნულს, და ის წერტილები, რომლებზეც წარმოებული განუსაზღვრელია. იმ წერტილების უგულებელყოფა, რომლებზეც მეორე რიგის წარმოებული განუსაზღვრელია, ხშირად მოგვცემს არასწორ პასუხს.
ამოცანა 3
ტომს სთხოვეს, ეპოვა, აქვს თუ არა h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 4, x-ს გადაღუნვის წერტილი. ეს არის ამოხსნა:
ნაბიჯი 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 4
ნაბიჯი 2: h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, 0, ასე რომ, x, equals, minus, 2 პოტენციური გადაღუნვის წერტილია.
ნაბიჯი 3:
ინტერვალიx-ის შესამოწმებელი მნიშვნელობაh, left parenthesis, x, right parenthesisდასკვნა
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, 2, right parenthesisx, equals, minus, 3h, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0h ამოზნექილია \cap
left parenthesis, minus, 2, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 0h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 4, is greater than, 0h ჩაზნექილია \cup
ნაბიჯი 4: h ამოზნექილია x, equals, minus, 2-მდე და ჩაზნექილია x, equals, minus, 2-ის შემდეგ, ასე რომ, h-ს გადაღუნვის წერტილი აქვს x, equals, minus, 2-ზე.
სწორია ტომის ნაშრომი? თუ არა, რა არის მისი შეცდომა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: მეორე რიგის წარმოებულის ნაცვლად პირველი რიგის წარმოებულზე დაკვირვება

გახსოვდეთ: როცა გადაღუნვის წერტილებს ვუყურებთ, ყოველთვის უნდა გავაანალიზოთ, თუ სად იცვლის ნიშანს მეორე რიგის წარმოებული. ამის გაკეთება პირველი რიგის წარმოებულზე გვაძლევს ლოკალური ექსტრემუმების წერტილებს და არა — გადაღუნვის წერტილებს.
ამოცანა 4
დავუშვათ, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 12, x, cubed, minus, 42, x, squared, plus, 7.
x-ის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს g-ს გრაფიკს გადაღუნვის წერტილი?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.