If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 7: ჩაზნექილობისა და გადაღუნვის წერტილების გაანალიზება

მეორე რიგის წარმოებულის გაანალიზება გადაღუნვის წერტილების საპოვნელად

ისწავლეთ, როგორ გამოიყენება ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული, რომ ვიპოვოთ ფუნქციის გადაღუნვის წერტილები. ისწავლეთ, რომელ გავრცელებულ შეცდომებს უნდა მოვერიდოთ ამ დროს.
ფუნქციის გადაღუნვის წერტილები შეგვიძლია, ვიპოვოთ მეორე რიგის წარმოებულის პოვნით.

მაგალითი: f(x)=x5+53x4-ის გადაღუნვის წერტილების პოვნა

ნაბიჯი 1: მეორე რიგის წარმოებულის პოვნა
f-ის გადაღუნვის წერტილების საპოვნელად უნდა გამოვიყენოთ f:
f(x)=5x4+203x3f(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)
ნაბიჯი 2: ყველა კანდიდატის პოვნა
კრიტიკული წერტილების მსგავსად, ეს ის წერტილებია, სადაც f(x)=0 ან f(x) განუსაზღვრელია.
f ნულია x=0-სა და x=1-ზე და განსაზღვრულია ყველა ნამდვილ რიცხვზე. ასე რომ, x=0 და x=1 არაა ჩვენი კანდიდატები.
ნაბიჯი 3: ამოზნექილობა-ჩაზნექილობის გაანალიზება
ინტერვალიx-ის შესამოწმებელი მნიშვნელობაf(x)დასკვნა
x<1x=2f(2)=80<0f ამოზნექილია
1<x<0x=0,5f(0,5)=2,5>0f ჩაზნექილია
x>0x=1f(1)=40>0f ჩაზნექილია
ნაბიჯი 4: გადაღუნვის წერტილების პოვნა
ახლა, როცა ვიცით ინტერვალები, სადაც f ჩაზნექილი ან ამოზნექილია, შეგვიძლია, ვიპოვოთ გადაღუნვის წერტილები (ე.ი. ამოზნექილობა-ჩაზნექილობა იცვლება).
  • f ამოზნექილია, სანამ x=1, მას შემდეგ ჩაზნექილია და განსაზღვრულია x=1-ზე. ასე რომ, f-ს გადაღუნვის წერტილი აქვს x=1-ზე.
  • f ჩაზნექილია x=0-მდეც და შემდეგაც, ასე რომ, აქ არ გვაქვს გადაღუნვის წერტილი.
ჩვენი შედეგი შეგვიძლია, დავასაბუთოთ f-ის გრაფიკზე შეხედვით.
ამოცანა 1
ოლგას სთხოვეს ეპოვა, თუ სად აქვს f(x)=(x2)4-ს გადაღუნვის წერტილები. ეს არის მისი ამონახსნი:
ნაბიჯი 1:
f(x)=4(x2)3f(x)=12(x2)2
ნაბიჯი 2: f(x)=0-ის ამონახსნი არის x=2.
ნაბიჯი 3: f-ს გადაღუნვის წერტილი აქვს x=2-ზე.
ოლგას ნაშრომი სწორია? თუ არა, რა არის შეცდომა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: კანდიდატების არშემოწმება

გახსოვდეთ: არ უნდა ჩავთვალოთ, რომ ნებისმიერი წერტილი, სადაც f(x)=0 (ან f(x) განუსაზღვრელია), გადაღუნვის წერტილია. კანდიდატები უნდა შევამოწმოთ, რომ ვნახოთ, იცვლის თუ არა მეორე რიგის წარმოებული მიმართულებას ამ წერტილებზე და არის თუ არა ფუნქცია განსაზღვრული მათზე.
ამოცანა 2
რობერტს სთხოვეს, ეპოვა, თუ სად აქვს g(x)=Ax3-ს გადაღუნვის წერტილები. ეს არის მისი ამონახსნი:
ნაბიჯი 1:
g(x)=13x23g(x)=29x53=29Ax53
ნაბიჯი 2: g(x)=0-ს არ აქვს ამონახსნი.
ნაბიჯი 3: g-ს არ აქვს გადაღუნვის წერტილი.
სწორია რობერტის ნაშრომი? თუ არა, რა არის მისი შეცდომა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: იმ წერტილების არჩართვა, რომლებზეც წარმოებული განუსაზღვრელია

გახსოვდეთ: ჩვენი გადაღუნვის წერტილობის კანდიდატებია ის წერტილები, რომლებზეც მეორე რიგის წარმოებული უდრის ნულს, და ის წერტილები, რომლებზეც წარმოებული განუსაზღვრელია. იმ წერტილების უგულებელყოფა, რომლებზეც მეორე რიგის წარმოებული განუსაზღვრელია, ხშირად მოგვცემს არასწორ პასუხს.
ამოცანა 3
ტომს სთხოვეს, ეპოვა, აქვს თუ არა h(x)=x2+4x-ს გადაღუნვის წერტილი. ეს არის ამოხსნა:
ნაბიჯი 1: h(x)=2x+4
ნაბიჯი 2: h(2)=0, ასე რომ, x=2 პოტენციური გადაღუნვის წერტილია.
ნაბიჯი 3:
ინტერვალიx-ის შესამოწმებელი მნიშვნელობაh(x)დასკვნა
(,2)x=3h(3)=2<0h ამოზნექილია
(2,)x=0h(0)=4>0h ჩაზნექილია
ნაბიჯი 4: h ამოზნექილია x=2-მდე და ჩაზნექილია x=2-ის შემდეგ, ასე რომ, h-ს გადაღუნვის წერტილი აქვს x=2-ზე.
სწორია ტომის ნაშრომი? თუ არა, რა არის მისი შეცდომა?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: მეორე რიგის წარმოებულის ნაცვლად პირველი რიგის წარმოებულზე დაკვირვება

გახსოვდეთ: როცა გადაღუნვის წერტილებს ვუყურებთ, ყოველთვის უნდა გავაანალიზოთ, თუ სად იცვლის ნიშანს მეორე რიგის წარმოებული. ამის გაკეთება პირველი რიგის წარმოებულზე გვაძლევს ლოკალური ექსტრემუმების წერტილებს და არა — გადაღუნვის წერტილებს.
ამოცანა 4
დავუშვათ, g(x)=x412x342x2+7.
x-ის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს g-ს გრაფიკს გადაღუნვის წერტილი?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.