გამრავლების თვისებები და კანონზომიერებები

უნდა გავარკვიოთ, რამდენი ბუშტი გვაქ აქ. შეგვიძლია, უბრალოდ დავთვალოთ, თუმცა სხვაგვარადაც შეგვიძლია ამის გადაჭრა. რადგან ბუშტები რიგებად არის დაწყობილი. ასეთ დროს ჯობია გავაკეთოთ შემდეგი რამ. კი არ დავთვალოთ, არამედ უბრალოდ გავამრავლოთ სვეტებისა და რიგების რაოდენობა, ან სვეტებისა და სტრიქონების როდენობა. დათვლა ხშირად ძალიან რთული არის და მიაქვს საკმაოდ დიდი დრო. მაგრამ, უფრო მარტივი ხდება ეს ყველაფერი, როცა, სვეტებს დავთვლით, სტრიქონებს დავთვლით და გადავამრავლებთ მათ რაოდენობას ერთმანეთზე. აი მაგალითად, აი აქ ხედავთ, რომ გვაქვს ერთი, ორი, სამი და ოთხი რიგი. ეს არის რიგების რაოდენობა. ხოლო სვეტებს რაც შეეხება გვაქვს 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 სვეტი. გვაქვს შვიდი სვეტი და ოთხი რიგი. შეხედეთ ამას, როგორც მაგალითად ოთხ რიგს, ანუ ერთგვარ განლაგებას ობიექტების, ისე რომ ნივთების ოთხი რიგი გვაქვს და შვიდი სვეტი. შეიძლება, გახსოვთ, რომ შეგვიძლია, დავთვალოთ, ნივთების საერთო რაოდენობა შემდეგნაირად. ჯერ დავთვალოთ სვეტები და შემდეგ რიგები და ბოლოს გადავამრავლოთ ისინი ერთმანეთზე. ანუ ოთხი რიგი გამრავლებული შვიდ სვეტზე, იქნება სრული რაოდენობა ამ ბუშტების. და რატო მუშაობს ეს? და რატომ გვაძლევს ეს ნივთების სრულ რაოდენობას? მოდი, დავფიქრდეთ ახლა ამაზე. ესე იგი, როგორც ხედავთ გვაქვს ოთხი რიგი, ამ ნივთების, და გვაინტერესებს ახლა, რამდენი ნივთი არის თითოეულ რიგში? ვიცით რომ ოთხი რიგია და თითოეულში რიგში რამდენი ნივთია გვაინტერესებს. ვიცით რომ თითოეულში არის შვიდი, ხომ? ესე იგი, შვიდის ოთხი ჯგუფი გვაქვს და პირიქითაც იგივეა. დავთვალოთ სვეტები. გვაქვს შვიდი ცალი სვეტი, და გვაინტერესებს, რამდენი ნივთია თითოეულ სვეტში? და აღმოვაჩენთ, რომ გვაქვს შვიდი ცალი ჯგუფი ოთხი ნივთის. ანუ ვიცით რომ ორივე გზით ერთსა და იმავე პასუხს მივიღებთ, ნივთების ერთსა და მივაე რაოდენობას. ანუ საბოლოო პასუხი ორივე ერთი რაღაცის ტოლია. ოთხჯერ შვიდი ტოლი უნდა იყოს, შვიდჯერ ოთხის. ამ ამოცანის ბევრნაირად გამოთვლა შეგვიძლია. შეგვიძლია, დავთვალოთ მაგალითად ოთხობით. ვთქვათ და მივყვეთ და უბრალოდ ოთხები შევკრიბოთ — 4, 8, 12, 16, 20, 24, და 28. შვიდი ცალი ოთხიანია ნახეთ: 1, 2, 3, 4, 5, 6 და 7. ანუ 28 ვიღებთ შვიდი ცალი ოთხიანის შეკრებით. ნუ დავითვალეთ, რომ 28 ნივთი ყოფილა. და ანალოგიურად შეგვიძლია, დავთვალოთ შვიდობით. ანუ დავიწყოთ შვიდით, შემდეგი იქნება 14, შემდეგი იქნება 21 და ბოლოს 28. თუ დავამატებთ ყველა ჯერზე შვიდს და ესე ოთხჯერ გავაკეთებთ, მივიღებთ 28 ნივთს. მოდი ახლა, ეს იგივე ფერით აღვნიშნოთ. ესე იგი, მივიღეთ ორივე გზით 28 ნივთი. მაგრამ თუ ისეთი შემთხვევა გვაქვს, როცა არ გვინდა ამ ხერხის გამოყენება; თუ ვთქვათ გვიჭირს ამ ხერხის გამოყენება, ან არ ვიცთ რამდენი არის ოთხჯერ შვიდი, ხომ? რაც მომავალში იმედია აუცილებლად ისწავლით. მაშინ შეგვიძლია, ეს დავანაწევროთ. ისეთ ნაწილებად, დავანაწევროდ რომელთა შეკრება ან გამრავლება უფრო მარტივია. ალბათ მიხვდებოდით, რომ შვიდი სვეტი არის იგივე, რაც ხუთი სვეტი და შემდეგ ორი სვეტი. ანუ, შვიდი სვეტი შეიძლება დავინახოთ, როგორც ხუთ სვეტს... აი აქ ხუთი სვეტი გამოვყოთ მოდი. აი, ეს იყოს ხუთი სვეტი. ხუთ სვეტს დამატებული ორი სვეტი. ესე იგი, ერთი ხუთი სვეტი გამოვყავით და კიდევ ეხლა გამოვყოფთ ორ სვეტს. ესე იგი, ოთხჯერ შვიდი, იგივე არის, რაც ოთხი გამრავლებული ხუთს პლუს ორზე. ოთხჯერ შვიდი არის იგივე, მოდი დავწეროთ, ოთხჯერ შვიდი იგივეა, რაც ოთხი გამრავლებული ხუთს პლუს ორზე. ახლა რა გავაკეთეთ? უბრალოდ შვიდი შევცვალეთ მისი სხვა ჩანაწერით. ანუ, ხუთს პლუს ორით. უბრალოდ შეიცვალა ამ ჩანაწერით. მეტი არაფერი არ გვიქნია. ახლა, რატომ არის ეს საინტერესო? ახლა შეგვიძლია, რომ ის დავყოთ ცალკეულ ნაწილებად. ანუ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ აი ნახეთ, ეს არის ოთხი რიგი და ორი სვეტი. ერთი ჯგუფი გავაკეთეთ ესეთი და მეორე ეს არის, ოთხი რიგი და ხუთი სვეტი. აი ნახეთ, ორ გარკვეულ ნაწილად დავყავით. რამდენი საგანი არის აი ეხლა, აი ამ ყვითელ რაღაც ჯგუფში; გაერთიანებაში? აქ არის ოთხჯერ ხუთი საგანი. იმიტო რომ ოთხი რიგია და ხუთი სვეტი. ესე იგი, ყვითელ ნაწილში, ან სივრცეში არის ოთხჯერ ხუთი საგანი. როგორც ხედავთ, აი, თუ დათვლით გამოჩნდება. ანუ თვითონ რიგებს და სვეთებს თუ დათვლით მანდ. ხოლო ამ ნარინჯისფერ ნაწილში არის ოთხჯერ ორი. იმიტომ რომ ისევ თუ დათვლით გვაქვს, ოთხი ცალი რიგი ამ ნარინჯისფერში და ორი სვეტი. თუ ავიღებთ ოთხჯერ ხუთისა და ოთხჯერ ორის ჯამს, რას მივიღებთ? მივიღებთ ოთხჯერ შვიდს. ჩვენ მივიღებთ ოთხჯერ ხუთს პლუს ოთხჯერ ორს. და ეს არის იგივე, რაც ოთხჯერ შვიდი. მოდი ავიღოთ ამათი ჯამი. თავდაპირველად ესენი გავამრავლოთ ოღონდ, ჯერ გავამრავლოთ. ამიტომ, ფრჩხილებში ჩავსვამ. ესე იგი ეს იქნება, მოდი ვნახოთ, რა იქნება ეს? რისი ტოლი იქნება? ერთმანეთის ტოლი არის ცხადია, იმიტომ რომ, ერთი და იგივე ალტერნატიული ჩანაწერებია. და შეგვიძლია ახლა დავწეროთ უბრალოდ, რა არის ოთხჯერ ხუთი. ოთხჯერ ხუთი არის 20. გადავწეროთ რომ 20-ია. ოთხჯერ ორი არის რვა და გამოგვივიდა 20-ს პლუს რვა. ანუ, უბრალოდ ორი რიცხვის ჯამი. და შეიძლება ვთქვათ რომ, ნუ ეს გასაგებია, ოთხჯერ შვიდი მართლაც არის 28. რაც იგივეა. იგივეა რაც, ოთხი გამრავლებული ხუთს პლუს ორზე. ეს იგივეა, რაც ოთხი გამრავლებული ხუთზე პლუს ოთხი გამრავლებული ორზე. და ამას ქვია განრიგებადობის კანონი. ოთხჯერ ხუთს პლუს ოთხჯერ ორი იგივეა, რაც ოთხჯერ ხუთს პლუს ორი, ხომ? შეგვიძლია, გავაკეთოთ ერთ-ერთ პირველი აი ეს მეთოდით, და მივიღებთ პასუხს. მაგრამ, რატომ არის დანაწევრების კანონი, აი ეხლა რომელიც გავიგეთ სასარგებლო, გმოთვლის ან გამრავლების დროს? აი ეს არის, საინტერესო. მოდი, ოდნავ უფრო რთულ ამოცანას მოგცემ. და ამით შეიძლება უფრო უკეთ წარმოჩნდეს ეს ყველაფერი. მოდი, წაარმოვიდგინოთ, რომ გვინდა გავამრავლოთ, ვთქვათ გავაკეთოთ ესეთი მაგალითი, ექვსი გავამრავლოთ 36-ზე. მოდი, ექვსი გავამრავლოთ 36-ზე. რას უდრის ექვსჯერ 36? ამის გაგება გვინდა. როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს? 36 დავშალოთ ორ ჯგუფად ან ორ შემადგენელ რიცხვად. და უფრო მარტივი იქნება ამ ექვსისა და ამ დაშლილი რიცხვების გამრავლება. მაგალითად, 36 არის იგივე, რაც 30-ს პლუს ექვსი. ესე იგი, ეს ტოლი იქნება ექვსჯერ, ეს ტოლი იქნება, ისევ ექვსის გამრავებას გადავწერწერთ, მაგრამ 36-ს შევცვლით სხვანაირი ჩანაწერით. ეს იგივეა, რაც 30 პლუს ექვსი. და ეხლა ვნახოთ, ეს რა იქნება. ახლახან ვნახეთ, რომ პირველად ჯერ ესენი ემატება ერთმანეთს. და ეს ტოლი იქნება ექვსჯერ ანუ, ესენი ხომ ფრჩხილებში ერთმანეთს ემატება? მაგრამ, ჩვენ შეგვიძლია, გადავანაწილოთ; გადავამრავლოთ ეს ექვსიანი. შესაბამისად, განრიგებადობის კანონს მივმართავთ ისევ. ამიტომ, გვექნება ექვსჯერ 30-ს დამატებული ექვსჯერ ექვსი. უბრალოდ გადავანაწილეთ, ორივე წევრი. დაუკვირდთ, ჩვენ გადავანაწილეთ ექვსი, ანუ გადავანაწილეთ 30-ზეც და ექვსზეც. თითოეულ წევრზე გადავამრავლეთ. ექსიანი გადავამრავლეთ თითოეულ წევრზე. რატომ არის ეს სასარგებლო? მოდი ეხლა ეს ჩავსვათ ფრჩხილებში. ჯერ გამრავლებები შევასრულოთ; პირველად გამრავლებას ვაკეთებთ. ესე იგი, როცა ხედავთ გამრავლებას, მიმატებას, გაყოფას ან გამოკლებას, თავდაპრველად უნდა გააკეთოთ გამრავლება ან გაყოფა, შემდეგ მიმატება ან გამოკლება. კარგი, რამდენი არის ექვსჯერ 30? ნუ ამის გამოთვლა მარტივია. ექვსჯერ სამი ვიცით, რომ 18-ის ტოლია და ექვსჯერ 30 უნდა იყოს 180-ის ტოლი. უბრალოდ, ათჯერ მეტი. ექვსჯერ ექვსი, ახლა ვნახოთ ექვსჯერ ექვსი რას უდრის, ეს არის 36. და გადავედით შედარებოთ მარტივ ამოცანაზე. უბრალოდ უნდა შევკრიბოთ მიღებული ორი რიცხვი. ანუ, უნდა შევკრიბოთ 180 და 36. რამდენი იქნება ეს? ექვსი ინება აქ, რვას პლუს სამი 11-ია ერთს ვწერთ ერთს ვიმხსოვრებთ და ბოლოს, ერთ პლუს ერთი ორი. მივიღეთ, რა? მივიღეთ 216. ანუ ესე იგი, გავერკვიეთ, რომ თურმე 36-ჯერ ექვსი ტოლი ყოფილა 216-ის. ანუ, ვისწავლეთ, როგორ შეიძლება გავამარტივოთ გარკვეული გამოსახულება, როცა რიცხვს წარმოვაჩენთ, განსხვავებული ჩანაწერით. უფრო მარტივი ჩანაწერით, ვთქვათ, ორი რიცხვის ჩანაწერი. იმედია, ეს მეთოდი გასაგებია. ეს არის უბრალოდ განრიგებაობის კანონი. შეგიძლიათ, ეს დამოუკიდებლადაც გამოიყენოთ, შეგიძლიათ ვიზუალიზაციის გარეშეც გამოიყენოთ. თუმცა, ზოგჯერ ვიზუალიზაციაც კარგი იქნება. და ეს ხერხი ძალიან ამარტივებს, ხშირად, გარკვეულ გამოთვლებს. (სუბტიტრები შექმნილია მარიამ აბაშიძის დახმარებით)