|a - b| = |b - a| გამოსახულების სისწორის დამტკიცება

იმედი მაქვს, რომ ამ ვიდეოში დავამტკიცებ რომ |a-b|=|b-a| (a-b-ს მოდული უდრის b-a–ს მოდულს) ნებისმიერი a და b რიცხვებისთვის. სანამ ამას მივადგებით, უფრო მარტივი იდეა განვიხილოთ. მაგალითად, მაქვს რიცხვი x. x ვიყენებ ისევე, როგორც a და b–ს მოკლედ, x–ის მოდული იქნება იგივე, რაც -x–ის მოდული. დარწმუნებით რომ ვილარაპაკოთ ამაზე, დავხაზოთ რიცხვითი ღერძი. ესაა ჩვენი რიცხვითი ღერძი. აქ არის 0. x რომ 0 იყოს, მაშინ ეს ორივე 0 იქნებოდა და ეს გამოსახულება სწორი იქნებოდა. მაგრამ თუ x დადებითია, მაშინ -x იქნება 0–ს იმავე მანძილით დაშორებული მარცხნივ. x–ის აბსოლუტური მნიშვნელობა იქნება ეს მანძილი. –x–ის აბსოლუტური მნიშვნელობა იქნება იგივე მანძილი, ოღონდ მარცხენა მხარეს. გამოდის, ეს ორი რამ ტოლია. ახლა, თუ x არის უარყოფითი, ჩავახატოთ, რომ x არის უარყოფითი, ანუ, არის აქ. თუ x არის უარყოფითი, მაშინ, რა იქნება –x? -x იქნება ამის მოპირდაპირე, 0–ს იმავე მანძილით დაშორებული, ოღონდ მარჯვნივ. ცოტა უცნაურად ჩანს აქ მინუსიანი x მაგრამ თუ x არის უარყოფითი, მაშინ მინუს მინუს x არის დადებითი. ნებისმიერ შემთხვევაში, ხედავთ, რომ ამათი მოდული მაინც ერთი და იგივეა. მოდული ხომ უბრალოდ 0–სგან დაშორებაა. ეს მანძილი მაინც არის ამ მანძილის ტოლი. ეს მანძილი არის x–ის მოდული, ეს კი –x–ის მოდული. მოკლედ, ეს ორი რამე ტოლია. თუ ამას ეთანხმებით, გადავიდეთ ამ გამოსახულებაზე. დავიწყოთ a - b–ს მოდულით. ცოტა დაბლა ჩავწეროთ, რომ ადგილი მეყოს. |a -b| არ მინდა ვთქვა, a დადებითია თუ უარყოფითი, მაგრამ ასე შემიძლია ამის გადმოწერა: –(–a)-b გამოსახულების მოდული. დავაკვირდეთ და დავრწმუნდეთ, რომ გვესმის ახლა რაც გავაკეთე. ეს a იგივეა, რაც მთელი ეს გამოსახულება, მინუს მინუს a. მინუს უარყოფითი იქნება დადებითი, გამოდის დადებითი a. მოკლედ, არაფერი არ შემიცვლია არსობრივად. მაგრამ თვითონ ეს რისი ტოლია? ნახეთ, მინუსის გარეთ გატანა შეგვიძლია. გამოვა, რომ ეს უდრის მოდულს გამოსახულებისა – (–a + b) (b გახდება დადებითი, თუ - გაგვაქვს) რატომ გავაკეთეთ ეს? ჩვენ უკვე ვნახეთ, რომ –x და x-ის მოდულები ერთი და იგივეა. ამიტომ, ამ გამოსახულების მოდულიც იქნება იგივე, რაც ეს გამოსახულება მინუსის გარეშე. აქაც ხომ იგივეა: უარყოფითი x–ის მოდული იგივეა, რაც x–ის მოდული. ამიტომ, მინუს უარყოფითი a + b–ს მოდული იქნება იგივე, რაც მინუს a + b–ს მოდული. რაც, თავის მხრივ, იგივეა, რაც b-a-ს მოდული უბრალოდ, ადგილებს ვუცვლით. აი, ასე დავასრულეთ. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ |a-b|=|b-a| კარგი იქნება, თუ ცდით ამის შემოწმებას სხვადასხვა რიცხვებით, რიცხვითი ღერძით და ა.შ. აქ რაც გავაკეთეთ არის უბრალოდ მინუსის ფრჩხილებს გარეთ გატანა და იმის გააზრება, რომ ამ ორი გამოსახულებიდან ერთი დასკვნა გამომდინარეობს.