მოდული, როგორც მანძილი

ამ ვიდეოში მინდა გაგავარჯიშოთ იმაზე, რომ რიცხვების სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა იგივეა რაც მანძილი ორ რიცხვს შორის. ჩამოთვლილთაგან, რომელი გამოსახულებაა იგივე, რაც |a - b|? შეგახსენებთ, რომ ეს გამოსახულება, ანუ a-სა და b-ს სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა იგივეა, რაც მანძილი a-დან b-მდე. ესეიგი, იგივეა, რაც ეს მანძილი. -- a-b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა, იგივე, რაც b-a-ს მნიშვნელობა -- რომელი გამოსახულებაა იგივე? პირველში შედის a-ს აბსოლუტურ მნიშვნელობას მინუს b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა. რა არის a-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა? ეს არის მანძილი a-დან ნულამდე. ესეიგი ეს მანძილი ტოლი იქნება a-ს აბსოლუტური მნიშვნელობის. b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა კი იქნება ეს მანძილი. თუ ავიღებთ a-სა და b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობების სხვაობას, დაგვრჩება ეს მანძილი. ეს მანძილი არის a-ს აბსოლუტურ მნიშვნელობას გამოკლებული b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა. a-ს აბსოლუტურ მნიშვნელობას მინუს ეს მანძილი, დაგვიტოვებს ამ მწვანე მანძილს. აქ სწორედ ეს გვაქვს, a-b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა, რომელიც ტოლია ამ მწვანე მანძილის. მაშინ, ეს იგივე იქნება რაც a-b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა. დასარწმუნებლად შეგიძლიათ გარკვეული რიცხვებით შეამოწმოთ. ორივე რიცხვის შესახებ ვიცით, რომ უარყოფითია, ნულს მარცხნივაა, ასევე ვხედავთ, რომ b დიდია a-ზე, ნაკლებად უარყოფითია. შეგიძლიათ რიცხვები ჩასვათ, მაგალითად b იყოს მინუს ერთი, a კი - მინუს ხუთი და შეამოწმოთ, არის თუ არა ეს სწორი. a-ს აბსოლუტურ მნიშვნელობას პლუს b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა რას მოგვცემს? ეს იგივეა, რომ ავიღოთ ჟოლოსფერი მანძილი, ანუ a-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა და დავუმატოთ ლურჯ მანძილს, ანუ b-ს აბსოლუტურ მნიშვნელობას. ესეიგი, მივიღებთ უფრო დიდ მანძილს, ვიდრე ამ ორ წერტილს შორისაა. ან, შეგიძლიათ რიცხვებით სცადოთ. ვთქვათ, a უდრის მინუს ხუთს, b კი - მინუს ერთს. ამ შემთხვევაში მათ შორის მანძილი, ანუ a-b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა, ტოლი იქნება მინუს ხუთს მინუს უარყოფითი ერთის აბსოლუტური მნიშვნელობის, რაც იგივეა, რაც მინუს ხუთს პლუს ერთის აბსოლუტური მნიშვნელობა, რაც უდრის მინუს ოთხის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, ანუ ოთხს. ესეიგი, ამ შემთხვევითი რიცხვებისთვის -- -- a უდრის მინუს ხუთს და b ტოლია მინუს ერთის -- -- ეს მანძილი იქნება ოთხი. a-ს აბსოლუტურ მნიშვნელობას დამატებული b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა, ამ შემთხვევაში ტოლი იქნება ხუთს პლუს ერთის, ანუ ექვსის. ესეიგი, ამ შემთხვევითი რიცხვებისთვისაც კი, რომლებიც აკმაყოფილებენ მოცემულ მოთხოვნებს, ეს ვარიანტი არ გამოდგა სწორი. ესეიგი, ეს სწორი არ იქნება. ბოლოს აღარ ავირჩევთ, რადგან ვნახეთ, რომ პირველი ვარიანტი სწორია. -- გადავიდეთ სხვაზე, კიდევ რამდენიმე გავაკეთოთ -- რომელი გამოსახულება არის იგივე, რაც a-b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა? ისევ, a-ს მინუს b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა იქნება მანძილი a-სა და b-ს შორის. ეს არის ის მანძილი, რომელსაც ახლა ვზახავ. ესაა a მინუს b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა. ვნახოთ პირველი ვარიანტი: უბრალოდ a მინუს b, აბსოლუტური მნიშვნელობის გარეშე. ვხედავთ, რომ a ნაკლებია b-ზე, საერთოდ, a უარყოფითია, b კი - დადებითი. თუ უარყოფით რიცხვს გამოვაკლებთ დადებით რიცხვს, მივიღებთ უარყოფით რიცხვს. ანუ ეს იქნება უარყოფითი. -- თუ მცირე რიცხვს გამოვაკლებთ დიდ რიცხვს, ისევ, მივიღებთ უარყოფითს. ამ ორ რიცხვს შორის მანძილს კი დადებითი მნიშნველობა აქვს. ესეიგი, ეს სწორი ვერ იქნება. შემდეგ: b-ს მინუს a წინ მინუს ნიშნით. b-ს მინუს a იქნება დადებითი, ეს ვიცით, რადგან b მეტია a-ზე. თუ b მეტია a-ზე, b მინუს a იქნება დადებითი, მაგრამ ჩვენ მას უარყოფითად ვაქცევთ, ესეიგი მთელი გამოსახულება გამოვა უარყოფითი. შეგვიძლია ასეც შევხედოთ: b დადებითი რიცხვია, მას ვაკლებთ უარყოფით რიცხვს, ანუ ვუმატებთ ამ რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, და შემდეგ წინ მინუს ნიშანს ვსვამთ, ესეიგი ეს იქნება უარყოფითი. წინანდელივით, შეგიძლიათ რიცხვები მოსინჯოთ, რომლებიც პირობებს აკმაყოფილებს. ვთქვათ, b იყოს სამი, a კი - მინუს ორი. გირჩევთ თქვენით სცადოთ, -- a მინუს b-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა იქნება ხუთი -- და ნახოთ რომელი მათგანი იძლევა იგივე შედეგს. არცერთი მათგანი არ უნდა გამოგადგეთ. ესეიგი, აქ პასუხია "არც ერთი". შემდეგი: "აირჩიეთ შემდეგი განტოლების საუკეთესო ინტერპრეტაცია" გვაქვს 11-ს მინუს x-ის აბსოლუტური მნიშვნელბა, -- ანუ მანძილი x-სა და 11-ს შორის -- და ეს უდრის y-ს მინუს 3-ის აბსოლუტურ მნიშვნელობას. ესეიგი ესაა მანძილი y-სა და სამს შორის. ესეიგი, აქიდან ვიგებთ, რომ მანძილი 11-სა და x-ს შორის იგივეა, რაც მანძილი y-სა და სამს შორის. "მანძილი 11-სა და x-ს შორის უდრის მანძილს y-სა და სამს შორის" სწორედ ეს ვთქვი, ეს სწორი ვარიანტია. "მანძილი 11-სა და მინუს x-ს შორის იგივეა, რაც მანძილი y-სა და მინუს სამს შორის" მანძილი 11-სა და მინუს x-ს შორის, არ იქნება ზემოთ მოცემული რიცხვი. ამისთვის უნდა ავიღოთ 11-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა, და მას გამოვაკლოთ მინუს x. ეს მანძილი ასე ჩაიწერება, ან, ასე: 11-ს პლუს x-ის მოდული. ცხადია, ეს არ უდრის მოცემულ გამოსახულებას. მანძილი y-სა და მინუს სამს შორის - ზუსტად იგივეა. ეს იქნება y-ს მინუს მინუს სამი, რაც არ გვაქვს მოცემული. ესეიგი ეს არაა იგივე, რაც ეს განტოლება. "მანძილი 11-სა და y-ს შორის -- -- ახლა უკვე ურევენ, აღებულია 11 და y -- -- უდრის მანძილს მინუს x-სა და მინუს სამს შორის. ახლა უბრალოდ ყველაფერი არეულია, ცხადია, ეს არ იქნება სწორი. -- ერთიც გავაკეთოთ -- გვეკითხებიან, თუ რომელი გამოსახულება უდრის მოცემული მართკუთხედის ფართობს. მართკუთხედის ფართობის გასაგებად სიგანეს სიმაღლეზე ვამრავლებთ. ვნახოთ, რომელი შეესაბამება ამას. J მინუს l-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა -- -- J-ს გამოკლებული l.. ამისი აბსოლუტური მნიშნველობა -- -- j ეს x კოორდინატია, მინუს ექვსი, l კი არის ეს x კოორდინატი, დადებითი ექვსი. j-ს მინუს l-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა იქნება ამ ორ წერტილს შორის ჰორიზონტალური მანძილის ტოლი. ესეიგი, ეს იქნება ამ მონაკვეთის სიგრძის ტოლი. ესეიგი ეს ტოლია j-ს მინუს l-ის აბსოლუტური მნიშვნელობის. ისევ, x კოორდინატებია მინუს ექვსი და ექვსი, გვექნება მინუს ექვსს მინუს ექვსი, ანუ მინუს 12, მანძილი კი იქნება მინუს 12-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა, ანუ 12, თუმცა, ეს მნიშვნელოვანი არაა, მთავარია ვიცოდეთ, რომ ეს მანძილი იგივეა, რაც j-ს მინუს l-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა. -- მეორე წევრია m-ს მინუს q-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა. m ამ წერტილის y კოორდინატია, q კი ამ წერტილის, მაშინ, m-ს მინუს q-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა იქნება ვერტიკალური მანძილი ამ ორ წერტილს შორის -- აქ x მნიშვნელობა არ იცვლება, ამიტომ ეს იქნება ამ გვერდის სიგრძე. თუ ამ სიგრძეს გავამრავლებთ ამ სიგრძეზე, მივიღებთ ამ მართკუთხედის ფართობს. -- სხვა პასუხების გამოკვლევა აღარ დაგვჭირდა -- მაინც ვნახოთ სხვა პასუხები: ეს არის j მინუს m-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა, ანუ ვიღებთ ამ წერტილის x კოორდინატის და ამ წერტილის y კოორდინატის სხვაობას, რაც უაზრობაა, ანუ ეს უკვე საეჭვოა სწორი იყოს. აქ კი გვაქვს j-ს მინუს n-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა. აქ x-კოორდინატები ერთნაირია, ამიტომ ვიცით, რომ ეს ნული იქნება. j უდრის n-ს, ორივე მინუს ექვსის ტოლია. მათი სხვაობა არ მოგვცემს გვერდის სიგრძეს, რადგან ცვლილება მხოლოდ y-ში არის. თუ გვსურს ამ გვერდის სიგრძის გამოთვლა, უნდა გავიგოთ k-ს მინუს o-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა. თუ ეს სიგრძე გვინდა, მაშინ x-ში ცვლილება, ანუ n-ს მინუს p-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა გვაინტერესებს. რაც უდრის p-ს მინუს n-ის აბსოლუტურ მნიშვნელობას. -- თუმცა, ქვედა ორი ვარიანტი არასწორია.