ტოლფასი წილადები და განსხვავებული მთელები

ვთქვათ, გაძლევთ წილადს, ერთ მესამედს. შემიძლია გადავაკეთ ეს წილადი, თუ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც გავამრავლებ ორზე ერთჯერ ორი არის ორი და სამჯერ ორი არის ექვსი, ანუ, ვიცით, რომ ერთ მესამედი არის იგივე, რაც ორი მეექვსედი. მართალია: ერთი მესამედი სხვაგვარად შეგვიძლია დავწეროთ, როგორც ორი მეექვსედი. ახლა, როცა ეს ვიცით, გავარკვიოთ, ამ სურათებიდან რომელი გვიჩვენებს, რომ ჩვენი ვარაუდი სწორია? რომელი გვიჩვენებს ამას ვიზუალურად. დავიწყოთ პირველით. გვაქვს სამი ტოლი დანაყოფი, ანუ, თითოეული დანაყოფი არის ერთი მესამედი, და ერთ-ერთი მათგანი გაფერადებულია. მარჯვნივ გვაქვს ექვსი ტოლი დანაყოფი და ორი მათგანი გაფერადებულია. ერთი, ორი. მნიშვნელოვანია გავიგოთ, რომ იმავე მართკუთხედს ვყოფთ ერთ მესამედებად, რა მართკუთხედიც აქ დავყავით ერთ მეექვსედებად. ერთი და იმავე მთელის ნაწილებს ვადარებთ ერთმანეთს. შეხედეთ, თუ ამ ორ მაჯენდა ყუთს ავიღებთ და შევაერთებთ, მათ იგივე ფართობი ექნებათ, რაც ამ ერთ დიდ მართკუთხედს. ესე იგი, ეს ნახატი კარგად გვიჩვენებს ვიზუალურად, რატომ არის ერთ მესამედი იგივე, რაც ორი მეექვსედი. მართკუთხედიდან, რომელიც დაყოფილია ერთ მესამედებად, იღებთ ერთ მესამედს შემდეგ კი ზუსტად იმავე მართკუთხედს დავყოფთ ექვს ტოლ ნაწილად, ავიღებთ მათგან ორს და გვექნება იგივე ოდენობის გაფერადებული დანაყოფი, რაც პირველ შემთხვევაში. ეს ერთ მეამედი იგივეა, რაც აი, ეს ორი მეექვსედი. მნიშვნელოვანია გაიგოთ, რომ ერთ მესამედსაც და ორ მეექვსედსაც ერთი და იმავე მართკუთხედიდან ვიღებთ. როცა სხვა ფიგურას ვუყურებთ, ეს ნაწილი არის ამ ფიგურის ერთ მესამედი, ფიგურა დაყოფილია სამ ტოლ ნაწილად და ერთ-ერთ მათგანი გაფერადებულია. ეს კი არის ორი მეექვსედი. გვაქვს ექვსი ტოლი ნაწილი და ორი მათგანი გაფერადებულია. ვიცით, რომ ერთ მესამედი უდრის ორ მეექვსედს, მაგრამ ეს სურათი არ არის სწორი. ეს გაფერადებული ნაწილი უფრო ნაკლებია, ვიდრე მეორე ფიგურის გაფერადებული ნაწილი. ალბათ ფიქროთბთ: "რატომ არ გამოდის? რატომ არ არის ეს ერთი მესამედი იგივე, რაც ორი მეექვსედი?" იმიტომ, რომ ორ მეექვსედს უფრო დიდი ექვსკუთხედისგან ვიღებთ. აქ უფრო პატარა ფიგურის ერთი მესამედი გვაქვს, აქ კი - უფრო დიდი ფიგურის ორი მეექვსედი. სხვადასხვა მთელის ნაწილებს ვერ შევადარებთ. უფრო დიდი მთელის ორი მეექვსედი მეტი იქნება, ვიდრე უფრო მცირე მთელის ერთ მესამედი. ერთადერთი შემთხვევა, როცა ერთი მესამედი და ორი მეექვსედი ეკვივალენტური იქნება, არის როცა ერთ და იგივე მთელი გვაქვს, როგორც პირველ შემთხვევაში ვნახეთ. ანუ, ეს არ არის სწორი. იგივეა აქაც: ეს არის ერთ მესამედი და ეს არის ორი მეექვსედი. ეს უფრო მცირე წრის ერთი მესამედია, ეს კი უფრო დიდი წრის ორი მეექვსედი. ანუ ეს არ არის სწორი. იმავე ლოგოკით შეგვიძლია ვიმსჯელოთ ამ ნახაზებზეც. აქ საერთოდ არ ვსაუბრობთ ერთ მესამედსა და ორ მეექვსედზე. აქ გვაქვს რაღაც ფიგურა დაყოფილი... ვნახოთ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. ანუ მერვედი, ამ შემთხვევაში აღებულია 1, 2, 3, 4, 5, 6, ანუ ექვსი მერვედი. და ვადარებთ... ვნახოთ, დაყოფილია ოთხ ნაწილად და გაფერადებულია სამი. მართალია, რომ ექვსი მერვედი არის სამი მეოთხედის ტოლი. ექვსი გაყოფილი ორზე არის სამი, რვა გაყოფილი ორზე არის ოთხი. თუ მნრიცხველს გაყოფთ ან გაამრავლებთ ერთსა და იმავე რიცხვზე, ეკვივალენტურ წილადს მიიღებთ. ესე იგი, ექვსი მერვედი სამი მეოთხედის ტოლია, მაგრამ ეს ნახაზი არ არის სწორი, რადგან ექვსი მერვედი სამი მეოთხედის ეკვივალენტური იქნებოდა, თუ ვსაუბრობთ ერთი და იმავე ზომის ფიგურის ექვს მერვედსა და სამ მეოთხედზე. ეს ფიგურები არ არის ერთი ზომის, ამიტომ ვერ შევადარებთ ამ ნახაზებს. იგივეამ ამ შემთხვევაშიც. ეს წრეები სხვადასხვა ზომისაა. ესე იგი, როცა სხვადასხვა მთელის ერთნაირ ნაწილებზე ვსაუბრობთ, ვერ ვიტყვით, რომ ისინი ტოლი იქნება. ბოლო მაგალითში გვაქვს ერთი და იმავე მთელი ნაწილები. ეს რაღაც უცნაური, მარცხნივ მიმართული ისრის ფორმის ფიგურაა, მაგრამ ორივე ერთნაირია. ეს ფიგურა რვა ტოლ ნაწილადაა დაყოფილი და ექვსი დანაყოფი გაფერადებულია. ერთი, ორი... ყვითლად დავწერ, კარგად რომ დაინახოთ. 1, 2, 3, 4, 5, 6. აქ კი ფიგურა ერთ მეოთხედებადაა დაყოფილი და სამი მათგანი გვაქვს გაფერადებული. ანუ, ეს მაგალითი სწორია. უკვე ვიცოდით, რომ ექვსი მერვედი და სამი მეოთხედი ერთი და იგივეა, მაგრამ აი, ეს სურათი ვიზუალურად გვიჩვენებს ამას, რადგან ერთი და იმავე მთელის ექვს მერვედსა და სამ მეოთხედს ვადარებთ. ეს ფართობი... სხვა ფერით გავაფერადებ, ეს გაფერადებული ფართობი, ანუ ექვსი ტოლი ფართობის მქონე სამკუთხედი, იგივე ფართობისაა, რაც ეს სამი პარალელოგრამი, ოთხიდან სამი. ვხედავთ, რომ მათ ტოლი ფართობი აქვთ. ერთ-ერთი ასეთი, მაგალითად, ეს, შეიძლება ამ ნაწილის ეკვივალენტური იყოს, ან, მოდით, ყველას გავაკეთებ. ეს ნაწილი იქნება... ვნახოთ, თუ გადმოვატრიალებთ, ამ ნაწილის ეკვივალენტირუ გამოვა. ალბათ ხვდებით, რა გამოვა, ბოლოს, ეს ნაწილი არის ამ ნაწილის ეკვივალენტური. ანუ, იგივე ნაწილი გვაქვს გაფერადებული. უბრალოდ, მარცხენა ფიგურა უფრო მეტ ტოლ ნაწილად დავყავით, ვიდრე მარცხენა ფიგურა, მაგრამ ეკვივალენტური წილადები გვაქვს. ეს სურათ გვიჩვენებს, რომ ექვსი მერვედი ნამდვილად სამი მეოთხედის ტოლია. კიდევ ერთხელ, ექვსი მერვედი უდრის იმავე მთელის სამ მეოთხედს.