რატომაა შესაძლებელი განტოლებათა სისტემაში გამოვაკლოთ ერთ განტოლებას მეორე?

ძალიან ძალიან საინტერესო ამოცანა გვაქვს: სასწორის მარცხენა მხარეს გვაქვს ორი უცნობი მასის მქონე განსხვავებული საგანი. ერთ-ერთი ამ მასებიდან არის X მასა, ორივეს ერთნაირი მასა აქვს. დავარქვათ ორივეს X. აქვე გვაქვს ლურჯი საგანი Y მასით, რომელიც აუცილებლად X-ის ტოლი არ არის. გვაქვს ორი X და ერთი Y. მათი ჯამური მასა აბალანსებს ამ რვა კილოგრამს, მეორე მხარეს. ყოველი მათგანი ერთკილოგრამიანი აგურია. შეგიძლიათ ამის მათემატიკურად ჩაწერა? იმის, რომ ეს მთლიანი მასა აბალანსებს ამ მთლიან მასას? მოდით, დავფიქრდეთ მთლიან მასაზე ამ მხარეს. გვაქვს ორი ცალი X-მასიანი საგანი, ანუ 2X და ერთი Y-მასიანი საგანი, ანუ Y. ანუ მარცხენა მხარის ჯამური მასა --მოდით, ცენტრში გადმოვწერ-- მარცხნივ გვაქვს 2X-ს პლუს Y, რაც არის მთლიანი მასა. მარცხნივ მთლიანი მასაა 2X-ს პლუს Y, მარჯვნივ კი რვა - 1,2,3,4,5,6,7,8. რადგან სასწორი დაბალანსებულია, ანუ ეს მასები ტოლია. ანუ აქ შეგვიძლია ტოლობის ნიშნის დაწერა. შეგვიძლია ამ ინფორმაციაზე დაყრდნობით X-ის ან Y-ის მასების გამოთვლა? მარტივი პასუხია, რომ ძალიან ცოტა ინფორმაცია გვაქვს. შეიძლება Y აგურის მოშორება გადაწყვიტოთ, მაშინ აქედანაც უნდა მოაშოროთ Y მასა, მაგრამ არ ვიცით Y-ს მნიშვნელობა. ალგებრულად რომ დავფიქრდეთ, აქ თუ Y-ს გამოვაკლებთ, აქაც უნდა გამოვაკლოთ, ანუ Y-ს ვერ მოვიშორებთ. იგივე ეხება X-საც. არ გვაქვს საკმარისი ინფორმაცია. Y X-ის მნიშვნელობაზეა დამოკიდებული და პირიქით. გაგვიმართლა და კიდევ გვაქვს ასეთი აგურები. ავიღოთ თითო X და Y აგურები და აქეთ დავდოთ. აქეთ კიდევ ეს აგურები დავამატოთ, სანამ დაბალანსდება. ცხადია, მხოლოდ ამას თუ დავდებ, ქვემოთ ჩამოიწევა, რადგან აქეთ არაფერია. ვაგრძელებ დამატება. სასწორი გათანაბრდა, როცა მარჯვნივ ხუთი კილო დავდეთ. მარცხნივ გვაქვს X და Y, მარჯვნივ კი 5 კილო, ისინი დაბალანსებულია. როგორ გამოვსახოთ ეს ინფორმაცია მათემატიკურად? მარცხენა მხარეს მთლიანი მასა არის X-ს პლუს Y, მარჯვნივ კი ხუთი კილო. ვიცით, რომ ეს ორი მხარე ერთმანეთს აბალანსებს, ანუ მთლიანი მასები ტოლია. ამ ინფორმაციითაც ვერაფერს გავიგებთ. არ ვიცით X-ის და Y-ის მნიშვნელობები. თუ Y ოთხია, მაშინ X ერთია, ან იქნებ X-ია ოთხი და Y ერთი, ვინ იცის? საინტერესო ისაა, რომ შეგვიძლია ეს ორი ინფორმაცია გავაერთიანოთ და გავიგოთ პასუხი. რამდენიმე წამს გაძლევთ, რომ თქვენით დაფიქრდეთ, როგორ უნდა გააკეთოთ ეს. ვიცით, რომ X-ს პლუს Y უდრის ხუთს. ანუ X-ის და Y-ის მოშორება თუ გვინდა განტოლების ამ მხარეს, შესაბამისად რა უნდა მოვაშოროთ მარჯვენა მხარეს, რომ იგივე მასა მოშორდეს? თუ მარცხნივ X-ს და Y-ს მოვაშორებთ, ვიცით, რომ X-ს პლუს Y ხუთი კილოა, ანუ მარჯვნივ 5 კილო უნდა მოვაშოროთ. დაგვრჩება X, აქ კი ეს მასები, ანუ გავიგებთ X-ის მნიშვნელობას. ახლა დავფიქრდეთ ამის ალგებრულ გამოსახვაზე. თუ X-ს და Y-ს ვაშორებთ მარცხენა მხარეს, ანუ ვაკლებთ მათ, ანუ ვაკლებთ X-ს პლუს Y-ს. მაგრამ მარჯვენა მხარეს რაღას ვუშვებით? X-ისა და Y-ის საერთო მასა ხუთია. ანუ შეგვიძლია, მარჯვენა მხარეს ხუთი გამოვაკლოთ და ამის გაკეთება შეგვიძლია მეორე სასწორისგან მიღებული ინფორმაციით. X-ისა და Y-ის გამოკლება ხუთის გამოკლების ტოლფასია, რადგან X პლუს Y ხუთი კილოა. თუ მარჯვენა მხარეს X, Y-ს გამოვაკლებთ, რა დაგვრჩება? იგივე იქნება რაც --მოდით, გადავწერ ამ ნაწილს-- X-ის და Y-ის გამოკლება იგივეა, რომ მინუს ნიშანი დავუწეროთ. მარცხნივ გვაქვს ორი X, რომლიდანაც ერთი გამოვაკელით და დაგვრჩა ერთი X. გვქონდა Y, გამოვაკელით ერთი Y, ანუ საერთოდ აღარ დაგვრჩა Y. ვიზუალურადაც ჩანს, რომ მხოლოდ X დაგვრჩა აქ. რა ხდება მარჯვენა მხარეს? გვქონდა რვა და ვიცით, რომ X და Y ხუთია,ანუ ხუთი გამოვაკელით ბალანსის შესანარჩუნებლად. რვას მინუს ხუთი იქნება სამი. ასე გავარკვიეთ, რომ X არის სამი. ბოლო კითხვაც: X-ის მასა გავიგეთ, შეგიძლიათ, Y-ის მასაც გაიგოთ? შეგვიძლია დავუბრუნდეთ სასწორებს. უფრო მარტივი იქნება, რომ ამას დავუბრუნდეთ. ვიცით, რომ X პლუს Y ხუთია და X უდრის სამს. ვიცით, რომ ამის მასაა სამი კილო. გადავწეროთ: სამს პლუს Y უდრის ხუთს. მოვაშოროთ სამი ორივე მხარეს. თუ მარცხნივ გამოვაკლებ სამს, მარჯვნივაც უნდა გამოვაკლო ბალანსისთვის. გამოვა, რომ Y-ის მასა ბალანსდება ორთან, ანუ Y უდრის ორს, ეს იგივეა, რაც ამ განტოლებისთვის სამის გამოკლება. მარცხნივ გვრჩება Y, მარჯვნივ კი ორი. ანუ X არის სამი კილო, Y ორი კილო. გირჩევთ, შეამოწმოთ, რომ აქაც ყველაფერი სწორადაა. შეამოწმეთ, რომ მთლიანი მასა ამ მხარეს ნამდვილად რვა იყო. ნახავთ, რომ ორი X იქნება ექვსი კილო პლუს Y, რომელიც ორი კილოა, საერთო ჯამში რვა გამოვიდა. სამს პლუს ორი კი ხუთს უდრიდა.