განტოლებათა სისტემების შეკრების მეთოდით ამოხსნა: 6x-6y=-24 & -5x-5y=-60

ვინ იცის კიდევ როდის მოგვიწევს წვეულების დაგეგმვა. ცუდი არ იქნება კიდევ თუ წავივარჯიშებთ. სწორედ ამაში გვეხმარება ეს სავარჯიშო, ქმნის ამოცანებს, რომელთა საშუალებით შეგვიძლია განტოლებათა სიტემების გაბათილების ხერხით ამოხსნა ვცადოთ. პირველ ამოცანაში გაბათილების ხერხით უნდა ვიპოვოთ x და y. განტოლებები ასეთია: 6x მინუს 6y ტოლია მინუს 24-ის. მინუს 5x-ს მინუს 5y უდრის მინუს 60-ს. -- ჩემს საწერ პლანშეტს ავიღებ -- -- გადავწერ -- ესეიგი გვაქვს: 6x-ს მინუს 6y ტოლია მინუს 24-ის და მინუს 5x მინუს 5y ტოლია მინუს 60-ის. უნდა ვიფიქროთ შემდეგზე -- ეს სხვა ვიდეოებშიც გვინახავს -- როცა გვსურს რომელიმე ცვლადის გაბათილება, საჭიროა განტოლებები გარკვეულწილად შეიცვალოს. თუ შესაბამის მხარეებს შევკრებთ, შესაძლოა ცვლადი გაბათილდეს. თუ უბრალოდ 6x-ს დავუმატებთ მინუს 5x-ს, არაფერი გაბათილდება. ეს რომ მინუს 6x იყოს, მაშინ გამოვიდოდა. ან, ეს რომ იყოს დადებითი 5x, ესეც იმუშავებდა. სამწუხაროდ ასე არაა. ესეიგი, თუ გვსურს x-ების გაბათილება, საჭიროა ორივე განტოლება ისე შევცვალოთ, რომ ეს წევრები გაბათილდნენ. პირველი რაც თავში მომდის ისაა, რომ ამ განტოლებაში ყველაფერი ექვსზე იყოფა, მეორე განტოლებაში კი ყველაფერი იყოფა ხუთზე. თუ აქ ყველაფერს გავყოფთ ექვსზე, აქ მხოლოდ x დაგვრჩება. ქვემოთ კი საკმარისია ყველაფერი გავყოთ ხუთზე და ამ მხარეს დაგვრჩება მინუს x. ეს წევრები შეკრებისას ალბათ გაბათილდებიან. ვნახოთ რა გამოვა. ავიღოთ პირველი განტოლება. გავამრავლოთ ორივე მხარე 1/6-ზე, ან შეგვიძლია ვთქვათ რომ ორივე მხარეს ვყოფთ ექვსზე. მთავარია ორივე მხარეს ერთი და იგივე მოქმედება შევასრულოთ, რათა განტოლება შენარჩუნდეს. თუ აქ ყველაფერს გავამრავლებთ 1/6-ზე, ეს იქნება უბრალოდ x. 6y გამრავლებული 1/6-ზე უდრის y-ს. ესეიგი აქ მინუს y გვაქვს. მინუს 24 გამრავლებული 1/6-ზე უდრის მინუს ოთხს. ეს იგივეა რაც მინუს 24-ის ექვსთან შეფარდება და უდრის მინუს ოთხს. ესეიგი ეს ლურჯი განტოლება გამარტივდა ასე: x-ს მინუს y უდრის მინუს ოთხს. მსგავსად მოვექცეთ მეორე განტოლებასაც. აქ შეგვიძლია ორივე მხარე 1/5-ზე გავამრავლოთ, ან, შეგვიძლია ვთქვათ რომ ორივე მხარეს ვყოფთ ხუთზე. თუ ასე მოვიქცევით, მინუს 5x გაყოფილი ხუთზე მოგვცემს მინუს x-ს. მინუს 5y გაყოფილი ხუთზე უდრის მინუს y-ს და ბოლოს, მინუს 60 გაყოფილი ხუთზე ტოლია მინუს 12-ის. ეს საკმაოდ საინტერესოდ გამოიყურება. თუ მარცხენა მხარეებს შევკრებთ -- გახსოვდეთ შეგვიძლია ტოლობა შევინარჩუნოთ, რადგან ორსავე მხარეს ერთსა და იმავეს ვუმატებთ. წარმოიდგინეთ რომ ვიწყებთ ლურჯი განტოლებით. მარცხენა მხარეს ვუმატებთ x-ს მინუს y-ს, მარჯვენა მხარეს კი - უარყოფით 12-ს. მეორე განტოლება გვეუბნება რომ ეს სიდიდეები ტოლია, ამიტომ ჩვენ იმ პრინციპს ვიყენებთ, რაც ალგებრაში თავიდანვე ვისწავლეთ, რომ ორსავე მხარეს ერთი და იმავე სიდიდის დამატებით ტოლობა ნარჩუნდება. მარცხნივ ჩვენ დავუმატებთ ამას, მარჯვნივ კი - ამას. მეორე განტოლება გვეუბნება რომ ეს ორი სიდიდე ტოლია, ამიტომ პირველი ტოლობა შენარჩუნდება. მოვიქცეთ ასე. რას მივიღებთ მარცხენა მხარეს? გვაქვს დადებითი x და უარყოფითი x. ორივე ბათილდება. მათი ასე შეცვლის მიზანი სწორედ ეს იყო. შემდეგ, გვაქვს მინუს y-ს მინუს y, რაც უდრის მინუს 2y-ს. მარჯვენა მხარეს არის მინუს ოთხს მინუს 12 რაც უდრის მინუს 16-ს. ეს ორი სიდიდე ერთმანეთის ტოლია. ისევ, ორსავე მხარეს ვუმატებთ ერთსა და იმავეს. y-ის საპოვნელად შეგვიძლია ორივე მხარე მინუს ორზე გავყოთ. ვიღებთ, რომ y უდრის დადებით რვას. მაგრამ ჯერ არ დაგვიმთავრებია. ახლა საჭიროა ეს მნიშვნელობა რომელიმე განტოლებაში ჩავსვათ, ანუ შევიტანოთ y-ის ნაცვლად აქ და აქ ან მეორე განტოლებაში, აქ და აქ. ამონახსნმა ორივე განტოლება უნდა დააკმაყოფილოს. ეს ლურჯი ნაწერი ლურჯი განტოლების წარმოდგენის კიდევ ერთი გზაა. მწვანე ნაწერი მწვანე განტოლების წარმოდგენის მეორე გზაა. ავირჩიოთ რომელიც უფრო მარტივია. ეს საკმაოდ მარტივი ჩანს. ავიღოთ მინუს x-ს მინუს y -- ახლახან ამოვხსენით რომ y დადებითი რვის ტოლია -- უდრის მინუს ოთხს. ახლა კი x რომ ვიპოვოთ საჭიროა ორსავე მხარეს დავუმატოთ 8. მარცხენა მხარეს მინუს რვას პლუს რვა ბათილდება, გვრჩება მხოლოდ x. მინუს ოთხს პლუს რვა უდრის დადებით ოთხს. გამოვიდა რომ x ტოლია ოთხის, y კი ტოლია რვის. შეგიძლიათ შედეგი გადაამოწმოთ. ექვსჯერ ოთხი უდრის 24-ს, მინუს ექვსჯერ რვა -- ესეიგი 24-ს მინუს 48 -- ეს ნამდვილად მინუს 24-ს უდრის. მინუს ხუთჯერ ოთხი ტოლია მინუს ოცის, მინუს 40 თუ y უდრის რვას, მართლაც მივიღებთ მინუს 60-ს. ესეიგი ორივე განტოლება კმაყოფილდება. შეგვიძლია შევამოწმოთ სწორია თუ არა ჩვენი პასუხი. x არის ოთხი, y არის რვა. ჩავწეროთ. x ტოლია ოთხის. y ტოლია რვის. ვნახოთ ჩვენი პასუხი. სწორია. ძალიან კარგი.