If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მერვე კლასი

თემა 4: გაკვეთილი 4

სისტემების ამოხსნა შეკრების მეთოდით

განტოლებათა სისტემები შეკრების მეთოდით

გადახედეთ განტოლებათა სისტემების შეკრების მეთოდით ამოხსნის მაგალითებს.
ამ სტატიაში ამოვხსნით წრფივი განტოლებების სისტემებს შეკრების მეთოდის გამოყენებით. პირველ რიგში, საჭიროა გავიაზროთ, რომ განტოლებების შეკრება შეიძლება.
მთავარი მიგნება: ნებისმიერ დროს, როდესაც გვაქვს ორი ჭეშმარიტი განტოლება, ჩვენ შეგვიძლია, შევკრიბოთ ან გამოვაკლოთ ისინი და ამით მივიღოთ კიდევ ერთი ჭეშმარიტი განტოლება.
მაგალითად, ქვევით მოცემულია ორი ძალიან საბაზისო ჭეშმარიტი განტოლება:
2, equals, 2
5, equals, 5
ჩვენ შეგვიძლია, შევკრიბოთ ისინი და ასე მივიღოთ კიდევ ერთი ჭეშმარიტი განტოლება:
ან შეგვიძლია, გამოვაკლოთ ეს განტოლებები, რომ მივიღოთ კიდევ ერთი ჭეშმარიტი განტოლება:
აი, კიდევ ერთი მაგალითი, ოღონდ უფრო რთული განტოლებებით:
ძალიან კარგი! რაგდან უკვე ვნახეთ, რომ განტოლებების მიმატება და გამოკლება შეიძლება, შეგვიძლია, გადავიდეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნაზე გამორიცხვის გამოყენებით.

განტოლების სისტემის ამოხსნა შეკრების ხერხით

მაგალითად, ამოვსხნათ განტოლებათა სისტემა:
x, plus, 3, y, equals, 8, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, გ, ა, ნ, ტ, ო, ლ, ე, ბ, ა, space, 1, end text, end color gray
4, x, minus, 3, y, equals, 17, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, გ, ა, ნ, ტ, ო, ლ, ე, ბ, ა, space, 2, end text, end color gray
ამოხსნის სირთულე ისაა, რომ გვაქვს ორი უცნობი: x და y. აი, ერთ-ერთი მათგანის გაბათილება რომ შეგვეძლოს...
იდეა მაქვს! მოდით, ეს ორი განტოლება ერთმანეთს დავუმატოთ, რომ y ცვლადი გაბათლდეს:
ბრწყინვალეა! ახლა ჩვენ გვაქვს განტოლება მხოლოდ x ცვლადით და ამოხსნა ვიცით:
ესეც ასე! გამოვიყენოთ პირველი განტოლება y-ს საპოვნელად, როცა x უდრის 5-ს:
x+3y=8განტოლება 15+3y=8x-ის ნაცვლად ჩასვით 53y=3გამოაკელით 5 ორივე მხარესy=1გაყავით ორივე მხარე 3-ზე\begin{aligned} \blueD x + 3y &= 8&\gray{\text{განტოლება 1}} \\\\ \blueD 5 + 3y &= 8 &\gray{\text{x-ის ნაცვლად ჩასვით 5}}\\\\ 3y &= 3 &\gray{\text{გამოაკელით 5 ორივე მხარეს}}\\\\ \greenD y &\greenD = \greenD 1&\gray{\text{გაყავით ორივე მხარე 3-ზე}}\end{aligned}
მშვენიერია! განტოლებათა სისტემის ამონახსნია left parenthesis, start color #11accd, 5, end color #11accd, comma, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, right parenthesis.
გამოიყენეთ შეკრების ხერხი და ამოხსენით განტოლებათა სისტემა
4, y, minus, 2, x, equals, 4
5, y, plus, 2, x, equals, 23
x, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

ერთ-ერთი განტოლების მუდმივაზე გამრავლება, შემდეგ კი შეკრების ხერხის გამოყენება

ბოლო მაგალითი კარგად ამოიხსნა, რადგან y ცვლადი გაბათილდა განტოლებების შეკრებისას. თუმცა ყოველთვის ასე ადვილად არა საქმე.
მაგალითისთვის განვიხილოთ მოცემული სისტემა:
6, x, plus, 5, y, equals, 28, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, გ, ა, ნ, ტ, ო, ლ, ე, ბ, ა, space, 1, end text, end color gray
3, x, minus, 4, y, equals, 1, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, გ, ა, ნ, ტ, ო, ლ, ე, ბ, ა, space, 2, end text, end color gray
განტოლებების შეკრებით არც x და არც y ცვლადები გაბათლდება, ამიტომ, ეს მეთოდი არ იმუშავებს. მსგავსი ამოცანებისთვის აი, ასე უნდა მოვიქცეთ:
ნაბიჯი 1: გადავამრავლოთ ორივე განტოლება მუდმივაზე ისე, რომ განტოლებების შეკრებისას შევძლოთ ერთ-ერთი ცვლადის გაბათილება.
2(3x4y)=2(1)მეორე განტოლება გავამრავლოთ2ზე6x+8y=2გავამარტივოთ ახალი განტოლების მისაღებად\begin{aligned} \maroonD{-2}(3x -4y) &= \maroonD{-2}(1) &\gray{\text{მეორე განტოლება გავამრავლოთ} -2-ზე} \\\\ \blueD{-6x+8y} &\blueD= \blueD{-2}&\gray{\text{გავამარტივოთ ახალი განტოლების მისაღებად}}\end{aligned}
ნაბიჯი 2: მიღებული განტოლება დავუმატოთ იმ განტოლებას, რომელიც არ გამოვიყენეთ პირველი ნაბიჯის შესრულებისას, რათა გამოვრიცხოთ ერთ-ერთი ცვლადი.
ნაბიჯი 3: ამოვხსნათ y-სათვის.
13y=26y=2 ორივე მხარე გავყოთ 13-ზე \begin{aligned} 13y &= 26\\\\ y&= 2&\gray{\text{ ორივე მხარე გავყოთ 13-ზე }}\end{aligned}
ნაბიჯი 4: ჩავსვათ y, equals, 2 საწყისი განტოლებებიდან ერთ-ერთში და ვიპოვოთ x.
3x4y=1განტოლება 23x4(2)=1y ჩავანაცვლოთ 2-ით3x8=13x=9დავამატოთ 8 ორივე მხარესx=3გავყოთ ორივე მხარე 3-ზე\begin{aligned} 3x - 4y &= 1 &\gray{\text{განტოლება 2}} \\\\ 3x -4(2) &= 1 &\gray{\text{y ჩავანაცვლოთ 2-ით}} \\\\ 3x -8 &= 1 \\\\ 3x &= 9 &\gray{\text{დავამატოთ 8 ორივე მხარეს}} \\\\ x &= 3 &\gray{\text{გავყოთ ორივე მხარე 3-ზე}} \end{aligned}
ასე რომ, ამონახსნია left parenthesis, 3, comma, 2, right parenthesis.
გამოიყენეთ შეკრების ხერხი და ამოხსენით განტოლებათა სისტემა
8, x, plus, 14, y, equals, 12
minus, 6, x, minus, 7, y, equals, minus, 16
x, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

გადავამრავლოთ ორივე განტოლება მუდმივაზე, ხოლო შემდეგ გამოვიყენოთ შეკრების მეთოდი

ზოგჯერ შეკრების მეთოდის გამოყენებამდე შეიძლება დაგვჭირდეს ორივე განტოლების მუდმივაზე გამრავლება.
მაგალითისათვის განვიხილოთ შემდეგი განტოლებათა სისტემა:
5, x, plus, 3, y, equals, 14, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, გ, ა, ნ, ტ, ო, ლ, ე, ბ, ა, space, 1, end text, end color gray
3, x, plus, 2, y, equals, 8, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, გ, ა, ნ, ტ, ო, ლ, ე, ბ, ა, space, 2, end text, end color gray
მსგავსი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა შემდეგნაირია:
ნაბიჯი 1: გადავამრავლოთ ორივე განტოლება მუდმივაზე ისე, რომ შევძლოთ ერთ-ერთი ცვლადის გაბათილება.
5, x, plus, 3, y, equals, 14, right arrow, start color #ca337c, start text, გ, ა, ვ, ა, მ, რ, ა, ვ, ლ, ო, თ, space, 2, negative, ზ, ე, end text, end color #ca337c, right arrow, 10, x, plus, 6, y, equals, 28
3, x, plus, 2, y, equals, 8, right arrow, start color #ca337c, start text, გ, ა, ვ, ა, მ, რ, ა, ვ, ლ, ო, თ, space, 3, negative, ზ, ე, end text, end color #ca337c, right arrow, 9, x, plus, 6, y, equals, 24
ნაბიჯი 2: შეკრიბეთ ახალი განტოლებები, რათა ერთი ცვლადის გაბათილება შევძლოთ.
10x+6y=289x+6y=24x+0=4გამოვაკლოთ განტოლებები\begin{aligned} 10x + 6y &= 28 \\ 9x + 6y&=24\\ \hline\\ x + 0 &=4 &\gray{\text{გამოვაკლოთ განტოლებები}} \end{aligned}
ნაბიჯი 3: ჩასვათ x, equals, 4 საწყისი განტლებებიდან რომელიმეში და ვიპოვოთ y.
3x+2y=8განტოლება 23(4)+2y=8 x-ის ნაცვლდ ჩავსვათ 412+2y=82y=4გამოვაკლოთ 12 ორივე მხარესy=2გავყოთ ორივე მხარე 2-ზე\begin{aligned} 3x + 2y &= 8 &\gray{\text{განტოლება 2}} \\\\ 3(4) + 2y &= 8 &\gray{\text{ x-ის ნაცვლდ ჩავსვათ 4}} \\\\ 12 +2y &= 8 \\\\ 2y &= -4 &\gray{\text{გამოვაკლოთ 12 ორივე მხარეს}} \\\\ y &= -2 &\gray{\text{გავყოთ ორივე მხარე 2-ზე}} \end{aligned}
ასე რომ, ამონახსნია left parenthesis, 4, comma, minus, 2, right parenthesis.
გამოიყენეთ შეკრების ხერხი და ამოხსენით განტოლებათა სისტემა
5, x, plus, 4, y, equals, minus, 14
3, x, plus, 6, y, equals, 6
x, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

მოდით, ვივარჯიშოთ!

1) გამოიყენეთ შეკრების მეთოდი და ამოხსენით განტოლებათა სისტემა.
3, y, plus, x, equals, 7
2, y, minus, x, equals, minus, 2
x, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) გამოიყენეთ შეკრების მეთოდი განტოლებათა სისტემის ამოსახსნელად.
minus, 7, y, minus, 4, x, equals, 1
7, y, minus, 2, x, equals, 53
x, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) გამოიყენეთ შეკრების მეთოდი განტოლებათა სისტემის ამოსახსნელად.
minus, 9, y, plus, 4, x, minus, 20, equals, 0
minus, 7, y, plus, 16, x, minus, 80, equals, 0
x, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) გამოიყენეთ შეკრების მეთოდი განტოლებათა სისტემის ამოსახსნელად.
3, x, minus, 11, y, equals, minus, 1
2, x, minus, 5, y, equals, minus, 3
x, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

რთული ამოცანა

სკოლა ყიდის თამაშის ბილეთებს. გაყიდვების პირველ დღეს სკოლამ გაყიდა 6 ბილეთი უფროსებისათვის და 10 ბილეთი მოსწავლეებისათვის, სულ dollar sign, 140 ღირებულების. გაყიდვების მეორე დღეს გაიყიდა 7 ბილეთი უფროსებისათვის და 3 მოსწავლეებისავის, სულ dollar sign, 94.
შეადგინეთ და ამოხსენით განტოლებათა სისტემა, რომლითაც იპოვით ბილეთების ფასებს უფროსებისა და მოსწავლეებისათვის.
ბილეთის ფასი უფროსებისათვის არის dollar sign
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.
ბილეთის ფასი მოსწავლეებისათვის არის dollar sign
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.