გადახედეთ განტოლებათა სისტემების შეკრების მეთოდით ამოხსნის მაგალითებს.
ამ სტატიაში ამოვხსნით წრფივი განტოლებების სისტემებს შეკრების მეთოდის გამოყენებით. პირველ რიგში, საჭიროა გავიაზროთ, რომ განტოლებების შეკრება შეიძლება.
მთავარი მიგნება: ნებისმიერ დროს, როდესაც გვაქვს ორი ჭეშმარიტი განტოლება, ჩვენ შეგვიძლია, შევკრიბოთ ან გამოვაკლოთ ისინი და ამით მივიღოთ კიდევ ერთი ჭეშმარიტი განტოლება.
მაგალითად, ქვევით მოცემულია ორი ძალიან საბაზისო ჭეშმარიტი განტოლება:
2=22 = 2
5=55 = 5
ჩვენ შეგვიძლია, შევკრიბოთ ისინი და ასე მივიღოთ კიდევ ერთი ჭეშმარიტი განტოლება:
ან შეგვიძლია, გამოვაკლოთ ეს განტოლებები, რომ მივიღოთ კიდევ ერთი ჭეშმარიტი განტოლება:
აი, კიდევ ერთი მაგალითი, ოღონდ უფრო რთული განტოლებებით:
ძალიან კარგი! რაგდან უკვე ვნახეთ, რომ განტოლებების მიმატება და გამოკლება შეიძლება, შეგვიძლია, გადავიდეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნაზე გამორიცხვის გამოყენებით.

განტოლების სისტემის ამოხსნა შეკრების ხერხით

მაგალითად, ამოვსხნათ განტოლებათა სისტემა:
x+3y=8        განტოლება 1x + 3y = 8~~~~~~~~ \gray{\text{განტოლება 1}}
4x3y=17        განტოლება 24x - 3y = 17~~~~~~~~\gray{\text{განტოლება 2}}
ამოხსნის სირთულე ისაა, რომ გვაქვს ორი უცნობი: xx და yy. აი, ერთ-ერთი მათგანის გაბათილება რომ შეგვეძლოს...
იდეა მაქვს! მოდით, ეს ორი განტოლება ერთმანეთს დავუმატოთ, რომ yy ცვლადი გაბათლდეს:
ბრწყინვალეა! ახლა ჩვენ გვაქვს განტოლება მხოლოდ xx ცვლადით და ამოხსნა ვიცით:
ესეც ასე! გამოვიყენოთ პირველი განტოლება yy-ს საპოვნელად, როცა xx უდრის 55-ს:
x+3y=8განტოლება 15+3y=8x-ის ნაცვლად ჩასვით 53y=3გამოაკელით 5 ორივე მხარესy=1გაყავით ორივე მხარე 3-ზე\begin{aligned} \blueD x + 3y &= 8&\gray{\text{განტოლება 1}} \\\\ \blueD 5 + 3y &= 8 &\gray{\text{x-ის ნაცვლად ჩასვით 5}}\\\\ 3y &= 3 &\gray{\text{გამოაკელით 5 ორივე მხარეს}}\\\\ \greenD y &\greenD = \greenD 1&\gray{\text{გაყავით ორივე მხარე 3-ზე}}\end{aligned}
მშვენიერია! განტოლებათა სისტემის ამონახსნია (5,1)(\blueD5, \greenD{1}).

ერთ-ერთი განტოლების მუდმივაზე გამრავლება, შემდეგ კი შეკრების ხერხის გამოყენება

ბოლო მაგალითი კარგად ამოიხსნა, რადგან yy ცვლადი გაბათილდა განტოლებების შეკრებისას. თუმცა ყოველთვის ასე ადვილად არა საქმე.
მაგალითისთვის განვიხილოთ მოცემული სისტემა:
6x+5y=28        განტოლება 16x + 5y = 28~~~~~~~~ \gray{\text{განტოლება 1}}
3x4y=1        განტოლება 23x - 4y = 1~~~~~~~~ \gray{\text{განტოლება 2}}
განტოლებების შეკრებით არც xx და არც yy ცვლადები გაბათლდება, ამიტომ, ეს მეთოდი არ იმუშავებს. მსგავსი ამოცანებისთვის აი, ასე უნდა მოვიქცეთ:
ნაბიჯი 1: გადავამრავლოთ ორივე განტოლება მუდმივაზე ისე, რომ განტოლებების შეკრებისას შევძლოთ ერთ-ერთი ცვლადის გაბათილება.
ნაბიჯი 2: მიღებული განტოლება დავუმატოთ იმ განტოლებას, რომელიც არ გამოვიყენეთ პირველი ნაბიჯის შესრულებისას, რათა გამოვრიცხოთ ერთ-ერთი ცვლადი.
ნაბიჯი 3: ამოვხსნათ yy-სათვის.
13y=26y=2 ორივე მხარე გავყოთ 13-ზე \begin{aligned} 13y &= 26\\\\ y&= 2&\gray{\text{ ორივე მხარე გავყოთ 13-ზე }}\end{aligned}
ნაბიჯი 4: ჩავსვათ y=2y = 2 საწყისი განტოლებებიდან ერთ-ერთში და ვიპოვოთ xx.
3x4y=1განტოლება 23x4(2)=1y ჩავანაცვლოთ 2-ით3x8=13x=9დავამატოთ 8 ორივე მხარესx=3გავყოთ ორივე მხარე 3-ზე\begin{aligned} 3x - 4y &= 1 &\gray{\text{განტოლება 2}} \\\\ 3x -4(2) &= 1 &\gray{\text{y ჩავანაცვლოთ 2-ით}} \\\\ 3x -8 &= 1 \\\\ 3x &= 9 &\gray{\text{დავამატოთ 8 ორივე მხარეს}} \\\\ x &= 3 &\gray{\text{გავყოთ ორივე მხარე 3-ზე}} \end{aligned}
ასე რომ, ამონახსნია (3,2)(3, 2).

გადავამრავლოთ ორივე განტოლება მუდმივაზე, ხოლო შემდეგ გამოვიყენოთ შეკრების მეთოდი

ზოგჯერ შეკრების მეთოდის გამოყენებამდე შეიძლება დაგვჭირდეს ორივე განტოლების მუდმივაზე გამრავლება.
მაგალითისათვის განვიხილოთ შემდეგი განტოლებათა სისტემა:
5x+3y=14        განტოლება 15x + 3y = 14 ~~~~~~~~ \gray{\text{განტოლება 1}}
3x+2y=8        განტოლება 23x + 2y = 8 ~~~~~~~~ \gray{\text{განტოლება 2}}
მსგავსი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა შემდეგნაირია:
ნაბიჯი 1: გადავამრავლოთ ორივე განტოლება მუდმივაზე ისე, რომ შევძლოთ ერთ-ერთი ცვლადის გაბათილება.
5x+3y=14გავამრავლოთ 2-ზე10x+6y=285x + 3y = 14 \Rightarrow \maroonD{\text{გავამრავლოთ 2-ზე}} \Rightarrow 10x + 6y = 28
3x+2y=8გავამრავლოთ 3-ზე9x+6y=243x + 2y = 8 \Rightarrow \maroonD{\text{გავამრავლოთ 3-ზე}} \Rightarrow 9x + 6y = 24
ნაბიჯი 2: შეკრიბეთ ახალი განტოლებები, რათა ერთი ცვლადის გაბათილება შევძლოთ.
ნაბიჯი 3: ჩასვათ x=4x = 4 საწყისი განტლებებიდან რომელიმეში და ვიპოვოთ yy.
3x+2y=8განტოლება 23(4)+2y=8 x-ის ნაცვლდ ჩავსვათ 412+2y=82y=4გამოვაკლოთ 12 ორივე მხარესy=2გავყოთ ორივე მხარე 2-ზე\begin{aligned} 3x + 2y &= 8 &\gray{\text{განტოლება 2}} \\\\ 3(4) + 2y &= 8 &\gray{\text{ x-ის ნაცვლდ ჩავსვათ 4}} \\\\ 12 +2y &= 8 \\\\ 2y &= -4 &\gray{\text{გამოვაკლოთ 12 ორივე მხარეს}} \\\\ y &= -2 &\gray{\text{გავყოთ ორივე მხარე 2-ზე}} \end{aligned}
ასე რომ, ამონახსნია (4,2)(4, -2).

მოდით, ვივარჯიშოთ!

რთული ამოცანა

იტვირთება