ხარისხის თვისებები განაყოფებში

გავაკეთოთ მაგალითები ხარისხებზე, რომლებიც გაყოფას შეიცავს. ვთქვათ გვაინტერესებს რას უდრის ხუთი ხარისხად ექვსი გაყოფილი ხუთის კვადრატზე. გავიხსენოთ რას წარმოადგენს ხარისხი, ამ შემთხვევაში ხუთი ხარისხად ექვსი არის: ხუთჯერ ხუთჯერ ხუთჯერ ხუთჯერ ხუთჯერ ხუთი. ერთი ექვსჯერ გამრავლებული ხუთზე. ხუთი კვადრატში არის ერთი, ორჯერ გამრავლებული ხუთზე, ანუ არის ხუთჯერ ხუთი. ასეთი გამოსახულების გამარტივება უკვე ვიცით. მრიცხველიცა და მნიშვნელიც გავყოთ ხუთზე, ესენი გაბათილდება, გავყოთ ისევ ხუთზე და რა დაგვრჩება? ხუთჯერ ხუთჯერ ხუთჯერ ხუთი შეფარდებული ერთთან. ანუ ხუთი ხარისხად ოთხი. დააკვირდით რა ხდება. მრიცხველში იყო ექვსი ცალი ხუთიანი გამრავლებული ერთმანეთზე. გამოვაკელით ხარისხები. მრიცხველში ორი ხუთანი გაბათლდა, ეს რეალურად უდრის ხუთი ხარისხად ექვსს მინუს ორს. მრიცხველის ხარისხს გამოაკლდა მნიშვნელის ხარისხი. ვნახოთ როგორ კავშირშია ეს გამრავლებასთან. თუ გვაქვს ხუთი ხარისხად, სხვა ფერით დავწერ, თუ გვაქვს ხუთი ხარისხად ექვსჯერ ხუთი კვადრატში, როგორც ვნახეთ წინა ვიდეოში ეს ტოლი იქნება ხუთი ხარისხად ექვსს პლუს, ვცდილობ ფერებით გავმიჯნო, ხუთი ხარისხად ექვსს პლუს ორი. გამოჩნდა ახალი თვისება. შემდეგ ვიდეოში ვიხილავთ რომ ეს თვისებები დიდად არ განსხვავდება. გამოჩნდება, რომ ისინი ერთი და იმავე მონეტის ორი მხარეა. ამ ვიდეოში კი ვხედავთ, რომ ხუთი ხარისხად ექვსი გაყოფილი ხუთის კვადრატზე ტოლი იქნება ხუთის ხარისხად, ბევრი დრო მიაქვს ფერების ცვლილებას, ხარისხად ექვსს მინუს ორი, ანუ ხუთი ხარისხად ოთხი. აქ კი იქნება ხუთი ხარისხად რვა. როდესაც ვამრავლებთ ერთნაირფუძიან რიცხვებს, მათი ხარისხები იკრიბება. ერთფუძიანი რიცხვების გაყოფისას მრიცხველის ხარისხს აკლდება მნიშნველის ხარისხი. რამდენიმე ასეთი მაგალითი გავაკეთოთ. რას უდრის ექვსი ხარისხად შვიდი გაყოფილი ექვსი ხარისხად სამზე? ისევ შეგვიძლია ეს თვისება გამოვიყენოთ. ეს იქნება ექვსი ხარისხად შვიდს მინუს სამი, რაც უდრის ექვსი ხარისხად ოთხს. შეგიძლიათ გამრავლება სცადოთ და დარწმუნდეთ, მიიღებთ ექვსი ხარისხად ოთხს. ახლა რაიმე საინტერესო ვცადოთ. კარგი გადასვლა იქნება შემდეგ ვიდეოზე. ვთქვათ გვაქვს სამი ხარისხად ოთხი გაყოფილი სამი ხარისხად ათზე. თუ პირდაპირ მივუდგებით, ეს იქნება: სამჯერ სამჯერ სამჯერ სამი, გაყოფილი ათი სამიანი გადამრავლებული ერთმანეთზე. რამდენი იქნება? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. თუ წინა ვიდეოს მსგავსად გავაკეთებთ, ეს სამი ამ სამთან იკვეცება, ეს სამებიც იკვეცება და გვრჩება ერთი გაყოფილი 1, 2, 3, 4, 5 და 6 ცალ სამიანზე. ანუ ექვსი გაყოფილი სამი ხარისხად ექვსზე. გვაქვს ერთი შეფარდებული ამ სამიანებთან. თუმცა ეს თვისება იმასაც გვიჩვენებს, რომ ეს გამოსახულება უდრის: სამი ხარისხად ოთხს მინუს ათს. რას უდრის ოთხს მინუს ათი? ეს უარყოფითი რიცხვია. ეს არის სამი ხარისხად მინუს ექვსი. ამ თვისების გამოყენებით მივიღებთ სამს მინუს მეექვსე ხარისხში. უბრალოდ გადამრავლებით მივიღებთ ერთის შეფარდებას სამის მეექვსე ხარისხთან. სახალისო ისაა რომ ეს ჩანაწერები ექვივალენტურია. დაახლოებით ვიგებთ იმას, თუ რას ნიშნავს უარყოფითი ხარისხი. სამი ხარისხად მინუს ექვსი იგივეა, რაც ერთი გაყოფილი სამის მეექვსე ხარისხზე. შემდეგ ვიდეოში ამის მრავალ მაგალითს გავაკეთებთ. ნებისმიერი რამე უარყოფით ხარიხში, მაგალითად a ხარისხად მინუს b უდრის ერთი გაყოფილი a ხარისხად b-ზე. ეს ჩვენ ახლახან დავადგინეთ. ასევე, ვიდეოს დასაწყისში გამოჩნდა რომ თუ გვაქვს a ხარისხად b გაყოფილი a ხარისხად c-ზე, ეს იგივეა რაც a ხარისხად b მინუს c. ეს კიდევ ერთი თვისებაა რომელსაც ვიყენებდით. ახლა კი იმის გამოყენებით რაც ვისწავლეთ ამ და წინა ვიდეოებში, გავაკეთოთ კიდევ რამდენიმე რთული ამოცანა. ვთქვათ გავქვს a ხარისხად სამი გამრავლებული b ხარისხად ოთხზე, გაყოფილი a-ს კვადრატსა და b-ზე და ეს ყველაფერი მესამე ხარისხში. ამის გასამარტივებლად შეგვიძლია უკვე ნასწავლი თვისებების გამოყენება. ეს ტოლი იქნება: a ახრისხად სამი გაყოფილი a კვადრატზე. ეს არის a ხარისხად სამი მინუს ორ ხარისხში. ამისი გამარტივებული სახე იქნება a. ეს არის a-ჯერ a-ჯერ a, გაყოფილი a-ჯერ a-ზე. დაგვრჩება a მრიცხველში. შემდეგ, b ხარისხად ოთხი გაყოფილი b-ზე, ეს უბრალოდ იქნება b ხარისხად სამი. ეს არის b-ს პირველი ხარისხი. ოთხს მინუს ერთი უდრის სამს და ეს ყველაფერი კი მესამე ხარისხშია. არ უნდა დაგვავიწყდეს მესამე ხარისხი. მესამე ხარისხი აქედანაა. სხვა ფერით გამოვყოფ. ეს მესამე ხარისხი აქედანაა, ეს სტაფილოსფერი a კი აქედან. ალბათ გასაგებია რომელი რომელში გადადის. ახლა შეგვიძლია გამოვიყენოთ თვისება, რომლის მიხედვით რიცხვების ნამრავლი რამე ხარისხში არის ამ ხარისხის რიცხვების ნამრავლის ტოლი. a ხარისხად სამი გამრავლებული b-ს კუბის მესამე ხარისხზე. ეს ტოლი იქნება a ხარისხად სამი გამრავლებული b ხარისხად სამჯერ სამზე, რაც იგივეა, რაც b ხარისხად ცხრაზე გამრავლება. ეს გამოსახულება უკვე მაქსიმალურად გამარტივებულია. კიდევ ერთი ასეთი გავაკეთოთ. მგონი კარგი სავარჯიშოებია და მომავალში ძალიან გამოსადეგი იქნება. ვთქვათ გვაქვს 25xy ხარისხად ექვსი გაყოფილი 20y ხარისხად ხუთზე და გაყოფილი x-ის კვადრატზე. ისევ, შეგვიძლია მრიცხველისა და მნიშვნელის შეცვლა. ეს შეგვიძლია გადავწეროთ, როგორც 25/20 გამრავლებული x გაყოფილი x კვადრატზე შეგვეძლო ეს 20-ჯერ x-კვადრატჯერ y-ის მეხუთე ხარისხი აგვეღო. თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს. გამრავლებული y ხარისხად ექვსზე და გაყოფილი y ხარისხად ხუთზე. გამოვიყენოთ ახალნასწავლი თვისებები ამის გასამარტივებლად. 25 გაყოფილი 20-ზე, თუ ორივეს გავყოფთ ხუთზე, იქნება 5/4. x გაყოფილი x კვადრატზე, ამას შეგვიძლია ორნაირად შევხედოთ. შეგვიძლია აღვიქვათ როგორც x ხარისხად მინუს ერთი. აქ პირველი ხარისხია. ერთს მინუს ორი არის მინუს ერთი. ეს ტოლი იქნება x ხარისხად მინუს ერთის და ეს იგივეა, რაც ერთი გაყოფილი x-ზე. ესენი ექვივალენტურია. ვთქვათ ეს უდრის ერთი გაყოფილი x-ზე. ეს იგივეა რაც x გაყოფილი x-ჯერ x-ზე. რომელიმე x ზედა x-თან შეიკვეცება და დაგვრჩება 1 გაყოფილი x-ზე. და ბოლოს, y ხარისხად ექვსი გაყოფილი y ხარისხად ხუთზე, ეს იგივეა რაც y ხარისხად ექვსს მინუს ხუთი, რაც უდრის y ხარისხად ერთს, ანუ უბრალოდ y-ს. თუ გვინდა ამ ყველაფრის რაციონალურ გამოსახულებად ჩაწერა, გვექნება ხუთჯერ ერთხელ y, ანუ 5y, გაყოფილი ოთხჯერ x-ზე. ეს არის y გაყოფილი ერთზე. ოთხჯერ x-ჯერ ერთი და ეს ყველაფერი გაყოფილი 4x-ზე. გამოსახულება წარმატებულად გავამარტივეთ.