სამკუთხედის კუთხის რთული ამოცანა

საინტერესო ამოცანა ჩანს. გვაქვს პოლიგონი. ის ხუთკუთხედს ჰგავს. აქვს 5 გვერდი, ეს არის არაწესიერი ხუთკუთხედი. ყველა გვერდი არ არის ერთი და იმავე სიგრძის. გვერდები თითქოს გაგრძელებულია და გვაქვს გარე კუთხეები. ამ გარე კუთხეების ჯამს გვეკითხებიან. ეს შემაშინებელია, რადგან სხვა ინფორმაციას არ გვაწვდიან. არც ერთ კუთხეს არ გვეუბნებიან. არანაირ მიმართულებას არ გვაძლევენ. --მოდით, ნაბიჯ-ნაბიჯ დავფიქრდეთ იმაზე დაყრდნობით, რაც ვიცით გვაქვს გარე კუთხეები. თითოეული გარე კუთხე რომელიღაც შიგა კუთხის მოსაზღვრე კუთხეა. თუ გამოვსახავთ მათ, როგორც შიგა კუთხეების ფუნქციას, შესაძლოა უფრო გავამარტივოთ ეს პრობლემა. მოდით, აქ შიგა კუთხეები დავწეროთ. --e-მდე უკვე ავედით, ამიტომ ამ შიგა კუთხეს f დავარქვათ. ეს შიდა კუთხე g-თ აღვნიშოთ. ეს აღვნიშნოთ h-ით, ამას i დავარქვათ და ეს კი j-თი აღვნიშოთ. ამ გარე კუთხეების ჯამი-- a იგივეა, რაც 180-ს მინუს g. რადგან a და b მოსაზღვრე კუთხეებია. მაშ, a არის 180-ს მინუს g. შემდეგ გვაქვს პლიუს b, მაგრამ b შეგვიძლია შიდა კუთხეებით გამოვსახოთ. ეს იქნება 180-ს მინუს h. რადგან ეს ორი კუთხე მოსაზღვრეა. ანუ, ეს იქნება 180-ს მინუს h. შეგვიძლია თითოეულისთვის გავაკეთოთ იგივე რამ. c შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც 180-ს მინუს i. ანუ, პლუს 180 მინუს i. d კი შეგვიძია ჩავწეროთ, როგორც 180-ს მინუს j. მაშ, პლიუს 180 მინუს j და ბოლოს e-- ფერები მიმთავრდება-- e შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც 180-ს მინუს f. --პლუს 180, მინუს f. თუ ყველაფერს შევკრებთ-- 180 ხუთჯერ გვაქვს აღებული, ეს იქნება ხუთჯერ 180, რაც 900-ის ტოლია. შემდეგ გაქვთ მინუს g, მინუს h, მინუს i, მინუს j, მინუს f. ასევე შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც მინუს g პლუს h-- მინუსი გამაქვს-- პლუს i, პლუს j, პლუს f. ეს იმითაა საინტერესო, რომ ის, რისი გაგებაც გვინდოდა შიგა კუთხეების ჯამით გამოვსახეთ. ანუ, ეს იქნება 900-ს მინუს ყველაფერი ეს, რაც შიგა კუთხეების ჯამია. როგორც ჩანს, პროგრესი გვაქვს. სულ მცირე, თუ შიგა კუთხეების ჯამის გაგებას შევძლებთ. ამისთვის, პატარა ხრიკს გაჩვენებთ. პოლიგონი უნდა დაყოთ სამ არამკვეთ სამკუთხედად. შეგვიძლია ეს ნებისმიერი მხრიდან გავაკეთოთ. ვთქვათ, ისინი აქედან გამოდიან. --თეთრად გავაკეთებ-- ეს არის ერთი სამკუთხედი. კიდევ ერთ სამკუთხედს გავაკეთებ. აი, სამ არამკვეთ სამკუთხედად დავყავი. ეს იმიტომ გავაკეთე, რომ ვიცით რისი ტოლია სამკუთხედის კუთხეების ჯამი. იმისთვის, რომ ეს გამოსადეგი გვხადოთ, ეს კუთხეები უნდა გამოვსახოთ ამ კუთხეების ჯამით. --კუთხეებით, რომელთა გაგებაც შეგვიძლია იმაზე დაყრდნობით, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180-ის ტოლია. g არის სამკითხედის ერთ-ერთი კუთხე. f შედგება ორი კუთხისგან. გაიხსენეთ, f არის ეს მთლიანი კუთხე. მოდით, f კიდევ ორ კუთხედ დავყოთ. --ორი სხვადასხვა ზომის კუთხედ. ვთქვათ, f უდრის-- k ჯერ არ გამოგვიყენებია-- ვთქვათ, f უდრის k-ს პლუს l. ამ ორი მეზობელი კუთხის ზომების ჯამის ტოლია. მაშ, f უდრის k-ს პლუს l. ამ გზით, ის დავყავით სხვადასხვა სამკუთხედების შემადგენელ კუთხეებად. იგივეს გაკეთება შეგვიძია j-ს შემთხვევაშიც. შეგვიძია ვთქვათ, რადგან j მთლიანი კუთხეა, j უდრის-- l უკვე გამოვიყენეთ ვთქვათ, j უდრის m-ს პლუს n. და ბოლოს შეგვიძლია h დავყოთ. h არის ეს მთლიანი ზედა კუთხე. ვთქვათ, h იგივეა, რაც o-ს პლუს p, პლუს q. ეს არის o, ეს- p, ეს- q. კიდევ ერთხელ, მინდოდა გამეყო ეს შიგა კუთხეები. თუ ისინი უკვე არ იყვნენ სამკუთხედების კუთხეები. ისე მინდოდა კუთხეების გაყოფა, რომ ამ სამკუთხედების კუთხეები ყოფილიყვნენ. გვაქვს, h უდრის o-ს პლუს p, პლუს q. ახლა შეგვიძლია ამ შიდა კუთხეების ჯამის დავწერა როგორც ამ სამკუთხედების შემადგენელი კუთხეების ჯამი. შემდეგ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ ყველა სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია. ეს გამოსახულება იქნება g--g აი ეს კუთხეა, არ ჩაგვინაცვლებია-- -- მოდით, მთლიანად დავწერ-- გვაქვს 900-ს მინუს-- რადგანაც g-ს არ ვცვლი, შემიძლია დავწერო g-ს პლუს-- h-ის ნაცვლად დავწერ, რომ h უდრის o პლუს p, პლუს q. შემდეგ პლუს i, შემდეგ, პლუს j-- j ეს გამოსახულებაა-- ანუ, j უდრის m-ს პლუს n. პლუს m, პლუს n-- j-ს ნაცვლად. და ბოლოს გვაქვს f. f-- როგორც უკვე ვნახეთ-- უდრის k-ს პლუს l. ანუ, პლუს k, პლუს l. კიდევ ერთხელ, ეს ნაწილი გადავწერე შემადგენელი კუთხეების მიხედვით. ახლა ძალიან საინტერესო რამ მოხდება. რადგანაც ვიცით რისი ტოლი იქნება ეს ჯამები. ვიცით, რომ g-ს პლუს k-ს პლუს o 180 გრადუსს უდრის. ისინი პირველი სამკუთხედის კუთხეებია, ანუ, g-ს პლუს o, პლუს k 180 გრადუსის ტოლია. --ამ სამკუთხედისთვის ვიცით რომ g პლუს o პლუს k 180-ის ტოლი იქნება. თუ გადავხაზავთ, მათ ნაცვლად 180-ის დაწერა შეგვიძლია. ასევე, ვიცით რომ-- შუა სამკუთხედისთვის-- ვიცით, რომ p-ს პლუს l პლუს m 180 გრადუსის ტოლია. ანუ, p პლუს l პლუს m 180 გრადუსია-- ამათ გადახაზავთ. და იცით, რომ მათი ჯამი 180-ის ტოლია. და ბოლოს-- ეს დასკვნითი ნაწილია-- ვიცით, რომ q-ს პლუს n, პლუს i 180 გრადუსის ტოლია ბოლო სამკუთხედში. q, პლუს n, პლუს i 180 გრადუსია. ეგ სამიც 180 გრადუსი იქნება. ახლა ვიცით, რომ ამ არაწესიერი ხუთკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი --ეს მართალი იქნება ნებისმიერი ხუთკუთხედისთვის-- არის 180-ს პლუს 180, პლუს 180 რაც 540 გრადუსის ტოლია. ანუ ეს არის 540 გრადუსი. გარე კუთხეების ჯამი თუ გვინდა, ამას ვაკლებთ 900-ს. ანუ, 900-ს მინუს 540 360 გრადუქი იქნება. ეს 360 გრადუსის ტოლი იქნება.