აბსოლუტური მინიმუმისა და მაქსიმუმის მიმოხილვა

აბსოლუტური მაქსიმუმის წერტილი ის წერტილია, სადაც ფუნქცია უდიდეს შესაძლო მნიშვნელობას იღებს. ამის მსგავსად, აბსოლუტური მინიმუმის წერტილი ის წერტილია, სადაც ფუნქცია უმცირეს შესაძლო მნიშვნელობას იღებს.

დავუშვათ, უკვე იცით, როგორ იპოვოთ ლოკალური მინიმუმი და მაქსიმუმი, თუმცა აბსოლუტური ექსტრემუმის წერტილის პოვნა კიდევ ერთ ნაბიჯს მოიცავს: ბოლოების განხილვას ორივე მიმართულებით.

ვაიერშტრასის თეორემა გვეუბნება, რომ უწყვეტმა ფუნქციამ უნდა მიიღოს აბსოლუტური მინიმუმისა და მაქსიმუმის მნიშვნელობები ჩაკეტილ ინტერვალზე. ეს ექსტრემუმის მნიშვნელობები მიიღება ან ინტერვალის ლოკალურ ექსტრემუმის წერტილზე, ან ინტერვალის ბოლოებზე.

მაგალითისთვის ვიპოვოთ $h(x)=2x^3+3x^2-12x$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x-ის აბსოლუტური ექსტრემუმი $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 ინტერვალზე.

$h'(x)=6(x+2)(x-1)$h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, ასე რომ, კრიტიკული წერტილებია $x=-2$x, equals, minus, 2 და $x=1$x, equals, 1. ისინი ჩაკეტილ ინტერვალს $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 სამ ნაწილად ჰყოფენ:

ახლა მოდით, შევხედოთ ინტერვალის კრიტიკულ წერტილებსა და ბოლოებს:

ჩაკეტილ ინტერვალზე $-3 \leq x \leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3, $(-3,9)$left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis და $(1,-7)$left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis წერტილები ლოკალური მინიმუმებია და $(-2,20)$left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis და $(3,45)$left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis - ლოკალური მაქსიმუმები.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ აბსოლუტური მინიმუმის მნიშვნელობა მიიღება ინტერვალის შიგნით და აბსოლუტური მაქსიმუმი მიიღება ბოლოებზე.

ყველა ფუნქციას არ აქვს აბსოლუტური მაქსიმუმის ან მინიმუმის წერტილი განსაზღვრის მთლიან არეზე. მაგალითად, $f(x)=x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x წრფივ ფუნქციას არ აქვს აბსოლუტური მინიმუმი ან მაქსიმუმი (მას ნებისმიერი სიდიდის მნიშვნელობა აქვს).

თუმცა, ზოგ ფუნქციას მართლაც აქვს აბსოლუტური ექსტრემუმი. მოდით, მაგალითისთვის გავაანალიზოთ $g(x)=xe^{3x}$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript ფუნქცია.

$g'(x)=e^{3x}(1+3x)$g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, ასე რომ, ერთადერთი კრიტიკული წერტილია $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.

მოდით, წარმოვიდგინოთ $g$g-ის გრაფიკზე მოძრაობა განსაზღვრის არეს უკიდურესი მარცხენა მხრიდან ($-\infty$minus, infinity-დან) უკიდურეს მარჯვენა მხარემდე ($+\infty$plus, infinity-მდე).

დავიწყებთ ქვევით გადაადგილებას, სანამ $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction-ს მივაღწევთ. შემდეგ უსასრულოდ ზევით ვიმოძრავებთ. ასე რომ, $g$g-ს აბსოლუტური მინიმუმის წერტილია $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. ფუნქციას არ აქვს აბსოლუტური მაქსიმუმის მნიშვნელობა.