გაყოფა (შესავალი)

ალბათ, აქამდეც გაგიგიათ სიტყვა "გაყოფა", ვინმეს უთქვამს თქვენთვის, რამე გაგეყოთ, მაგალითად, თანაბრად გაგეყოთ ფული თქვენს ძმასა და თქვენს შორის ან თქვენს მეგობარსა და თქვენს შორის. ეს მხოლოდ რაღაცის ნაწილებად დაჭრას ნიშნავს. მოდით დავწერ სიტყვას "გაყოფა". ვთქვათ, მე მაქვს ოთხი 25-ცენტიანი მონეტა -- ვეცდები, კარგად დავხატო მონეტები -- ვთქვათ, მაქვს ოთხი 25-ცენტიანი მონეტა, სწორედ ასე. -- ეს ჯორჯ ვაშინგტონის ჩემებური ვერსიაა 25 ცენტიან მონეტაზე -- და ვთქვათ, ორნი ვართ და ვაპირებთ ჩვენ შორის მონეტების თანაბრად გაყოფას. -- ეს მე ვარ, აი, აქ -- -- შევეცდები, კარგად დავხატო ჩემი თავი -- -- ეს მე ვარ -- -- ბევრი თმა მაქვს -- ეს კი თქვენ ხართ, აი აქ. -- შევეცდები კარგად დავხატო -- -- ვითომ თქვენ მელოტი ხართ -- -- მაგრამ ბაკები გაქვთ -- -- და ცოტა წვერიც -- მოკლედ, ეს თქვენ ხართ, ეს კი მე და ჩვენ ვაპირებთ ამ ოთხი მონეტის თანაბრად გაყოფას ჩვენს შორის. შევნიშნოთ, რომ გვაქვს ოთხი ცალი მონეტა და მათ გაყოფას ჩვენ ორს შორის ვაპირებთ. ჩვენ ორნი ვართ. მინდა, ხაზი გავუსვა რიცხვ ორს. ესე იგი, გვინდა ოთხი მონეტა გავყოთ ორზე. ვაპირებთ ამ მონეტების ჩვენ ორს შორის გაყოფას. ასეთი რამ, ალბათ, უკვე გაგიკეთებიათ. ორივეს დაგვრჩება ორ-ორი მონეტა. მოდით, გავყოთ. უნდა გავყოთ ორ ნაწილად. აქ გავაკეთეთ შემდეგი რამ: ავიღეთ ოთხი მონეტა და გავყავით ორ თანაბარ ნაწილად ორ თანაბარ ნაწილად. და სწორედ ესაა გაყოფაც. ჩვენ ორ თანაბარ ნაწილად "დავჭერით" ეს მონეტების ჯგუფი. ესე იგი, როცა ოთხ მონეტას ორ ჯგუფად ვყოფთ, -- აი, ამ ოთხ მონეტაზეა საუბარი -- და გვინდა მათი ორ ჯგუფად გაყოფა ეს არის პირველი ჯგუფი -- ჯგუფი ნომერი ერთი, აი, აქ -- ეს კი - ჯგუფი ნომერი ორი. რამდენი რიცხვია თითოეულ ჯგუფში? ან, რამდენი მონეტაა თითოეულ ჯგუფში? თითო ჯგუფში არის ერთი, ორი - ორი მონეტა. -- უფრო ღია ფერი უნდა გამოვიყენო -- გვაქვს ერთი, ორი - ორი მონეტა თითო ჯფუგში. ერთი და ორი - ორი მონეტა თითო ჯგუფში. ჩავწეროთ ეს მათემატიკურად, ალბათ, ასეთი რამ უკვე გაგიკეთებიათ, თუ, რა თქმა უნდა, ფული გაგინაწილებიათ ოდესმე თქვენსა და თქვენს მეგობრებს შორის. -- ოდნავ გვერდზე გავწევ, რომ უკეთ დაინახოთ მთელი სურათი -- როგორ ჩავწეროთ ეს მათემატიკურად? შეგვიძლია, დავწეროთ, რომ ოთხი გაყოფილი -- ეს არის ოთხი -- -- სწორ ფერებს გამოვიყენებ -- ესე იგი, ეს არის ოთხი, გაყოფილი ორ ჯგუფზე ეს კი ორი ჯგუფია: პირველი ჯგუფი და მეორე. გაყოფილი ორ ჯგუფად ოთხი გაყოფილი ორზე ტოლია -- როცა ოთხს ვყოფთ ორ ტოლ ჯგუფად, თითო ჯგუფში იქნება ორი მონეტა. -- ტოლია ორის. ეს მაგალითი მოვიყვანე იმის საჩვენებლად, რომ გაყოფას თქვენ აქამდეც იყენებდით. ასევე, საინტერესოა, რომ გაყოფა გარკვეული სახით გამრავლების შებრუნებულია. თუ გვექნებოდა ორი ჯგუფი, თითოში ორი მონეტით, გავამრავლებდით ორ ჯგუფს ორ მონეტაზე და გვექნებოდა სულ ოთხი მონეტა. გარკვეული სახით, ესეც იგივეს ამბობს. რათა ეს უფრო ცხადი გახდეს, რამდენიმე მაგალითი გავაკეთოთ. გავაკეთოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი. დავწეროთ, რას უდრის ექვსი გაყოფილი -- ვცდილობ მარტივად გასარჩევად ვწერო -- რას უდრის ექვსი გაყოფილი სამზე? დავხატოთ ექვსი საგანი. იყოს ეს ნებისმიერი რამ. ვთქვათ, გვაქვს ექვსი ცალი ბულგარული წიწაკა. -- ძალიან არ ვიწვალებ დახატვაზე -- -- ბულგარული წიწაკა მთლად ასე არ გამოიყურება -- -- იდეა გასაგებია-- 1, 2, 3, 4, 5, 6. გავყოთ სამზე. ეს შეგვიძლია, ასე გავიგოთ: ჩვენ გვინდა, რომ ეს ექვსი წიწაკა დავყოთ წიწაკების სამ თანაბარ ჯგუფებად. თითქოს სამი ადამიანი აპირებს ამ წიწაკების ერთმანეთში განაწილებას. რამდენს მიიღებს თითოეული მათგანი? დავყოთ სამ ჯგუფად. სულ არის ექვსი ბულგარული წიწაკა. დავყოთ სამ ჯგუფად. მათ დასაყოფად ასეთ ხერხს მივმართოთ: ერთი ჯგუფი იყოს ეს, ერთი ჯგუფი - ეს, ერთიც - ეს. მაშინ რამდენი წიწაკა იქნება თითოეულ ჯგუფში? თითოში იქნება ერთი, ორი. ერთი, ორი. ერთი, ორი - ორი ბულგარული წიწაკა. ექვსი გაყოფილი სამზე უდრის ორს. მოდით, ამოცანას ასე შევხედოთ: ჩვენ დავყავით ექვსი სამ ჯგუფად. ახლა შევხედოთ ამას სხვანაირად: -- ეს დიდად არ განსხვავდება, მაგრამ საინტერესო კუთხეა ამოცანის -- ასევე, შეგვიძლია, ამას შევხედოთ, როგორც ექვსი გაყოფილი სამზე. ვთქვათ, ახლა გვაქვს ჟოლო -- უფრო მარტივია დასახატად -- 1, 2, 3, 4, 5, 6 და ამ შემთხვევაში, სამ ჯგუფად დაყოფის მაგივრად (როგორც ეს წეღან გავაკეთეთ), -- ეს იყო პირველი ჯგუფი, მეორე, მესამე. სამ ჯგუფად დაყოფის მაგივრად, ასე მოვიქცეთ: თუ ვყოფთ ექვსს სამზე, გვინდა რომ დავყოთ ჯგუფებად, რომლებშიც სამ-სამი ჟოლოა. არ ვყოფთ სამ ჯგუფად, ვყოფთ ჯგუფებად, რომლებშიც სამ-სამი ჟოლოა. რამდენ ჯგუფს მივიღებთ ამ შემთხვევაში? დავხატოთ სამჟოლოიანი ჯგუფები. ეს არის ერთი სამჟოლოიანი ჯგუფი, ეს კი - მეორე. ესე იგი, თუ ექვსს გავყოფთ ორ ისეთ ჯგუფად, რომ თითოში სამი შედიოდეს, გვექნება ერთი, ორი - ორი ჯგუფი. მოდით, ახლა გაყოფას მეორენაირად შევხედოთ: ესეც საინტერესოა. როცა ამ დამოკიდებულებებს დაუფიქრდებით, დაინახავთ კავშირს ექვსის ორზე გაყოფასა და ექვსის სამზე გაყოფას შორის. მოდით, აქვე დავწერ. რა არის ექვსი გავყოთ ორზე ექვსი გავყოთ ორზე 1, 2, 3, 4, 5, 6. როცა ექვსის ორზე გაყოფას ვუყრებთ, როგორც ექვსის ორ ჯგუფად გაყოფას, გვექნება ერთი ასეთი ჯგუფი, ერთი კი - ასეთი და ყოველ ჯგუფში იქნება სამი წევრი (ელემენტი) მასში შევა სამი რამ. ესე იგი, ექვსი გავყოთ ორზე არის სამი. შეგვიძლია, სხვანაირად შევხედოთ. შეგვიძლია, ვთქვათ, რომ ექვსი გაყოფილი ორზე არის -- ვიღებთ ექვს ნივთს: ერთი, ორი, სამი, ოთხი, ხუთი, ექვსი და ვყოფთ ორ-ორ წევრიან ჯგუფებად ჯგუფებად, რომლებშიც ორ-ორი ელემენტია რაც, გარკვეულწილად, უფრო მარტივია. თუ თითო ჯგუფში შედის ორი ელემენტი -- არცაა აუცილებელი, დალაგებული იყოს -- ერთი შეიძლება ეს ჯგუფი იყოს ეს კი სხვა ჯგუფი. მოდით, ზუსტად არ დავხატავ. ეს არის ორწევრიანი ჯგუფები. სულ რამდენი ჯგუფი იქნება? არის ერთი, ორი, სამი. გვაქვს სამი ჯგუფი. დააკვირდით,, რომ ექვსი გაყოფილი სამზე არის ორი და ექვსი გაყოფილი ორზე არის სამი -- ჩავიწერ -- ესე იგი, ექვსი გაყოფილი სამზე არის ორი და ექვსი გაყოფილი ორზე უდრის სამს. რა ხდება? რატომ შეგვიძლია, ადგილები შევუნაცვლოთ ორსა და სამს? იმიტომ, რომ ორჯერ სამი არის ექვსი. ვთქვათ, გვაქვს ორი სამწევრიანი ჯგუფი. -- დავხატავ ამ ჯგუფებს -- ეს ერთი სამწევრიანი ჯგუფი, ესეც - მეორე. ორი სამწევრიანი ჯგუფი არის ექვსის ტოლი. ორჯერ სამი არის ექვსი. შეგვიძლია ასეც შევხედოთ: თუ გვაქვს სამი ორელემენტიანი ჯგუფი, -- ერთი ჯგუფი იყოს ეს, ერთი ეს, ერთი ორელემენტიანი ჯგუფი კი - ეს რის უდრის ამ ჯგუფების ჯამი? სამი ორელემენტიანი ჯგუფი - სამი გავამრავლოთ ორზე ეს, ასევე, ექვსის ტოლია. ესე იგი, ორჯერ სამი არის ექვსი. სამჯერ ორიც ექვსია. გამრავლების ვიდეოში ვიხილეთ, რომ თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს. სწორედ ამიტომაა, რომ თუ გვინდა გაყოფა, თუ გვინდა მეორენაირად -- თუ ექვსის დაყოფა გვინდა ორელემენტიან ჯგუფებად, მივიღებთ სამ ჯგუფს. თუ ექვსის დაყოფა სამელემენტიან ჯგუფებად გვინდა, მივიღებთ ორ ჯგუფს. ამოვხსნათ კიდევ რამდენიმე ამოცანა, რათა უფრო გასაგები გახდეს, თუ რა არის გაყოფა. გავაკეთოთ ეს საინტერესო ამოცანა გავყოთ ცხრა ოთხზე. რადგან ცხრას ვყოფთ ოთხზე, დავხატავ ცხრა საგანს 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. როცა ვყოფთ ოთხზე, იგულისხმება დაყოფა ოთხელემენტიან ჯგუფებად. თუ გვინდა ოთხელემენტიან ჯგუფებად დავყოთ, აქ არის ერთი ოთხელემენტიანი ჯგუფი, ნებისმიერის არჩევა შეიძლება ესეც ერთი ჯგუფი, ერთი ოთწევრიანი ჯგუფი ესაა, ერთიც - ეს. და გვრჩება ეს რაღაც რასაც შეგვიძლია, ნაშთი ვუწოდოთ. ამ ნაშთს ოთხელემენტიან ჯგუფად ვერ ჩავთვლი. როცა ვყოფთ ოთხზე, მხოლოდ ცხრის დაყოფა შეგვიძლია ოთხელემენტიან ჯგუფებად, და ამიტომ, ამ გამოსახულების პასუხი, რაც, ალბათ ახალიცაა თქვენთვის, ცხრა გაყოფილი ოთხზე იქნება ორი ჯგუფი. ერთი ჯგუფი აქ, ერთიც - აქ და ნაშთი - ერთი. დაგვრჩა ერთი, რომელიც ჯგუფად ვერ წარმოვადგინეთ. ნაშთი აქ ტოლია ერთის. ცხრა გაყოფილი ოთხზე არის ორი ნაშთით ერთი. მე რომ მეკითხა თქვენთვის, რას უდრის თორმეტი გაყოფილი ოთხზე -- დავწერ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. თორმეტი გაყოფილი ოთხზე. ესე იგი, გვინდა, დავყოთ თორმეტი საგანი -- შეიძლება, იყოს ვაშლები ან ქლიავები -- დავყოთ ოთხელემენტიან ჯგუფებად. ვნახოთ, თუ გამოვა. ეს არის ერთი ოთხიანი ჯგუფი, ეს მეორე, მსგავსი ჯგუფი, შემდეგ მესამე ჯგუფი და არაფერი რჩება ზედმეტი, თორმეტი შეგვიძლია, ზუსტად დავყოთ ოთხიან ჯგუფებად. ერთი, ორი, სამი - სამი ოთხელემენტიანი ჯგუფი. თორმეტი გავყოთ ოთხზე უდრის სამს. შეგვიძლია, გავაკეთოთ წინა ვიდეოს სავარჯიშოც. რას უდრის თორმეტი გაყოფილი სამზე? -- ახალ ფერს გამოვიყენებ -- თორმეტი გაყოფილი სამზე. იმის მიხედვით, რაც ვისწავლეთ შეგვიძლია, ვთქვათ, რომ ეს იქნება ოთხი, რადგან სამჯერ ოთხი არის თორმეტი. მაგრამ, მოდით, დავრწმუნდეთ. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. დავყოთ სამელემენტიან ჯგუფებად. ამჯერად ცოტა უცნაურად დავხატავ, იმის წარმოსაჩენად, რომ არაა აუცილებელი, ჯგუფები ზუსტად დაწყობილი იყოს ეს არის სამელემენტიანი ჯგუფი. თორმეტი გაყოფილი სამზე. აქაც ერთი მსგავსი სამელემენტიანი ჯგუფია კიდევ ერთი ჯგუფი ეს და ესეც კიდევ ერთი ჯგუფი. ცხადია, უფრო მარტივადაც შეიძლებოდა დაყოფა, არ იყო საჭირო ეს უცნაური ფორმები, მაგრამ მინდოდა, მეჩვენებინა, რომ ნებისმიერ შემთხვევაში უბრალოდ სამად ყოფთ. რამდენი ჯგუფი გამოგვივიდა? ერთი ჯგუფი ესაა, მეორე ჯგუფია ეს, მესამე ეს, მეოთხე ჯგუფი კი -- სხვა ფერით დავხატავ მეოთხე ჯგუფი კი ესაა. გვაქვს ზუსტად ოთხი ჯგუფი. არის უფრო მარტივი გზა ამის გაკეთბის, ეს გზა არის თორმეტი საგნის დაყოფა სამელემენტიან ჯგუფებად. შეგვეძლომ უბრალოდ დაგვეყო ერთი, ორი, სამი, ოთხი - ოთხ სამელემენტიან ჯგუფად. თორმეტ საგანს ვყოფთ სამსაგნიან ჯგუფებად, ამოვხსნათ კიდევ ერთი მაგალითი, სავარაუდოდ, ნაშთიანი. რას უდრის თოთხმეტი გაყოფილი ხუთზე? დავხატოთ თოთხმეტი საგანი. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. თოთხმეტი საგანი. დავყოთ ხუთელემენტიან ჯგუფებად. ერთი ჯგუფია ეს, მეორე ჯგუფი - ეს, მაგრამ ახლა მხოლოდ ოთხი დაგვრჩა, ანუ, მესამე მსგავს ჯგუფს ვეღარ გავაკეთებთ. შესაბამისად, პასუხია შემდეგი: ვაკეთებთ ორ ხუთელემენტიან ჯგუფს, და გვექნება ნაშთი ოთხი --ნაშთი r-ით აღვნიშნოთ -- ორი ნაშთით ოთხი. როცა საკმარისად გავვარჯიშდებით, საჭირო აღარ იქნება ასეთი წრეების ხატვა და მათი ასე დაყოფა, თუმცა ეს არასწორი არ იქნება. კიდევ ერთი გზა ასეთი ამოცანის გადასაჭრელად ასეთია: რას უდრის თოთხმეტი გაყოფილი ხუთზე? როგორ გავიგოთ? შეგვიძლია, მოვიქცეთ ასე თოთხმეტი გაყოფილი ხუთზე იგივეა, რაც თოთხმეტი გაყოფილი -- -- ამ სიმბოლოთი აღვნიშნოთ -- ხუთზე. მოვიქცეთ შემდეგნაირად, რამდენიჯერ ეტევა ხუთი თოთხმეტში? ხუთი გავამრავლოთ -- უნდა გვახსოვდეს გამრავლების ტაბულა -- ხუთჯერ ერთი არის ხუთი. ხუთჯერ ორი არის ათი. ეს ჯერ კიდევ ნაკლებია თოთხმეტზე, ესე იგი, ხუთი ორჯერ მაინც ჩაეტევა ხუთჯერ სამი არის თხუთმეტი თხუტმეტი თოთხმეტზე მეტია, ესე იგი, ხუთი მხოლოდ ორჯერ ჩაეტევა თოთხმეტში. ჩაეტევა მხოლოდ ორჯერ. ორჯერ ხუთი არის ათი. შემდეგ კი გამოვაკლოთ. თოთხმეტს გამოვაკლოთ ათი არის ოთხი. ეს კი ნაშთია, აი, აქ. თოთხმეტში ხუთი ორჯერ ჩავატიეთ, რაც გვაძლევს ორ ხუთიან ჯგუფს. რაც, ცხადია, ათს უდრის, მაგრამ მაინც დაგვრჩა ნაშთი: ოთხი. გავაკეთოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი, რომ ნამდვილად კარგად გავიგოთ, თუ რა არის გაყოფა მოდით, ასე ჩავიწეროთ რვა გაყოფილი ორზე. ეს რვა, ასევე, შეგვიძლია, დავწეროთ, როგორც -- -- შევიძლია, ასევე, დავწეროთ, როგორც რვა გაყოფილი ორზე. და გზა, რომლითაც მე ამას გავაკეთებ -- ახლავე დავხატავ წრეებს -- გზა, რომლითაც მე ამას გავაკეთებ წრეების დახატვის გარეშე, არის ეს: ორჯერ ერთი არის ორი, ესე იგი, ეს შევა რვაში. იქნებ, უფრო დიდი რიცხვიც არის, რომელიც შემიძლია, გავამრავლო ორზე და ჩავატიო რვაში? ორჯერ ორი არის ოთხი. ეს ისევ ნაკლებია რვაზე. ორჯერ სამი ტოლია ექვსის. ისევ ნაკლებია რვაზე. ორჯერ -- კალამს რაღაც დაემართა ორჯერ ოთხი არის ზუსტად რვა. ესე იგი, ორი რვაში ოთხჯერ ეტევა. ესე იგი, შეგვიძლია. ვთქვათ, რომ ორი რვაში ოთხჯერ მოთავსდება. ან, რვა გაყოფილი ორზე ტოლია ოთხის. შეგვიძლია, წრეებიც დავხატოთ. ერთი, ორი, სამი, ოთხი, ხუთი, ექვსი, შვიდი, რვა. ასე არეულად სპეციალურად დავხატე. დავყოთ ისინი ორწევრიან ჯგუფებად. გვაქვს ერთი ორიანი ჯგუფი, მეორე, მესამე და მეოთხე ორიანი ჯგუფი. ესე იგი, თუ მაქვს რვა ნივთი, ვყოფ მათ ორიან ჯგუფებად, მივიღებ ოთხ ჯგუფს. ესე იგი, რვა გაყოფილი ორზე ოთხია. იმედია, ეს ვიდეო დაგეხმარათ!