ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა II > თემა 11

გაკვეთილი 1: არითმეტიკული პროგრესია

არითმეტიკული პროგრესიის რეკურსიული ფორმულები

ისწავლეთ არითმეტიკული პროგრესიების რეკურსიული ფორმულების პოვნა. მაგალითად, იპოვეთ 3, 5, 7,... მიმდევრობის რეკურსიული ფორმულა

ამ გაკვეთილის დაწყებამდე დარწმუნდით, რომ უკვე ისწავლეთ არითმეტიკული პროგრესიის ფორმულების საფუძვლები.

როგორ მუშაობს რეკურსიული ფორმულა

რეკურსიული ფორმულა გვაძლევს ორი სახის ინფორმაციას:

მიმდევრობის პირველი წევრი
კანონზომიერების წესი, რომ ყველა წევრი წინა წევრიდან მომდინარეობს

ეს არის რეკურსიული ფორმულა მიმდევრობისთვის

3, 5, 7, …

, მისი თითოეული ნაწილის განმარტებებთან ერთად.

${\begin{cases} a (1) = 3 & \leftarrow პირველი წევრია 3 \\ a (n) = a (n - 1) + 2 & \leftarrow დაუმატეთ 2 წინა წევრს \end{cases}$ ‍

ფორმულაში

n

ნებისმიერი წევრის ნომერია,

a (n)

მე-

n^{}

წევრია. ანუ,

a (1)

პირველი წევრია,

a (n - 1)

კი მე-

n^{}

წევრის წინა წევრია.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მეხუთე წევრი, მაგალითად, ჩვენ უნდა განვავრცოთ მიმდევრობა თითო-თითო წევრით:

$a (n)$ ‍	$= a (n - 1) + 2$ ‍
$a (1)$ ‍			$= 3$ ‍
$a (2)$ ‍	$= a (1) + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a (3)$ ‍	$= a (2) + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a (4)$ ‍	$= a (3) + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a (5)$ ‍	$= a (4) + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

მაგარია! ეს ფორმულა გვაძლევს იგივე მიმდევრობას, რომელიც გადმოცემულია

3, 5, 7, …

მიმდევრობის სახით

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) იპოვეთ $b (4)$ ‍ მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით:

{\begin{cases} b (1) = - 5 \\ b (n) = b (n - 1) + 9 \end{cases}

b (4) =

ამ ფორმულის მნიშვნელობა შეიძლება, სიტყვიერად ასე ჩამოვაყალიბოთ:

პირველი წევრია $- 5$ ‍ და ნებისმიერი შემდეგი წევრი უდრის მის წინა წევრს დამატებული $9$ ‍.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ

b (4)

, უნდა განვავრცოთ მიმდევრობა თითო-თითო წევრით:

$b (n)$ ‍	$= b (n - 1) + 9$ ‍
$b (1)$ ‍			$= - 5$ ‍
$b (2)$ ‍	$= b (1) + 9$ ‍	$= - 5 + 9$ ‍	$= 4$ ‍
$b (3)$ ‍	$= b (2) + 9$ ‍	$= 4 + 9$ ‍	$= 13$ ‍
$b (4)$ ‍	$= b (3) + 9$ ‍	$= 13 + 9$ ‍	$= 22$ ‍

აქედან გამომდინარე, $b (4) = 22$ ‍.

რეკურსიული ფორმულის დაწერა

დავუშვათ, რომ გვინდა დავწეროთ

5, 8, 11, …

არითმეტიკული პროგრესიის რეკურსიული ფორმულა

ფორმულის ორმა ნაწილმა უნდა მოგვცეს შემდეგი ინფორმაცია:

პირველი წევრი $($ ‍რომელიც არის $5)$ ‍
წესი, რომ მივიღოთ ნებისმიერი წინა წევრის მომდევნო წევრი $($ ‍რაც ნიშნავს „დაუმატეთ $3$ ‍" $)$ ‍

ამიტომ, რეკურსიული ფორმულა უნდა გამოიყურებოდეს შემდეგნაირად:

${\begin{cases} c (1) = 5 \\ c (n) = c (n - 1) + 3 \end{cases}$ ‍

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

2) რა არის $12, 7, 2, …$ ‍ მიმდევრობის რეკურსიული ფორმულა ?

ფორმულის ორმა ნაწილმა უნდა მოგვცეს შემდეგი ინფორმაცია:

პირველი წევრი $($ ‍რომელიც არის $12)$ ‍
წესი, რომ მივიღოთ ნებისმიერი წინა წევრის მომდევნო წევრი $($ ‍რაც ნიშნავს „გამოაკელით $5$ ‍" $)$ ‍

ამიტომ, რეკურსიული ფორმულა უნდა გამოიყურებოდეს შემდეგნაირად:

${\begin{cases} d (1) = 12 \\ d (n) = d (n - 1) - 5 \end{cases}$ ‍

3) შეავსეთ რეკურსიულ ფორმულაში გამოტოვებული სიდიდეები შემდეგი მიმდევრობისთვის: $2, 8, 14, . .$ ‍.

{\begin{cases} e (1) = A \\ e (n) = e (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ თქვენი პასუხი უნდა იყოს მთელი რიცხვი, როგორიცაა $6$ ‍ გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად $3 / 5$ ‍ გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად $7 / 4$ ‍ შერეული რიცხვი, როგორიცაა $1 3 / 4$ ‍ ზუსტი ათწილადი, მაგალითად $0.75$ ‍ pi-ს ჯერადი, როგორიცაა $12 pi$ ‍ ან $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ თქვენი პასუხი უნდა იყოს მთელი რიცხვი, როგორიცაა $6$ ‍ გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად $3 / 5$ ‍ გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად $7 / 4$ ‍ შერეული რიცხვი, როგორიცაა $1 3 / 4$ ‍ ზუსტი ათწილადი, მაგალითად $0.75$ ‍ pi-ს ჯერადი, როგორიცაა $12 pi$ ‍ ან $2 / 3 pi$ ‍

ფორმულის ორმა ნაწილმა უნდა მოგვცეს შემდეგი ინფორმაცია:

პირველი წევრი $($ ‍რომელიც არის $2)$ ‍
წესი, რომ მივიღოთ ნებისმიერი წინა წევრის მომდევნო წევრი $($ ‍რაც ნიშნავს „დაუმატეთ $6$ ‍" $)$ ‍

ამიტომ, რეკურსიული ფორმულა უნდა გამოიყურებოდეს შემდეგნაირად:

${\begin{cases} e (1) = 2 \\ e (n) = e (n - 1) + 6 \end{cases}$ ‍

გამოდის, რომ $A = 2$ ‍ და $B = 6$ ‍.

4) შეავსეთ რეკურსიულ ფორმულაში გამოტოვებული სიდიდეები შემდეგი მიმდევრობისთვის: $- 1, - 4, - 7, …$ ‍.

{\begin{cases} f (1) = A \\ f (n) = f (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ თქვენი პასუხი უნდა იყოს მთელი რიცხვი, როგორიცაა $6$ ‍ გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად $3 / 5$ ‍ გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად $7 / 4$ ‍ შერეული რიცხვი, როგორიცაა $1 3 / 4$ ‍ ზუსტი ათწილადი, მაგალითად $0.75$ ‍ pi-ს ჯერადი, როგორიცაა $12 pi$ ‍ ან $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ თქვენი პასუხი უნდა იყოს მთელი რიცხვი, როგორიცაა $6$ ‍ გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად $3 / 5$ ‍ გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად $7 / 4$ ‍ შერეული რიცხვი, როგორიცაა $1 3 / 4$ ‍ ზუსტი ათწილადი, მაგალითად $0.75$ ‍ pi-ს ჯერადი, როგორიცაა $12 pi$ ‍ ან $2 / 3 pi$ ‍

ფორმულის ორმა ნაწილმა უნდა მოგვცეს შემდეგი ინფორმაცია:

პირველი წევრი $($ ‍რომელიც არის $- 1)$ ‍
წესი, რომ მივიღოთ ნებისმიერი წინა წევრის მომდევნო წევრი $($ ‍რაც ნიშნავს „გამოაკელით $3$ ‍" $)$ ‍

ამიტომ, რეკურსიული ფორმულა უნდა გამოიყურებოდეს შემდეგნაირად:

${\begin{cases} f (1) = - 1 \\ f (n) = f (n - 1) - 3 \end{cases}$ ‍

გამოდის, რომ $A = - 1$ ‍ და $B = - 3$ ‍.

დასაფიქრებელი შეკითხვა

5) აქ არის არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი რეკურსიული ფორმულა.

{\begin{cases} g (1) = A \\ g (n) = g (n - 1) + B \end{cases}

რას უდრის მიმდევრობის სხვაობა?

ამ ფორმულის მნიშვნელობა შეიძლება, სიტყვიერად ასე ჩამოვაყალიბოთ:

პირველი წევრი არის $A$ ‍
ნებისმიერი წინა წევრის შემდეგი წევრის მისაღებად დაუმატეთ $B$ ‍.

ის, რასაც ვუმატებთ ყოველ წევრს, რომ მივიღოთ მისი შემდეგი წევრი, არის მიმდევრობის სხვაობა, ასე რომ, მიმდევრობის სხვაობა არის უბრალოდ $B$ ‍.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.