ძირითადი მასალა
მიმდინარე დრო:0:00მთლიანი ხანგრძლივობა:3:32

სასრული არითმეტიკული პროგრესიის ფორმულის დამტკიცება

ვიდეოს აღწერა

ბოლო ვიდეოში ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ყველა დადებითი მთელი რიცხვის ჯამი, n-დან n-ის ჩათვლით, შეიძლება გამოისახოს, როგორც n(n+1)/2 და ჩვენ დავამტკიცეთ ეს ინდუქციით. რისი გაკეთებაც მინდა ამ ვიდეოში არის, ის, რომ გაჩვენოთ, ეს არის უფრო მარტივად დასამტკიცებელი, მაგრამ არა ინდუქციით. ეს არ შედის ამ ვიდეოში, მაგრამ მე გაჩვენებთ, რომ ეს არსებობს. თქვენ იცით, რომ ინდუქცია არა რის ერთადერთი გზა იმის დასამტკიცებლად, რომ განვსაზღვროთ ეს ფუნქცია s(n) როგორც დადებითი მთელი რიცხვების ჯამი, n-დან n-ის ჩათვლით. ეს უდრის 1+2+3 ყველა შემთხვევაში + (n-1) + n ეს არის ყველა მთელი რიცხვი n-დან n-ის ჩათვლით. ეს არის, თუ როგროც განვსაზღვრავთ მას. შეგვიძლია კიდევ გადავწეროთ. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ჯამი S(n); შეგვიძლია დავწეროთ იგივე რაღაც, მაგრამ შეგვიძლია დავწეროთ განსხავებული თანმიმდევრობით. შეგვიძია ვთქვათ, რომ ეს იგივეა, რაც n +( n -1 )+( n - 2 ) პლუს ყველა შემთხვევაში ქვემოთ + 2 + 1 რას გაგვიკეთებს ეს შეგვიძლია შევკრიბოთ ეს ორი რიგი, თუ შევკრებთ S(n) + S(n), მივიღებთ 2-ჯერ ამ ჯამს. ვუმატებთ მარცხნივ და და შემდეგ შეგვიძლია დავუმატოთ მარჯვნივ. ნამდვილად ვკრებთ ორჯერ და საინტერესო ისაა, როგორ შევკრებთ მათ. დავუმატებთ ამ პირობას ამას; ეს პირობა ამ პირობასთან. ვცდილობთ შევკრიბოთ ეს ორი რაღაც. შეგვიძლია ავიღოთ ნებისმიერი გზა, გვინდა მათი შეკრება (1 + n) იქნება ( n + 1) და შემდეგ დავუმატებთ 2 +( n - 1). რამდენია? ნება მომეცით აქ დავწერო. 2 +( n - 1) არის იგივე რაც 2 + n - 1, რომელიც იგივეა, რაც n + 1. ესეც იქნება აგრეთვე n+1 და ეს პირობა 3 + n - 2 ანუ n - 2 +3 კვლავ იქნება n +1 და ეს უნდა გააკეთოთ ყველა პირობისთვის, რომ მიიღოთ n -1 +2; ესეც იქნება n+1 და ბოლოს გაქვთ n+1. რა იქნება მთლიანი ჯამი (n + 1) რამდენი გვაქვს? ჩვენ გვაქვს n ამ ჯამის ყოველი პირობისთვის. აქ არის 1, 2,3 რაოდენობა ყველა n-სთვის. გაქვთ n (n+1)-თვის. თუ დაუმატებთ რაიმე რიცხვს თავის თავს n-ჯერ. თქვენ გაქვთ, ეს ნამდვილად არის ეკვივალენტი n*(n +1)-ის. ანუ დადებითი მთელი რიცხვების ჯამის 2-ზე ნამრავლი. ამ რიცხვიდან ამ რიცხვის ჩათვლით იქნება n(n+1)-ის ტოლი. თუ ორივე მხარეს გავყოფთ 2-ზე, მივიღებთ გამოსახულებას ჯამისთვის. მთელი რიცხვების ჯამი იქნება n(n+1)/2 -ის ტოლი. ეს არის მტკიცებულება, სადაც არ გამოგვიყენებია ინდუქცია. ეს არის ნამდვილი ალგებრული მტკიცებულება.