ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა II > თემა 6

გაკვეთილი 1: რაციონალური გამოსახულებების გამარტივება

რაციონალური გამოსახულებების გამარტივება (რთული)

თუ უკვე ისწავლეთ რაციონალური გამოსახულებების გამარტივების საფუძვლები, დროა, უფრო რთულ მაგალითებზე გადავიდეთ!

რა უნდა იცოდეთ, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რაციონალური გამოსახულება არის ორი მრავალწევრის შეფარდება. რაციონალური გამოსახულება ითვლება გამარტივებულად, თუ მნიშვნელსა და მრიცხველს არ აქვს საერთო გამყოფი.

თუ ეს თქვენთის ახალია, გირჩევთ ნახოთ შესავალი რაციონალურ გამოსახულებებში.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში ივარჯიშებთ უფრო რთული რაციონალური გამოსახულებების გამარტივებაზე. მოდით, ვნახოთ ორი მაგალითი და შემდეგ სცადეთ მეტი ამოცანის ამოხსნა!

მაგალითი 1: გავამარტივოთ $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

ნაბიჯი 1: მამრავლებად დავშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი

აქ მნიშვნელოვანია, აღვნიშოთ, მიუხდავად იმისა, რომ მრიცხველი ერთწევრია, მისი დაშლაც შეგვიძლია.

$\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)}$ ‍

ნაბიჯი 2: ჩამოთვალეთ ყველა ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც გამოსახულება აზრს კარგავს

მამრავლებად დაშლილი ფორმიდან ვხედავთ, რომ $x \neq 0$ ‍ და $x \neq 9$ ‍.

ნაბიჯი 3: შეკვეცე საერთო მამრავლები

$\begin{aligned} \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} & = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} \\ = \frac{5 x^{2}}{x - 9} \end{aligned}$ ‍

ნაბიჯი 4: საბოლოო პასუხი

გამარტივებულ ფორმას ვწერთ შემდეგნაირად:

$\frac{5 x^{2}}{x - 9}$ ‍, სადაც $x \neq 0$ ‍

გაიხსენეთ, თავდაპირველი გამოსახულება მოითხოვს, რომ $x \neq 0, 9$ ‍. გამარტივებულ გამოსახულებას უნდა ჰქონდეს იგივე განუსაზღვრელი მნიშვნელობები.
ამის გამო უნდა მივუთითოთ, რომ $x \neq 0$ ‍. $x \neq 9$ ‍–ის მითითება არ არის საჭირო, რადგან ეს გამოსახულებიდანაც ჩანს.

მთავარი იდეა

ამ მაგალითში ვხედავთ, რომ რაციონალური გამოსახულების გასამარტივებლად ერთწევრი ზოგჯერ მამრავლებად უნდა დავშალოთ.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) გაამარტივეთ $\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}}$ ‍.

ნაბიჯი 1: მამრავლებად დავშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი

$\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}} = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)}$ ‍

მამრავლებად დაშლილი ფორმიდან ვხედავთ, რომ $x \neq 0$ ‍ და $x \neq \frac{3}{4}$ ‍.

ნაბიჯი 3: შეკვეცე საერთო მამრავლები

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)} & = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{2}{x (4 x - 3)} \end{aligned}$ ‍

ნაბიჯი 4: საბოლოო პასუხი

$\frac{2}{x (4 x - 3)}$ ‍

შევნიშნოთ, რომ თავდაპირველი საჭიროებს $x \neq 0, \frac{3}{4}$ ‍–ს. გამარტივებულ გამოსახულებასაც იგივე საჭიროებები აქვს. არ გვჭირდება რომელიმე დამატებითი მნიშვნელობის შეზღუდვა.

მაგალითი 2: გავამარტივოთ $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍

ნაბიჯი 1: მამრავლებად დავშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი

მიუხედავად იმისა, რომ ერთი შეხედვით საერთო გამყოფი არ გვაქვს,

x - 3

და

3 - x

ერთმანეთს უკავშირდება. მნიშვნელიდან შეგვიძლია,

- 1

გავიტანოთ ფრჩხილებს გარეთ, რომ გამოვავლინოთ საერთო გამყოფი,

x - 3

\begin{aligned} \frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (- 3 + x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} გადანაცვლებადობა \end{aligned}

მამრავლებად დაშლილი ფორმიდან ვხედავთ, რომ

x \neq 3

და

x \neq - 1

ნაბიჯი 3: შეკვეცე საერთო მამრავლები

\begin{aligned} \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 1)}{x + 1} \\ = \frac{1 - x}{x + 1} \end{aligned}

ბოლო ნაბიჯი, მნიშვნელში

- 1

–ზე გამრავლება, არ იყო აუცილებელი, თუმცა ამას ხშირად ვაკეთებთ.

ნაბიჯი 4: საბოლოო პასუხი

გამარტივებულ ფორმას ვწერთ შემდეგნაირად:

\frac{1 - x}{x + 1}

, სადაც

x \neq 3

გაიხსენეთ, თავდაპირველი გამოსახულება მოითხოვს, რომ

x \neq 3, - 1

. გამარტივებულ გამოსახულებას უნდა ჰქონდეს იგივე განუსაზღვრელი მნიშვნელობები.

ამის გამო უნდა მივუთითოთ, რომ

x \neq 3

x \neq - 1

–ის მითითება არ არის საჭირო, რადგან ეს გამოსახულებიდანაც ჩანს.

მთავარი იდეა

x - 3

და

3 - x

ერთმანეთის მოპირდაპირე მამრავლებია, რადგან

- 1 \cdot (x - 3) = 3 - x

ამ მაგალითში ვნახეთ, რომ ეს მამრავლები შეიკვეცა, მაგრამ მამრავლი

- 1

დაემატა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ,

x - 3

–ისა და

3 - x

–ის შეკვეცით მივიღეთ

-1

ზოგადად, ერთმანეთის მოპირდაპირე

a - b

და

b - a

მამრავლების შეკვეცით ვიღებთ

- 1

–ს, თუ

a \neq b

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

2) გაამარტივეთ $\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍.

ნაბიჯი 1: მამრავლებად დავშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი

მრიცხველი და მნიშვნელი უკვე მამრავლებად დაშლილი ფორმით არის მოცემული.

$\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍

მამრავლებად დაშლილი ფორმიდან ვხედავთ, რომ $x \neq 2$ ‍ და $x \neq - 5$ ‍.

ნაბიჯი 3: შეკვეცეთ მოპირდაპირე მამრავლები

(x - 2)

და

(2 - x)

შეგვიძლია, შევკვეცოთ და მივიღებთ მამრავლ

- 1

–ს.

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} & = \frac{- 1 (x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} \\ = \frac{- 1 (x - 5)}{x + 5} \\ = \frac{5 - x}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

ნაბიჯი 4: საბოლოო პასუხი

გამარტივებულ ფორმას ვწერთ შემდეგნაირად:

$\frac{5 - x}{x + 5}$ ‍, სადაც $x \neq 2$ ‍

3) გაამარტივეთ $\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}}$ ‍.

, სადაც

x \neq

ნაბიჯი 1: მამრავლებად დავშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი

$\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}} = \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)}$ ‍

მამრავლებად დაშლილი ფორმიდან ვხედავთ, რომ $x \neq 0$ ‍ და $x \neq \frac{3}{2}$ ‍.

ნაბიჯი 3: შეკვეცეთ მოპირდაპირე მამრავლები

(3 - 2 x)

და

(2 x - 3)

შეგვიძლია, შევკვეცოთ და მივიღებთ მამრავლ

- 1

–ს.

$\begin{aligned} \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} & = \frac{5 \cdot (- 1) (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} \\ = \frac{- 5}{4 x^{2}} \end{aligned}$ ‍

ნაბიჯი 4: საბოლოო პასუხი

გამარტივებულ ფორმას ვწერთ შემდეგნაირად:

$\frac{- 5}{4 x^{2}}$ ‍, სადაც $x \neq \frac{3}{2}$ ‍

ვცადოთ კიდევ რამდენიმე ამოცანა

4) გაამარტივეთ $\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x}$ ‍.

ნაბიჯი 1: მამრავლებად დავშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი

$\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x} = \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)}$ ‍

მამრავლებად დაშლილი ფორმიდან ვხედავთ, რომ $x \neq 0$ ‍ და $x \neq \frac{2}{5}$ ‍.

ნაბიჯი 3: შეკვეცე საერთო მამრავლები

$\begin{aligned} \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)} & = \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)} \\ = \frac{1}{5 x - 2} \end{aligned}$ ‍

ყურადღება მიაქციეთ, რომ თუ მრიცხველი სრულად იკვეცება, მამრავლი

1

მაინც რჩება.

ნაბიჯი 4: საბოლოო პასუხი

გამარტივებულ ფორმას ვწერთ შემდეგნაირად:

$\frac{1}{5 x - 2}$ ‍, სადაც $x \neq 0$ ‍

5) გაამარტივეთ $\frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3}$ ‍.

, სადაც

x \neq

ნაბიჯი 1: მამრავლებად დავშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი

მიაქციეთ ყურადღება, რომ მრიცხველს აქვს საერთო მამრავლი,

3 x

. შეგვიძლია, იგი ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ და შემდეგ მიღებული სამწევრი დავშალოთ მამრავლებად.

$\begin{aligned} \frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3} & = \frac{3 x (x^{2} - 5 x + 4)}{3 (x - 1)} \\ = \frac{3 x (x - 4) (x - 1)}{3 (x - 1)} \end{aligned}$ ‍

მამრავლებად დაშლილი ფორმიდან ვხედავთ, რომ $x \neq 1$ ‍.

ნაბიჯი 3: შეკვეცე საერთო მამრავლები

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} & = \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} \\ = x (x - 4) \end{aligned}$ ‍

ნაბიჯი 4: საბოლოო პასუხი

გამარტივებულ ფორმას ვწერთ შემდეგნაირად:

$x (x - 4)$ ‍, სადაც $x \neq 1$ ‍

6) გაამარტივეთ $\frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}}$ ‍.

ნაბიჯი 1: მამრავლებად დავშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი

შენიშნეთ, რომ მრიცხველში არის საერთო გამყოფი

6 x

და მნიშვნელში –

3 x

$\begin{aligned} \frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}} & = \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} \end{aligned}$ ‍

მამრავლებად დაშლილი ფორმიდან ვხედავთ, რომ $x \neq 0$ ‍ და $x \neq 2$ ‍.

ნაბიჯი 3: შეკვეცეთ საერთო და მოპირდაპირე მამრავლები

მიაქციეთ ყურადღება, რომ

6 x

შეგვიძლია, ჩავწეროთ, როგორც

2 \cdot 3 x

. შემდეგ მრიცხველსა და მნიშვნელში შევკეცთ

3 x

–ს.

$\begin{aligned} \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} & = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \end{aligned}$ ‍

შემდეგ შეგვიძლია, შევკვეცოთ

(x - 2)

და

(2 - x)

და მივიღებთ

- 1

–ს.

$\begin{aligned} = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (- 1) (x - 2)}{(2 - x)} \\ = - 2 \end{aligned}$ ‍

ნაბიჯი 4: საბოლოო პასუხი

გამარტივებულ ფორმას ვწერთ შემდეგნაირად:

$- 2$ ‍, სადაც $x \neq 0, 2$ ‍

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 6

რა უნდა იცოდეთ, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

მაგალითი 1: გავამარტივოთ 10x32x2−18x‍

მთავარი იდეა

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

მაგალითი 2: გავამარტივოთ (3−x)(x−1)(x−3)(x+1)‍

მთავარი იდეა

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ვცადოთ კიდევ რამდენიმე ამოცანა

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

მაგალითი 1: გავამარტივოთ $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

მაგალითი 2: გავამარტივოთ $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍