If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 6

გაკვეთილი 1: რაციონალური გამოსახულებების გამარტივება

რაციონალური გამოსახულების გამარტივების შესავალი

გაიგეთ, რას ნიშნავს რაციონალური გამოსახულების გამარტივება და როგორია ეს პროცესი!

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რაციონალური გამოსახულება არის ორი მრავალწევრის შეფარდება. რაციონალური გამოსახულების განსაზღვრის არე მოიცავს ყველა ნამდვილ რიცხვს, გარდა იმ რიცხვებისა, რომელთათვისაც გამოსახულების მნიშვნელი ნული ხდება.
მაგალითად, x+2x+1 რაციონალური გამოსახულების განსაზღვრის არეა ყველა ნამდვილი რიცხვი, გარდა -1-ისა, ან x1-ის.
თუ ეს თქვენთვის ახალია, გირჩევთ, გადახედოთ ჩვენს შესავალს რაციონალურ გამოსახულებებში.
ამ გაკვეთილისათვის ასევე უნდა იცოდეთ, როგორ დავშალოთ მრავალწევრი მამრავლებად.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში რამდენიმე მაგალითის განხილვით ვისწავლით, როგორ გავამარტივოთ რაციონალური გამოსახულებები.

შესავალი

რაციონალური გამოსახულება ითვლება გამარტივებულად, თუ მრიცხველსა და მნიშვნელს საერთო მამრავლები არ აქვს.
რაციონალური გამოსახულებები შეგვიძლია, გავამარტივოთ მეტწილად დაახლოებით იგივენაირად, რანაირადაც ვამარტივებთ რიცხვით წილადებს.
მაგალითად, 68-ის გამარტივებული ვერსიაა 34. ყურადღება მიაქციეთ, მრიცხველიდან და მნიშვნელიდან როგორ შევკვეცეთ საერთო მამრავლი 2:
68=2324მამრავლებად დავშალოთ=2324შევკვეცოთ საერთო მამრავლები=34გავამარტივოთ

მაგალითი 1: გავამარტივოთ x2+3xx2+5x

ნაბიჯი 1: მამრავლებად დავშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი
ერთადერთი გზა იმის გასარკვევად მნიშვნელსა და მრიცხველს საერთო მამრავლი აქვს თუ არა, არის ის, რომ მამრავლებად დავშალოთ ისინი!
x2+3xx2+5x=x(x+3)x(x+5)
ნაბიჯი 2: ჩამოთვალეთ ყველა ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც გამოსახულება აზრს კარგავს
ამ წერტილში, სასარგებლო იქნება, თუ ამოვწერთ x-ის ყველა იმ მნიშვნელობას, რომლისთვისაც გამოსახულება აზრს კარგავს. ეს მნიშვნელობები შენარჩუნდება გამარტივებული გამოსახულებისთვისაც.
რადგან 0-ზე გაყოფა არ განისაზღვრება, აქ ვხედავთ რომ x0 და x5.
x(x+3)x(x+5)
ნაბიჯი 3: შეკვეცე საერთო მამრავლები
ახლა ყურადღება მივაქციოთ, რომ მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვს საერთო მამრავლი - x. ეს შეიძლება შეიკვეცოს.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5
ნაბიჯი 4: საბოლოო პასუხი
გაიხსენეთ, რომ თავდაპირველი გამოსახულება განსაზღვრულია x0,5–ისთვის. გამარტივებულ გამოსახულებას იგივე შეზღუდვა უნდა ჰქონდეს.
ამის გამო უნდა მივუთითოთ, რომ x0. x5–ის მითითება არ არის საჭირო, რადგან ეს გამოსახულებიდანაც ჩანს.
საბოლოოდ, გამარტივებული ფორმა ჩაიწერება შემდეგნაირად:
x+3x+5 x0-სთვის

შენიშვნა ტოლფასი გამოსახულებების შესახებ

საწყისი გამოსახულებაგამარტივებული გამოსახულება
x2+3xx2+5xx+3x+5 for x0
ზემოთმოცემული ორი გამოსახულება ერთმანეთის ტოლფასია. ეს ნიშნავს, რომ მათი მნიშვნელობათა სიმრავლე იგივეა x-ის ყველა შესაძლო მიშვნელობისთვის. ქვემოთ ცხრილი ამის ილუსტრაციაა, როდესაც x=2.
საწყისი გამოსახულებაგამარტივებული გამოსახულება
როდესაც x=2(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2527=2527=572+32+5=57=57=57=57
შენიშვნაპასუხი გამარტივებულია, რადგან იკვეცება საზიარო მამრავლი 2.პასუხი უკვე გამარტივებულია, რადგან მამრავლი f x (ამ შემთხვევაშიx=2) გამარტივებისას უკვე შეიკვეცა.
ამ მიზეზის გამო, ამ ორ გამოსახულებას ერთისა და იმავე არგუმენტისთვის ერთი და იგივე მნიშვნელობა აქვს, თუმცა მნიშვნელობები, რომლებიც თავდაპირველ გამოსახულებას განუსაზღვრელს ხდის, ხშირად არღვევს ამ წესს. ყურადღება მივაქციოთ, რამდენად მართლდება ეს x=0-ის შემთხვევაში.
საწყისი გამოსახულებაგამარტივებული გამოსახულება (შეზღუდვის გარეშე)
Evaluation at x=0(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=განუსაზღვრელი0+30+5=35განუსაზღვრელი
რადგან ეს ორი გამოსახულება ყველა შესაძლო არგუმენტისთვის ერთმანეთის ტოლფასი უნდა იყოს, გასათვალისწინებელია, რომ გამარტივებული ვერსია უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას x0.

არ შეცდეთ

შევნიშნოთ, რომ არ შეგვიძლია, შევკვეცოთ x-ები ქვედა გამოსახულებაში. ეს იმიტომ, რომ ისინი არიან გამოსახულების წევრები და არა - მამრავლები!
x+3x+5    35
ეს ნათელი ხდება, როდესაც ვუყურებთ რიცხვით მაგალითს. ნიმუშისათვის, ავიღოთ x=2.
2+32+5   35
როგორც წესი, ვკვეცავთ მხოლოდ მაშინ, თუ მრიცხველიც და მნიშვნელიც მამრავლების სახითაა მოცემული!

გამარტივების პროცესის შეჯამება

  • ნაბიჯი 1: მამრავლებად დაშალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი.
  • ნაბიჯი 2: ჩამოთვალეთ მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც გამოსახულება აზრს კარგავს.
  • ნაბიჯი 3: შეკვეცეთ საერთო მამრავლი.
  • ნაბიჯი 4: გაამარტივეთ და მიუთითეთ ყველა ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც გამოსახულებას არ აქვს აზრი.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) გაამარტივეთ 6x+202x+10.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

2) გაამარტივეთ x33x24x25x.
x-სთვის
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi ან 2/3 pi

მაგალითი 2: გავამარტივოთ x29x2+5x+6

ნაბიჯი 1: მამრავლებად დავშალოთ მრიცხველი და მნიშვნელი
x29x2+5x+6=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)
ნაბიჯი 2: ჩამოთვალეთ ყველა ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც გამოსახულება აზრს კარგავს
რადგან 0-ზე გაყოფა არ განისაზღვრება, აქ ვხედავთ რომ x2 და x3.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)
ნაბიჯი 3: შეკვეცე საერთო მამრავლები
ახლა ყურადღება მივაქციოთ, რომ მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვს საერთო მამრავლი - x+3. ეს შეიძლება შეიკვეცოს.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=x3x+2
ნაბიჯი 4: საბოლოო პასუხი
გამარტივებულ ფორმას ვწერთ შემდეგნაირად:
x3x+2, როცა x3
საწყისი გამოსახულება უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას x2,3. არ გვჭირდება იმის მინიშნება, რომ x2, რადგან ეს გამოსახულებიდანაა გასაგები.

შეამოწმეთ თვენი ცოდნა

3) გაამარტივეთ x23x+2x21.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

4) გაამარტივეთx22x15x2+x6.
x-ისთვის
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi ან 2/3 pi

შემდეგ რა მოდის?

შეგიძლია, გადახვიდე რაციონალური გამოსახულებების შესახებ სიღრმისეულ გაკვეთილზე, სადაც შეხვდები უფრო მეტ მაგალითს და უფრო რთულ ამოცანებს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.