ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა II > თემა 6

გაკვეთილი 3: რაციონალური გამოსახულებების შეკრება და გამოკლება

რაციონალური გამოსახულებების შეკრება და გამოკლება (რთული)

უკვე ისწავლეთ რაციონალური გამოსახულებების შეკრების/გამოკლების საფუძვლები? დროა უფრო რთულ მაგალითებზე გადავიდეთ.

რა უნდა ვიცოდეთ ამ გაკვეთილამდე

რაციონალური გამოსახულება არის ორი მრავალწევრის შეფარდება.

საერთო მნიშვნელის მქონე რაციონალური გამოსახულებების შეკრებისა და გამოკლებისას ჩვენ უბრალოდ ვკრეთ და ვაკლებთ მრიცხველებს და შედეგს ვწერთ საერთო მნიშვნელის ზევით.

როცა მნიშვნელები არ არის ერთი და იგივე, ჩვენ მათ ისე გარდავქმნით, რომ ერთი და იგივე გახდეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ საერთო მნიშვნელი.

თუ ეს თქვენთვის ახალია, შეიძლება, მოგინდეთ, ჯერ შემდეგი სტატიები ნახოთ:

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში ივარჯიშებთ განსხვავებული მნიშვნელის მქონე რაციონალური გამოსახულებების შეკრებსა და გამოკლებაში. საერთო მნიშვნელად გამოიყენებთ უმცირეს საერთო მნიშვნელს და გამოიკვლევთ, თუ რატომ არის ამის გაკეთება ხელსაყრელი.

გავხურდეთ: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

ორი რაციონალური გამოსახულება რომ გამოვაკლოთ, ორივე წილადს უნდა ჰქონდეს საერთო მნიშვნელი!

ამ მაგალითში გაერთმნიშვნელიანება შეგვიძლია, პირველი წილადის

(\frac{x + 1}{x + 1})

–ზე და მეორე წილადის

(\frac{x - 2}{x - 2})

–ზე გამრავლებით.

შემდეგ შეგვიძლია, მრიცხველები გამოვაკლოთ და საერთო მნიშვნელის თავზე დავწეროთ.

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} (\frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{2}{x + 1} (\frac{x - 2}{x - 2}) & საერთო მნიშვნელი \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} & გამოვაკლოთ \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) $\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =$ ‍

უმცირესი საერთო მნიშვნელები

რიცხვითი წილადები

ზოგჯერ ორი წილადის მნიშვნელი განსხვავებულია, მაგრამ საერთო გამყოფი აქვს.

მაგალითად, განიხილეთ

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{2}{2}) & გავაერთმნიშვნელიანოთ \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ამ მაგალითში გამოყენებული საერთო მნიშვნელი არ იყო ორი მნიშვნელის ნამრავლი,

(24)

. ამის ნაცვლად, იგი იყო

4

–ისა და

6

–ის უმცირესი საერთო ჯერადი,

(12)

ორი მთელი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი

(უსჯ)

არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც ორივეზე იყოფა.

როცა ორ მთელ რიცხვს არა აქვს საერთო გამყოფი

უსჯ

უბრალოდ ამ ორი მთელი რიცხვის ნამრავლია. თუმცა, როცა ორ მთელ რიცხვს აქვს საერთო გამყოფი,

უსჯ

არ უდრის ორი მთელი რიცხვის ნამრავლს. ეს იმის გამო არის, რომ

უსჯ

–ში საერთო მამრავლი მხოლოდ ერთხელ ხვდება. მაგალითად:

$4$ ‍–სა და $6$ ‍–ს აქვს საერთო გამყოფი $2$ ‍, ასე რომ, $4$ ‍–ისა და $6$ ‍–ის $უსჯ$ ‍ არის $12$ ‍ და არა – $4 \cdot 6 = 24$ ‍
$6$ ‍–სა და $15$ ‍–ს აქვს საერთო გამყოფი $3$ ‍, ასე რომ, $6$ ‍–ისა და $15$ ‍–ის $უსჯ$ ‍ არის $30$ ‍ და არა – $6 \cdot 15 = 90$ ‍

ორი ან მეტი წილადის მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს ეწოდება უმცირესი საერთო მნიშვნელი.

უმცირესი საერთო მნიშვნელის პოვნის მარტივი გზა არის ვიფიქროთ, როგორ გავხადოთ მნიშვნელები ტოლი ზედმეტი მამრავლების გამოყენების გარეშე. თითოეული მნიშვნელის მარტივ მამრავლებად დაშლა აადვილებს ამის დანახვას.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

ცვლადიანი გამოსახულებები

ახლა მოდით, ეს მსჯელობა გამოვიყენოთ შემდეგ შეკრებაში:

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}$ ‍

მოდით, პირველად ვიპოვოთ უმცირესი საერთო მნიშვნელი:

ასე რომ, უმცირესი საერთო მნიშვნელი არის

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

რაციონალური გამოსახულებები შეგვიძლია, შევკრიბოთ შემდეგნაირად:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{x + 3}{x + 3}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{x - 2}{x - 2}) & უმცირესი საერთო მნიშვნელი \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} & შევკრიბოთ \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

2) $\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =$ ‍

მოდით, პირველად ვიპოვოთ უმცირესი საერთო მნიშვნელი:

ასე რომ, უმცირესი საერთო მნიშვნელი არის

x (x - 6) (x + 1)

რაციონალური გამოსახულებები შეგვიძლია, შევკრიბოთ შემდეგნაირად:

\begin{aligned} \frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} \\ = \frac{1}{x (x - 6)} (\frac{x + 1}{x + 1}) + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} (\frac{x}{x}) & უმცირესი საერთო მნიშვნელი \\ = \frac{1 (x + 1)}{x (x - 6) (x + 1)} + \frac{3 x}{x (x - 6) (x + 1)} \\ = \frac{1 (x + 1) + 3 x}{x (x - 6) (x + 1)} & Add \\ = \frac{x + 1 + 3 x}{x (x - 6) (x + 1)} \\ = \frac{4 x + 1}{x (x - 6) (x + 1)} \end{aligned}

3) $\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =$ ‍

მოდით, პირველად ვიპოვოთ უმცირესი საერთო მნიშვნელი:

ასე რომ, უმცირესი საერთო მნიშვნელი არის

2 (x - 1) (x + 2)

რაციონალური გამოსახულებები შეგვიძლია, გამოვაკლოთ შემდეგნაირად:

\begin{aligned} \frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} \\ = \frac{3 x}{2 (x - 1)} (\frac{x + 2}{x + 2}) - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} (\frac{2}{2}) & უმცირესი საერთო მნიშვნელი \\ = \frac{3 x (x + 2)}{2 (x - 1) (x + 2)} - \frac{8}{2 (x - 1) (x + 2)} \\ = \frac{3 x (x + 2) - 8}{2 (x - 1) (x + 2)} & გამოვაკლოთ \\ = \frac{3 x^{2} + 6 x - 8}{2 (x - 1) (x + 2)} \end{aligned}

რთული ამოცანა

4*)

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ამ შემთხვევაში მნიშვნელი არ არის მოცემული მამრავლებად დაშლილი ფორმით. ასე რომ, ჯერ დავშალოთ მამრავლებად.

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} = \frac{2}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{1}{(x - 4) (x + 1)}

ახლა უფრო მარტივია უმცირესი საერთო მნიშვნელის პოვნა.

უმცირესი საერთო მნიშვნელი არის

(x - 1) (x + 1) (x - 4)

რაციონალური გამოსახულებები შეგვიძლია, შევკრიბოთ შემდეგნაირად:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} \\ = \frac{2}{(x - 1) (x + 1)} (\frac{x - 4}{x - 4}) + \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} (\frac{x - 1}{x - 1}) & უმცირესი საერთო მნიშვნელი \\ = \frac{2 (x - 4)}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} + \frac{1 (x - 1)}{(x - 4) (x + 1) (x - 1)} \\ = \frac{2 (x - 4) + 1 (x - 1)}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} & შევკრიბოთ \\ = \frac{2 x - 8 + x - 1}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} \\ = \frac{3 x - 9}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} \end{aligned}

რატომ ვიყენებთ უმცირეს საერთო მნიშვნელს?

ალბათ გაინტერესებთ, რატომ არის ასე მნიშვნელოვანი რაციონალური გამოსახულებების შეკრებისა და გამოკლებისას უმცირესი საერთო მნიშვნელის გამოყენება.

რიცხვითი წილადების შეკრებისას ასეთი მოთხოვნა არ გვაქვს და სხვა მნიშვნელების გამოყენებაც ადვილად შეგვიძლია.

მაგალითად, ქვემოთ მოცემული ცხრილი

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

–ს ანგარიშობს ორი განსხვავებული საერთო მნიშვნელის გამოყენებით — ერთ შემთხვევაში უმცირესი საერთო მნიშვნელის,

(12)

–ის და მეორე შემთხვევაში მნიშვნელების ნამრავლის,

(24)

–ის, გამოყენებით.

უმცირესი საერთო მნიშვნელი $(12)$ ‍	‍საერთო მნიშვნელი $(24)$ ‍
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{6} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{6}{6}) + \frac{1}{6} (\frac{4}{4}) \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

ყურადღება მიაქციეთ, რომ საერთო მნიშვნელად

24

–ის გამოყენებისას მეტი მუშაობა დაგვჭირდა. რიცხვები უფრო დიდი იყო და მიღებულ წილადს გამარტივება ჭირდებოდა.

იგივე მოხდება, თუ რაციონალური გამოსახულებების შეკრებისა და გამოკლებისას არ გამოიყენებთ უმცირეს საერთო მნიშვნელს.

თუმცა, რაციონალურ გამოსახულებებში ეს უფრო რთულია, რადგან მრიცხველები და მნიშვნელები მთელი რიცხვების ნაცვლად მრავალწევრებია! მოგიწევთ არითმეტიკული მოქმედებები უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრებზე და წილადის გასამარტივებლად მრავალწევრის მამრავლებად დაშლა.

გაიხსენეთ შემდეგი ამოცანა.

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}$ ‍

ვთქვათ, საერთო მნიშვნელი მივიღეთ პირველი წილადის მეორე წილადის მნიშვნელზე გამრავლებით და მეორე წილადის პირველის მნიშვნელზე გამრავლებით. მიაქციეთ ყურადღება, რომ ეს არის საერთო მნიშვნელი, მაგრამ არა – უმცირესი საერთო მნიშვნელი.

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)}) \end{aligned}

\begin{aligned} = \frac{2 (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} + \frac{3 (x - 2) (x + 1)}{(x + 1)^{2} (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3) + 3 (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} & შევკრიბოთ \\ = \frac{2 (x^{2} + 4 x + 3) + 3 (x^{2} - x - 2)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 x^{2} + 8 x + 6 + 3 x^{2} - 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x^{2} + 5 x}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} & ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ 5 x \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} & შევკვეცოთ მამრავლი x + 1 \end{aligned}

ყურადღება მიაქციეთ, რომ მიუხედავად იმისა, რომ ამით სწორი პასუხი მიიღეთ, ამისთვის ბევრად მეტი მუშაობა დაგჭირდათ!

მთელი ამ სამუშაოს არიდება შეიძლება რაციონალური გამოსახულებების შეკრებისა და გამოკლებისას უმცირესი საერთო ჯერადის გამოყენებით.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 6

რა უნდა ვიცოდეთ ამ გაკვეთილამდე

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

გავხურდეთ: 3x−2−2x+1‍

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

უმცირესი საერთო მნიშვნელები

რიცხვითი წილადები

ცვლადიანი გამოსახულებები

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

რთული ამოცანა

რატომ ვიყენებთ უმცირეს საერთო მნიშვნელს?

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

გავხურდეთ: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍