ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა II > თემა 4

გაკვეთილი 11: მრავალწევრის ნულები და მისი გრაფიკი

მრავალწევრების დადებითი და უარყოფითი შუალედები

გაიგეთ, რა კავშირია მრავალწევრების ამონახსნებსა და იმ შუალედებს შორის, რომლებშიც ეს მრავალწევრები დადებითია ან უარყოფითი.

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

მრავალწევრა

f

-ის ნულები ის წერტილებია, სადაც

x

ღერძს კვეთს

y = f (x)

გრაფიკი.

მაგალითისთვის, დავუშვათ რომ

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

. ვინაიდან

f

ფუნქციის ნულები არის

- 3

და

1

, გრაფიკი

y = f (x)

გადაკვეთს

x

ღერძს წერტილებში

(- 3, 0)

და

(1, 0)

თუ ეს თქვენთვის სიახლეა, გირჩევთ გადახედოთ ჩვენს სტატიას მრავალწევრების ნულების შესახებ.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

მიუხედავად იმისა, რომ

x

ღერძთან გადაკვეთის წერტილები ფუნქციის გრაფიკის მნიშვნელოვანი მახასიათებელია, თვალსაჩინო სურათისთვის მეტი რამ გვჭირდება.

მრავალწევრა ფუნქციის ნიშნის ცოდნა ნულებს შორის რამდენიმე სიცარიელის შევსებაში დაგვეხმარება.

ამ სტატიაში ვისწავლით, როგორ განვსაზღვროთ ინტერვალები, სადაც მრავალწევრა ფუნქცია დადებითი ან უარყოფითია და როგორ დავაკავშიროთ ეს ინფორმაცია გრაფიკთან.

დადებითი და უარყოფითი ინტერვალები

მრავალწევრა ფუნქციის ნიშანი მიმდევრობით მყოფ ნებისმიერ ორ ნულს შორის არის ან ყოველთვის დადებითი, ან ყოველთვის უარყოფითი.

ეს იმიტომ რომ მრავალწევრა ფუნქციები უწყვეტი ფუნქციებია (გრაფიკი არ წყდება), რაც ნიშნავს იმას, რომ ნიშნების შეცვლის ერთადერთი გზა

x

ღერძის გადაკვეთაა. მაგრამ ასე რომ მომხდარიყო, მოცემული ფუნქციის ნულები თანმიმდევრული არ იქნებოდა!

მაგალითისთვის, განვიხილოთ გრაფიკზე ასახული ფუნქცია

f (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 3)

გრაფიკზე ვხედავთ, რომ

f (x)

ყოველთვის არის...

...უარყოფითი, როდესაც $- \infty < x < - 1$ ‍.
...დადებითი, როდესაც $- 1 < x < 1$ ‍.
...უარყოფითი, როდესაც $1 < x < 3$ ‍.
...დადებითი, როდესაც $3 < x < \infty$ ‍.

თუმცა, არ არის აუცილებელი რომ მრავალწევრა ფუნქციამ ნულებს შორის ნიშანი შეიცვალოს.

მაგალითისთვის, განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკი

g (x) = x (x + 2)^{2}

გრაფიკზე ვხედავთ, რომ

g (x)

ყოველთვის არის...

...უარყოფითი, როდესაც $- \infty < x < - 2$ ‍.
...დადებითი, როდესაც $- 2 < x < 0$ ‍.
...დადებითი, როდესაც $0 < x < \infty$ ‍.

ყურადღება მიაქციეთ იმას, რომ

g (x)

არ იცვლის ნიშანს

x = - 2

მნიშვნელობისას.

მრავალწევრა ფუნქციის დადებითი და უარყოფითი ინტერვალების განსაზღვრა

ვნახოთ,

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

მრავალწევრა ფუნქციის რომელი ინტერვალებია დადებითი და რომელი - უარყოფითი.

f

ფუნქციის ნულებია

- 3

და

1

. შედეგად გვაქვს სამი ინტერვალი, რომლებშიც

f

ფუნქციის ნიშანი მუდმივია:

ვიპოვოთ

f

ფუნქიის ნიშანი

- \infty < x < - 3

მნიშვნელობებისთვის.

ჩვენ ვიცით, რომ

f

ფუნქცია ამ ინტერვალში ან ყოველთვის დადებით იქნება, ან ყოველთვის უარყოფითი. შეგვიძლია, ვიპოვოთ ნიშანი

f

-ის განსაზღვრით ამ ინტერვალის ერთი რომელიმე მნიშვნელობისთვის. ვინაიდან

- 4

ამ ინტერვალშია, ვიპოვოოთ

f (- 4)

ჩვენ მხოლოდ მრავალწევრა ფუნქციის ნიშანი გვაინტერესებს, მისი სრულყოფილად შეფასება არ გვჭირდება:

\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (- 4) & = (- 4 + 3) (- 4 - 1)^{2} \\ = (-) (-)^{2} & გამოთვალეთ მხოლოდ პასუხის ნიშანი. \\ = (-) (+) & უარყოფითის კვადრატი დადებითია. \\ = - & უარყოფითჯერ დადებითი უარყოფითია. \end{aligned}

აქ ვხედავთ, რომ

f (- 4)

უარყოფითია, და შესაბამისად

f (x)

ყოველთვის იქნება უარყოფითი

- \infty < x < - 3

ინტერვალისთვის.

შეგვიძლია, პროცესი გავამეოროთ დარჩენილი ინტერვალებისთვის.

ინტერვალი: $- 3 < x < 1$ ‍

რადგან ამ ინტერვალში არის

0

, ვიპოვოთ

f (0)

-ის ნიშანი.

$\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (0) & = (0 + 3) (0 - 1)^{2} \\ = (+) (-)^{2} & გამოთვალეთ მხოლოდ პასუხის ნიშანი. \\ = (+) (+) & უარყოფითის კვადრატი დადებითია. \\ = + & დადებითი გამრავლებული დადებითზე დადებითია. \end{aligned}$ ‍

რადგან

f (0)

დადებითია,

f (x)

დადებითი იქნება შუალედში

- 3 < x < 1

ინტერვალი: $1 < x < \infty$ ‍

რადგან ამ ინტერვალში არის

2

, ვიპოვოთ

f (2)

-ის ნიშანი.

$\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (2) & = (2 + 3) (2 - 1)^{2} \\ = (+) (+)^{2} & გამოთვალეთ მხოლოდ პასუხის ნიშანი. \\ = (+) (+) & დადებითის კვადრატი დადებითია \\ = + & დადებითი გამრავლებული დადებითზე დადებითია. \end{aligned}$ ‍

რადგან

f (2)

დადებითია,

f (x)

დადებითი იქნება შუალედში

1 < x < \infty

შედეგები შეჯამებულია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

შუალედი | კონკრეტული

f (x)

-ის მნიშვნელობა შუალედში|

f

-ის ნიშანი შუალედში |კავშირი

f

:--ის გრაფიკთან | :-: | :-

- \infty < x < - 3

f (- 4) < 0

| უარყოფითი|

x

ღერძის ქვემოთ

- 3 < x < 1

f (0) > 0

| დადებითი|

x

ღერძის ქვემოთ

1 < x < \infty

f (2) > 0

| დადებითი|

x

ღერძის ზევით

ეს თავსებადია

y = f (x)

გრაფიკთან.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

g (x) = (x + 1)^{2} (x + 6)

ფუნქციის ნულები არის

x = - 6

და

x = - 1

რა არის $g$ ‍ ფუნქციის ნიშანი ინტერვალში $- 6 < x < - 1$ ‍?

(Choice A)
$g (x)$ ‍ ყოველთვის დადებითია ინტერვალში $- 6 < x < - 1$ ‍.
(Choice B)
$g (x)$ ‍ ყოველთვის უარყოფითია ინტერვალში $- 6 < x < - 1$ ‍.
(Choice C)
$- 6 < x < - 1$ ‍ შუალედში $g (x)$ ‍ დადებითიცაა და უარყოფითიც.

მოცემულ ინტერვალში ერთი მნიშვნელობისათვის

g (x)

-ის ნიშნის პოვნით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ფუნქციის ნიშანი მთლიანად ამ ინტერვალში.

რადგან

- 6 < - 2 < - 1

, მოდით, ვიპოვოთ

g (- 2)

-ის ნიშანი.

\begin{aligned} g (x) & = (x + 1)^{2} (x + 6) \\ g (- 2) & = (- 2 + 1)^{2} (- 2 + 6) \\ = (-)^{2} (+) & გამოთვალეთ მხოლოდ პასუხის ნიშანი. \\ = (+) (+) & უარყოფითის კვადრატი დადებითია. \\ = + \end{aligned}

რადგან

g (- 2)

არის დადებითი,

g (x)

არის ყოველთვის დადებითი შუალედში

- 6 < x < - 1

h (x) = (3 - x) (x + 5) (x - 2)

ფუნქციის ნულებია

x = - 5

x = 2

და

x = 3

მნიშვნელობებში.

რა არის $h (x)$ ‍ ფუნქციის ნიშანი ინტერვალში $- 5 < x < 2$ ‍?

(Choice A)
$h (x)$ ‍ ყოველთვის დადებითია ინტერვალში $- 5 < x < 2$ ‍.
(Choice B)
$h (x)$ ‍ ყოველთვის უარყოფითია ინტერვალში $- 5 < x < 2$ ‍.
(Choice C)
$h (x)$ ‍ დადებითიცაა და უარყოფითიც, ინტერვალში $- 5 < x < 2$ ‍.

მოცემულ ინტერვალში ერთი მნიშვნელობისათვის

h (x)

-ის ნიშნის პოვნით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ფუნქციის ნიშანი მთელ ამ ინტერვალში.

რადგან

- 5 < - 0 < - 0

, მოდით, ვიპოვოთ

h (- 2)

-ის ნიშანი.

\begin{aligned} h (x) & = (3 - x) (x + 5) (x - 2) \\ h (0) & = (3 - 0) (0 + 5) (0 - 2) \\ = (+) (+) (-) & გამოთვალეთ მხოლოდ პასუხის ნიშანი. \\ = - \end{aligned}

რადგან

h (- 0)

არის უარყოფითი,

h (x)

არის ყოველთვის უარყოფითი შუალედში

- 5 < x < - 2

რთული ამოცანა

3*) ქვემოთ მოცემულებიდან, რომელი შეიძლება იყოს f $g (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)^{3}$ ‍ ფუნქციის გრაფიკი?

მოცემული გვაქვს, რომ

g (x) = (x + 1) (x - 2)^{2}

. ვინაიდან

g

ფუნქციის ნულები არის

2

და

- 1

, გრაფიკი

y = f (x)

გადაკვეთს

x

ღერძს წერტილებში

(- 3, 2)

და

(1, 0)

ეს ჭეშმარიტია ყველა გრაფიკისთვის, ამიტომ, მოდით, დადებითი და უარყოფითი შუალედების შესახებ ცოდნის გამოყენებით, განვსაზღვროთ სწორი ვარიანტი.

g

ფუნქციის ნულები ქმნიან მომდევნო სამ შუალედს, რომელებშიც

g (x)

-ის ნიშანი უცვლელია:

- \infty < x < - 1

- 1 < x < 2

, and

2 < x < + \infty

მოდით, თითოეულ ინტერვალში,

x

-ის ერთი მნიშვნელობისათვის, ვიპოვოთ

g (x)

-ის ნიშანი. შედეგად, გვეცოდინება ამ ინტერვალში ნებისმიერი

x

-თვის

g (x)

-ის მნიშვნელობის ნიშანი.

შუალედი |

g (x)

-ის მნიშვნელობა შუალედში|

g

-ის ნიშანი შუალედში|კავშირი

g

:--ის გრაფიკთან |:-: | :-

- \infty < x < - 1

g (- 2) < 0

| უარყოფითი|

x

ღერძის ქვემოთ

- 1 < x < 2

g (0) > 0

| დადებითი|

x

ღერძის ზევით

2 < x < + \infty

g (3) > 0

| დადებითი|

x

ღერძის ზევით

ერთადერთი გრაფიკი რომელიც ამას ასახავს არის

A

სხვაგვარად, სწორი პასუხის ასარჩევად, შეგვეძლო გამოგვეყენებინა ინფორმაცია უსასრულობაში ქცევისა და ნულების ჯერადობის შესახებ.

დადებითი და უარყოფითი ინტერვალების განსაზღვრა გრაფიკის გამოსახულებიდან

მრავალწევრა ფუნქციის დადებითი ან უარყოფითი ინტერვალების დადგენის კიდევ ერთი გზა არის გრაფიკის აგება მრავალწევრა ფუნქციის უსასრულობაში ქცევასა და ნულების სიმრავლეზე დაყრდნობით.

დამატებითი დეტალებისთვის იხილეთ ჩვენი სტატია მრავალწევრა ფუნქციების გრაფიკების შესახებ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.