ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა II > თემა 4

გაკვეთილი 13: მრავალწევრის გრაფიკები

მრავალწევრის გრაფიკები

გაანალიზეთ მრავალწევრები და დახაზეთ მათი გრაფიკი.

რა უნდა იცოდეთ ამ გაკვეთილის დაწყებამდე

f

ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში აღწერს გრაფიკის ქცევას

x

ღერძის „ბოლოებში". ალგებრულად ეს ქცევა განისაზღვრება ქვემოთ მოყვანლი ორი შეკითხვით:

როდესაც $x \to + \infty$ ‍, რას უახლოვდება $f (x)$ ‍?
როდესაც $x \to - \infty$ ‍, რას უახლოვდება $f (x)$ ‍?

თუ ეს თქვენთვის ახალია, გირჩევთ, შეამოწმოთ ჩვენი სტატია თემაზე მრავალწევრების ქცევა უსასრულობაში.

f

ფუნქციის ნულები შეესაბამება გრაფიკის

x

ღერძთან გადაკვეთის წერტილებს. თუ

f

ფუნქციის ნულს აქვს ხარისსხის კენტი მაჩვენებლი, მაშინ მისი გრაფიკი გადაკვეთს

x

ღერძს

x

-ის მოცემულ მნიშვნელობაში. თუ

f

ფუნქციის ნულს აქვს ხარისსხის ლუწი მაჩვენებლი, მაშინ მისი გრაფიკი შეეხება

x

ღერძს მოცემულ მნიშვნელობაში.

თუ ეს თქვენთვის ახალია, გირჩევთ, შეამოწმოთ ჩვენი გაკვეთილი თემაზე მრავალწევრის ნულები.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში ჩვენ გამოვიყენებთ ზემოთაღწერილ თვისებებს იმისათვის, რომ გავაანალიზოთ და ავაგოთ მრავალწევრის გრაფიკი. შემდეგ ამ გრაფიკს მრავალწევრის დადებითი და უარყოფითი შუალედების საპოვნელად გამოვიყენებთ.

მრავალწევრა ფუნქციების გაანალიზება

ახლა გავაანალიზებთ

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

მრავალწევრა ფუნქციის გრაფიკის რამდენიმე თვისებას.

$y$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილების პოვნა

f

გრაფიკის

y

ღერძთან გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად შეგვიძლია, ვიპოვოთ

f (0)

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (0) & = (3 (0) - 2) (0 + 2)^{2} \\ f (0) & = (- 2) (4) \\ f (0) & = - 8 \end{aligned}$ ‍

y = f (x)

გრაფიკის

y

ღერძთან გადაკვეთის წერტილია

(0, - 8)

$x$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილების პოვნა

x

ღერძთან გადაკვეთის წერტილების საპოვნელად შეგვიძლია, ამოვხსნათ შემდეგი უტოლობა

f (x) = 0

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ 0 & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ 3 x - 2 & = 0 & or x + 2 & = 0 & ნულზე გამრავლების თვისება \\ x & = \frac{2}{3} & or x & = - 2 \end{aligned}$ ‍

y = f (x)

გრაფიკის

x

ღერძთან გადაკვეთის წერტილებია

(\frac{2}{3}, 0)

and

(- 2, 0)

ჩვენი ნამუშევარი გვაჩვენებს რომ

\frac{2}{3}

არის ფუნქციის ნული ჯერადობით

1

და

- 2

ასევე ფუნქციის ნული, ჯერადობით

2

. ეს ნიშნავს, რომ მოცემული გრაფიკი

x

ღერძს გადაკვეთს წერტილში

(\frac{2}{3}, 0)

და

x

ღერძს შეეხება წერტილში

(- 2, 0)

უსასრულობაში ქცევის პოვნა

იმისათვის რომ ვიპოვოთ ფუნქციის უსასრულობაში ქცევა, შეგვიძლია, გამოვიკვლიოთ მისი სტანდარტული ფორმით ჩაწერილი განტოლების წამყვანი წევრი.

მოდით, სტანდარტული ფორმით ჩავწეროთ ეს განტოლება.

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (x) & = (3 x - 2) (x^{2} + 4 x + 4) \\ f (x) & = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 2 x^{2} - 8 x - 8 \\ f (x) & = 3 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x - 8 \end{aligned}$ ‍

სტანდარტული ფორმით ჩაწერილ მრავალწევრში წამყვანი წევრი არის განტოლების პირველი წევრი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის განტოლების წევრი ხარისხის ყველაზე მაღალი მაჩვენებლით.

რადგან ჩვენ მხოლოდ წამყვანი წევრის ცოდნა გვჭირდება (და არა მრავალწევრის დანარჩენი წევრებისა), შეგვიძლია, ის შემდეგნაირად ვიპოვოთ: ვნახოთ, რას უდრის

x

-ის უდიდესი ხარისხის მქონე წევრების ნამრავლი.

მაგალითად, ფუნქციაში

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

პირველი მამრავლიდან

3 x

შეგვძლია, გავამრავლოთ

x^{2}

-ზე მეორე მამრავლიდან. ეს მოგვცემს

3 x^{3}

-ის წამყვან წევრს.

მოცემული მრავალწევრის წამყვანნი წევრია

3 x^{3}

, ასე რომ,

f

ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში იგივე იქნება, რაც

3 x^{3}

-ის ქცევა უსასრულობაში.

რადგან ფუნქციის ხარისხის მაჩვენებელი კენტია და მთავარი კოეფიციენტი დადებითია, მისი ქცევა უსასრულობაში იქნება: როდესაც

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

და როდესაც

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

გრაფიკის აგება

ზემოთმიღებული ცოდნა შეგვიძლია, გამოვიყენოთ

y = f (x)

გრაფიკის ასაგებად.

მოდით, დავიწყოთ უსასრულობაში ქცევით:

როდესაც $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
როდესაც $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

ეს ნიშნავს რომ მოცემული გრაფიკი „ბოლოებში" ისეთივე იქნება, როგორც

y = x^{3}

გრაფიკი

ახლა შეგვიძლია, დავამატოთ ის, რაც ვიცით

x

ღერძთან გადაკვეთის წერტილების შესახებ:

რადგან $- 2$ ‍ არის ფუნქციის ნული ლუწი ჯერადობით, მოცემული გრაფიკი ეხება $x$ ‍ ღერძს $(- 2, 0)$ ‍ წერტილში.
გრაფიკი კვეთს $x$ ‍ ღერძს წერტილში $(\frac{2}{3}, 0)$ ‍, რადგან $\frac{2}{3}$ ‍ არის ფუნქციის ნულს აქვს კენტი ჯერადობა.

საბოლოოდ, მოდით, დავასრულოთ ეს პროცესი საკოორდინატო სიბრტყეზე

y

ღერძთან გადაკვეთის წერტილის,

(0, - 8)

-ის, დატანით და გამოტოვებული ადგილები შევავსოთ უწყვეტი მრუდით.

მიუხედავად იმისა, რომ არ ვიცით, ზუსტად სად არის მობრუნების წერტილები, მაინც შეგვიძლია, წარმოვიდგინოთ ფუნქციის გრაფიკის ერთიანი ფორმა!

დადებითი და უარყოფითი შუალედები

ახლა, როდესაც

f

ფუქციის გრაფიკი უკვე გვაქვს, ადვილია, განვსაზღვროთ შუალედები, რომლებშიც

f

არის დადებითი და შუალედები, რომლებშიც ის უარყოფითია.

ვხედავთ, რომ

f

არის დადებითი, როდესაც

x > \frac{2}{3}

და უარყოფითია, როდესაც

x < - 2

ან

- 2 < x < \frac{2}{3}

შეამოწმეთ, რამდენად სწორად გაიგეთ

1) ახლა

g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)

ფუნქციის გრაფიკის მონახაზზე დამოუკიდებლად იმუშავებთ.

a) რა არის $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ გრაფიკის $y$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილი?
$(0$ ‍,
თქვენი პასუხი უნდა იყოს
მთელი რიცხვი, როგორიცაა $6$ ‍
გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად $3 / 5$ ‍
გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად $7 / 4$ ‍
შერეული რიცხვი, როგორიცაა $1 3 / 4$ ‍
ზუსტი ათწილადი, მაგალითად $0.75$ ‍
pi-ს ჯერადი, როგორიცაა $12 pi$ ‍ ან $2 / 3 pi$ ‍
$)$ ‍

b) რა არის $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ გრაფიკის ქცევა უსასრულობაში?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
როდესაც $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, და როდესაც $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice B)
როდესაც $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, და როდესაც $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Choice C)
როდესაც $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, და როდესაც $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice D)
როდესაც $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, და როდესაც $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

იმისათვის რომ ვიპოვოთ ფუნქციის უსასრულობაში ქცევა, შეგვიძლია, გამოვიკვლიოთ მისი სტანდარტული ფორმით ჩაწერილი განტოლების წამყვანი წევრი.
მოდით, სტანდარტული ფორმით ჩავწეროთ ეს განტოლება.
$\begin{aligned} g (x) & = (x + 1) (x - 2) (x + 5) \\ g (x) & = (x + 1) (x^{2} + 3 x - 10) \\ g (x) & = x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + x^{2} + 3 x - 10 \\ g (x) & = x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10 \end{aligned}$ ‍
მოცემული მრავალწევრის წამყვანი წევრი არის $x^{3}$ ‍, ასე რომ, $g$ ‍ ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში იგივე იქნება, რაც $x^{3}$ ‍-ის ქცევა უსასრულობაში.
რადგანაც ხარისხის მაჩვენებელი კენტია და მთავარი კოეფიციენტი დადებითია, მოცემული ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში იქნება: როდესაც $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ და როდესაც $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

c) რა არის $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ გრაფიკის $x$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილები?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$(1, 0)$ ‍, $(- 2, 0)$ ‍, და $(5, 0)$ ‍
(Choice B)
$(- 1, 0)$ ‍, $(2, 0)$ ‍, და $(- 5, 0)$ ‍

$x$ ‍ ღერძთნ გადაკვეთის წერტილების საპვნელად შეგვიძლია, ამოვხსნათ $g (x) = 0$ ‍.
$\begin{aligned} g (x) & = (x + 1) (x - 2) (x + 5) \\ 0 & = (x + 1) (x - 2) (x + 5) \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} ↙ & ↓ & ↘ \\ x + 1 = 0 & x - 2 = 0 & ან & x + 5 = 0 & ნულოვანი ნამრავლის თვისება \\ x = - 1 & x = 2 & ან & x = - 5 \end{aligned}$ ‍
$g (x) = 0$ ‍ გრაფიკის $x$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილებია $(- 1, 0)$ ‍, $(2, 0)$ ‍, და $(- 5, 0)$ ‍.

d) ქვემოთმოყვანილი გრაფიკებიდან რომელი შეიძლება იყოს $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ ფუნქციის გრაფიკი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
(Choice B)
(Choice C)
(Choice D)

შეგვიძლია ზემოთმოყვანილი ინფორმაცია გავაერთიანოთ იმისათვის, რომ დავხაზოთ $y = g (x)$ ‍-ის გრაფიკი.
$y$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის, მოცემული მრავალწევრის უსასრულობაში ქცევისა და ფუნქციის ნულების ცოდნა ნათელს გახდიდა:
შემდეგ შეგვიძლია, გამოტოვებული ადგილები გლუვი, უწყვეტი მრუდით შევავსოთ იმისათვის, რომ დავხაზოთ მოცემული მრავალწევრის გრაფიკი.
ეს შეესაბამება გრაფიკს $A$ ‍.

2) ქვემოთმოყვანილთაგან რომელი შეიძლება იყოს $y = (2 - x) (x + 1)^{2}$ ‍-ის გრაფიკი

მოდით, ვიპოვოთ

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

ფუნქციის უსასრულობაში ქცევა და საკოორდინატო სიბრტყის ღერძებთან გადაკვეთის ყველა წერტილი. შემდეგ, ამ ინფორმაციის გამოყენებით ავაგოთ ეს გრაფიკი.

$y$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილი

y

ღერძთან გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად შეგვიძლია,

x

0

-ით ჩავანაცვლოთ და ამოვხსნათ განტოლება

y

-ის საპოვნელად.

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - 0) (0 + 1)^{2} \\ y & = 2 \end{aligned}$ ‍

y

ღერძთან გადაკვეთის წერტილია

(0, 2)

$x$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილი

x

ღერძთან გადაკვეთის წერტილების საპოვნელად შეგვიძლია,

y

0

-ით ჩავანაცვლოთ და ამოვხსნათ განტოლება

x

-ის საპოვნელად.

\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 0 & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 2 & - x = 0 or x + 1 = 0 \\ x & = 2 or x = - 1 \end{aligned}

რადგან

- 1

არის ფუნქციის ნული ლური ჯერადობით, მოცემული გრაფიკი შეეხება

x

ღერძს წერტილში

(- 1, 0)

და რადგან

2

არის ფუნქციის ნული კენტი ჯერადობით, გრაფიკი გადაკვეთს

x

ღერძს წერტილში

(2, 0)

ქცევა უსასრულობაში

უსასრულობაში ქცევის განსასაზღვრად შეგვიძლია, გამოვიკვლიოთ მოცემული მრავალწევრის მთავარი წევრი. თუ მრავალწევრს სტანდარტული ფორმით ჩავწერთ, მაშინ მივიღებთ:

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - x) (x^{2} + 2 x + 1) \\ y & = 2 x^{2} + 4 x + 2 - x^{3} - 2 x^{2} - x \\ y & = - x^{3} + 3 x + 2 \end{aligned}$ ‍

ასე რომ, ბოლოს,

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

-ის გრაფიკი

y = - x^{3}

-ის მსგავსი იქნება.

მისი ქცევა უსასრულობაში არის: როდესაც

x \to + \infty

y \to - \infty

, და როდესაც

x \to - \infty

y \to + \infty

გრაფიკის აგება

ყველაფერ ამის გათვალისწინებით ვხედავთ, რომ ერთადერთი შესაძლო გრაფიკია

D

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 4

რა უნდა იცოდეთ ამ გაკვეთილის დაწყებამდე

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

მრავალწევრა ფუნქციების გაანალიზება

y‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილების პოვნა

x‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილების პოვნა

უსასრულობაში ქცევის პოვნა

გრაფიკის აგება

დადებითი და უარყოფითი შუალედები

შეამოწმეთ, რამდენად სწორად გაიგეთ

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

$y$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილების პოვნა

$x$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილების პოვნა