If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 4

გაკვეთილი 13: მრავალწევრის გრაფიკები
მათემატიკა
ალგებრა II
მრავალწევრები
მრავალწევრის გრაფიკები
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

მრავალწევრის გრაფიკები

Google–ის საკლასო ოთახი
გაანალიზეთ მრავალწევრები და დახაზეთ მათი გრაფიკი.

რა უნდა იცოდეთ ამ გაკვეთილის დაწყებამდე

f ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში აღწერს გრაფიკის ქცევას x ღერძის „ბოლოებში". ალგებრულად ეს ქცევა განისაზღვრება ქვემოთ მოყვანლი ორი შეკითხვით:
  • როდესაც x, right arrow, plus, infinity, რას უახლოვდება f, left parenthesis, x, right parenthesis?
  • როდესაც x, right arrow, minus, infinity, რას უახლოვდება f, left parenthesis, x, right parenthesis?
თუ ეს თქვენთვის ახალია, გირჩევთ, შეამოწმოთ ჩვენი სტატია თემაზე მრავალწევრების ქცევა უსასრულობაში.
f ფუნქციის ნულები შეესაბამება გრაფიკის x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებს. თუ f ფუნქციის ნულს აქვს ხარისსხის კენტი მაჩვენებლი, მაშინ მისი გრაფიკი გადაკვეთს x ღერძს x-ის მოცემულ მნიშვნელობაში. თუ f ფუნქციის ნულს აქვს ხარისსხის ლუწი მაჩვენებლი, მაშინ მისი გრაფიკი შეეხება x ღერძს მოცემულ მნიშვნელობაში.
თუ ეს თქვენთვის ახალია, გირჩევთ, შეამოწმოთ ჩვენი გაკვეთილი თემაზე მრავალწევრის ნულები.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში ჩვენ გამოვიყენებთ ზემოთაღწერილ თვისებებს იმისათვის, რომ გავაანალიზოთ და ავაგოთ მრავალწევრის გრაფიკი. შემდეგ ამ გრაფიკს მრავალწევრის დადებითი და უარყოფითი შუალედების საპოვნელად გამოვიყენებთ.

მრავალწევრა ფუნქციების გაანალიზება

ახლა გავაანალიზებთ f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared მრავალწევრა ფუნქციის გრაფიკის რამდენიმე თვისებას.

y ღერძთან გადაკვეთის წერტილების პოვნა

f გრაფიკის y ღერძთან გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად შეგვიძლია, ვიპოვოთ f, left parenthesis, 0, right parenthesis.
f(x)=(3x−2)(x+2)2f(0)=(3(0)−2)(0+2)2f(0)=(−2)(4)f(0)=−8\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3(\tealD 0)-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= (-2)(4)\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis გრაფიკის y ღერძთან გადაკვეთის წერტილია left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis.

x ღერძთან გადაკვეთის წერტილების პოვნა

x ღერძთან გადაკვეთის წერტილების საპოვნელად შეგვიძლია, ამოვხსნათ შემდეგი უტოლობა f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
f(x)=(3x−2)(x+2)20=(3x−2)(x+2)2\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}
↙↘3x−2=0orx+2=0ნულზე გამრავლების თვისებაx=23orx=−2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{or}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{ნულზე გამრავლების თვისება}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{or}\qquad x&=-2\end{aligned}
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis გრაფიკის x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებია left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis and left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.
ჩვენი ნამუშევარი გვაჩვენებს რომ start fraction, 2, divided by, 3, end fraction არის ფუნქციის ნული ჯერადობით 1 და minus, 2 ასევე ფუნქციის ნული, ჯერადობით 2. ეს ნიშნავს, რომ მოცემული გრაფიკი x ღერძს გადაკვეთს წერტილში left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis და x ღერძს შეეხება წერტილში left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.

უსასრულობაში ქცევის პოვნა

იმისათვის რომ ვიპოვოთ ფუნქციის უსასრულობაში ქცევა, შეგვიძლია, გამოვიკვლიოთ მისი სტანდარტული ფორმით ჩაწერილი განტოლების წამყვანი წევრი.
მოდით, სტანდარტული ფორმით ჩავწეროთ ეს განტოლება.
f(x)=(3x−2)(x+2)2f(x)=(3x−2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x−2x2−8x−8f(x)=3x3+10x2+4x−8\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}
მოცემული მრავალწევრის წამყვანნი წევრია start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10, ასე რომ, f ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში იგივე იქნება, რაც 3, x, cubed-ის ქცევა უსასრულობაში.
რადგან ფუნქციის ხარისხის მაჩვენებელი კენტია და მთავარი კოეფიციენტი დადებითია, მისი ქცევა უსასრულობაში იქნება: როდესაც x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity და როდესაც x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

გრაფიკის აგება

ზემოთმიღებული ცოდნა შეგვიძლია, გამოვიყენოთ y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis გრაფიკის ასაგებად.
მოდით, დავიწყოთ უსასრულობაში ქცევით:
  • როდესაც x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
  • როდესაც x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
ეს ნიშნავს რომ მოცემული გრაფიკი „ბოლოებში" ისეთივე იქნება, როგორც y, equals, x, cubed გრაფიკი
ახლა შეგვიძლია, დავამატოთ ის, რაც ვიცით x ღერძთან გადაკვეთის წერტილების შესახებ:
  • რადგან minus, 2 არის ფუნქციის ნული ლუწი ჯერადობით, მოცემული გრაფიკი ეხება x ღერძს left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis წერტილში.
  • გრაფიკი კვეთს x ღერძს წერტილში left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, რადგან start fraction, 2, divided by, 3, end fraction არის ფუნქციის ნულს აქვს კენტი ჯერადობა.
საბოლოოდ, მოდით, დავასრულოთ ეს პროცესი საკოორდინატო სიბრტყეზე y ღერძთან გადაკვეთის წერტილის, left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis-ის, დატანით და გამოტოვებული ადგილები შევავსოთ უწყვეტი მრუდით.
მიუხედავად იმისა, რომ არ ვიცით, ზუსტად სად არის მობრუნების წერტილები, მაინც შეგვიძლია, წარმოვიდგინოთ ფუნქციის გრაფიკის ერთიანი ფორმა!

დადებითი და უარყოფითი შუალედები

ახლა, როდესაც f ფუქციის გრაფიკი უკვე გვაქვს, ადვილია, განვსაზღვროთ შუალედები, რომლებშიც f არის დადებითი და შუალედები, რომლებშიც ის უარყოფითია.
ვხედავთ, რომ f არის დადებითი, როდესაც x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction და უარყოფითია, როდესაც x, is less than, minus, 2 ან minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

შეამოწმეთ, რამდენად სწორად გაიგეთ

1) ახლა g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis ფუნქციის გრაფიკის მონახაზზე დამოუკიდებლად იმუშავებთ.
a) რა არის g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis გრაფიკის y ღერძთან გადაკვეთის წერტილი?
left parenthesis, 0,
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

b) რა არის g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis გრაფიკის ქცევა უსასრულობაში?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

c) რა არის g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis გრაფიკის x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

d) ქვემოთმოყვანილი გრაფიკებიდან რომელი შეიძლება იყოს g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis ფუნქციის გრაფიკი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

2) ქვემოთმოყვანილთაგან რომელი შეიძლება იყოს y, equals, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared-ის გრაფიკი
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.