If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

შებრუნებული ფუნქციების შემოწმება შედგენით

ისწავლეთ, როგორ გაიგოთ, არის თუ არა ორი ფუნქცია ერთმანეთის შებრუნებული მათი შედგენით. მაგალითად, არის თუ არა f(x)=5x-7 და g(x)=x/5+7 ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებული?
ეს სტატია მრავალ ფუნქციათა კომპოზიციას მოიცავს. თუ ამ საკითხის გახსენება გჭირდებათ, გირჩევთ ამ სტატიის წაკითხვამდე შეხვიდეთ აქ.
შებრუნებული ფუნქციები, ყველაზე ზოგადი თვალსაზრისით არის ფუნქციები, რომლებიც ერთმანეთს „აბრუნებენ". მაგალითად, თუ ფუნქცია a–ს აქცევს b–დ, მაშინ მისმა შებრუნებულმა, b უნდა აქციოს a–დ.
მოდით, მაგალითისთვის ავიღოთ f და g ფუნქციები: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction და g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
ყურადღება მიაქციეთ, რომ f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2 და g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 5.
აქ ვხედავთ, რომ როცა ვიყენებთ f ფუნქციას, რომელსაც მოსდევს g ფუნქცია, ვიღებთ თავდაპირველ არგუმენტს. ეს კომპოზიციის სახით ჩაწერილი იქნება g, left parenthesis, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis, equals, 5.
მაგრამ ორი ფუნქცია ერთმანეთის შებრუნებულები რომ იყოს, უნდა ვაჩვენოთ, რომ ეს ხდება ნებისმიერი შესაძლო არგუმენტისთვის, მიუხედავად იმისა, თუ რა რიგით გამოვიყენებთ f–სა და g–ს. ეს იძლევა შებრუნებული ფუნქციების კომპოზიციის წესს.

შებრუნებული ფუნქციების კომპოზიციის წესი

ეს არის პირობები, რომ ორი ფუნქცია, f და g, იყოს ერთმანეთის შებრუნებული:
  • f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x g განსაზღვრის არეზე ნებისმიერი x–ისთვის
  • g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x f განსაზღვრის არეზე ნებისმიერი x–ისთვის
ეს იმიტომ, რომ, თუ f და g ერთმანეთის შებრუნებულია, f–ისა და g–ს კომპოზიცია (ნებისმიერი რიგით) ქმნის ფუნქციას, რომელიც ნებისმიერი არგუმენტისთვის აბრუნებს ამავე არგუმენტს. ამ ფუნქციას “იგივურ ფუნქციას" ვუწოდებთ.

მაგალითი 1: f და g ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებულებია

მოდით, გამოვიყენოთ შებრუნებული ფუნქციების კომპოზიციის წესი, რომ დავამტკიცოთ, რომ ზემოთ მოცემული f და g ნამდვილად ერთმანეთის შებრუნებულებია.
გაიხსენეთ, რომ f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction და g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
მოდით, ვიპოვოთ f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis და g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=g(x)+13=3x1+13=3x3=x\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=\dfrac{\greenD{g(x)}+1}{3}\\\\&=\dfrac{\greenD{3x-1}+1}{3}\\\\&=\dfrac{3x}{3}\\\\&=x\\\end{aligned}g(f(x))=3(f(x))1=3(x+13)1=x+11=x\qquad\qquad \begin{aligned}g(\purpleC{f(x)})&=3\left(\purpleC{f(x)}\right)-1\\\\&=3\left(\purpleC{\dfrac{x+1}{3}}\right)-1\\\\&=x+1-1\\\\&=x\\\end{aligned}
ასე რომ, ვხედავთ, რომ f და g ერთმანეთის შებრუნებული ფუნქციებია, რადგან f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x და g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x.

მაგალითი 2: f და g ფუნქციები არ არის ერთმანეთის შებრუნებულები

თუ f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis ან g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis არ უდრის x–ს, მაშინ f და g ვერ იქნება ერთმანეთის შებრუნებული.
მოდით, ეს ვცადოთ f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, minus, 7–ისა და g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, divided by, 5, end fraction, plus, 7–ისთვის.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=5(g(x))7=5(x5+7)7=x+357=x+28\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=5(\greenD{g(x)})-7\\\\&=5\left(\greenD{\dfrac{x}{5}+7}\right)-7\\\\&=x+35-7\\\\&=x+28\end{aligned}\qquad g(f(x))=f(x)5+7=5x75+7=x75+7=x+285\qquad\begin{aligned} g(\purpleC{f(x)})&=\dfrac{\purpleC{f(x)}}{5}+7\\\\&=\dfrac{\purpleC{5x-7}}{5}+7\\\\&=x-\dfrac75+7\\\\&=x+\dfrac{28}{5}\\\end{aligned}
ასე რომ, f და g არაა ერთმანეთის შებრუნებული ფუნქციები, რადგან f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x და g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x.
(შენიშნეთ, რომ შეგვეძლო, დაგვესკვნა, რომ f და g არაა ერთმანეთის შებრუნებულები იმის ჩვენების შემდეგ, რომ f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, plus, 28.)

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ზოგადად, რომ შევამოწმოთ f და g არის თუ არა ერთმანეთის შებრუნებული ფუნქციები, შეგვიძლია, განვიხილოთ მათი კომპოზიცია. თუ შედეგი არის x, მაშინ ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებულებია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ისინი არ არის შებრუნებულები.

1) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 7 და h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 7, divided by, 2, end fraction

x–ის გამოყენებით ჩაწერეთ f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis–ისა და h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis–ის გამარტივებული გამოსახულებები.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f და h ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებულებია?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

2) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, plus, 10 და g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, minus, 10

x–ის გამოყენებით ჩაწერეთ f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis–ისა და g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis–ის გამარტივებული გამოსახულებები.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f და g ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებულებია?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, x, minus, 8 და h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, plus, 8, right parenthesis

x–ის გამოყენებით ჩაწერეთ f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis–ისა და h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis–ის გამარტივებული გამოსახულებები.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f და h ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებულებია?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი: