ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა II > თემა 1

გაკვეთილი 2: ფუნქციების შედგენა

ფუნქციების შედგენა. შესავალი

ფერმის მაგალითზე გაიგეთ, რატომ შეიძლება დაგვჭირდეს ფუნქციების შედგენა.

სემი ფერმერია. იგი ყოველ წელს თესავს სიმინდს. ქვემოთ მოცემული ფუნქცია გვაძლევს სიმინდის

C

რაოდენობას კილოგრამებში (კგ), რომლის მოწევასაც იგი ელის, თუ სიმინდს დათესავს

a

აკრ მიწაზე.

$C (a) = 7500 a - 1500$ ‍

მაგალითად, თუ სემი დათესავს ორ აკრს, იგი ელის

C (2) = 7500 (2) - 1500 = 13, 500

კგ

სიმინდის მოსავალს.

სემს სინამსდვილეში იმის ცოდნა უნდა, თუ რამდენ ფულს იშოვის სიმინდის გაყიდვით. ასე რომ, იგი იყენებს შემდეგ ფუნქციას, რომ ივარაუდოს ფულის

M

რაოდენობა დოლარებში, რომელსაც იგი გამოიმუშავებს

c

კილოგრამი სიმინდის გაყიდვით.

$M (c) = 0, 9 c - 50$ ‍

ასე რომ, თუ სემი მოიყვანს

13,500 კგ

სიმინდს, უნდა მოელოდეს

M (13,500) = 0, 9 (13,500) - 50 = $ 12,100

–ის გამომუშავებას.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ სემს დათესილი აკრებიდან მოსალოდნელ შემოსავალამდე მისასვლელად სჭირდება ორი სხვადასხვა ფუნქციის გამოყენება. პირველი ფუნქციას,

C

–ს, აკრები სიმინდში გადაჰყავს, ხოლო მეორე ფუნქციას,

M

–ს, სიმინდი გადაჰყავს ფულში.

მაგარი არ იქნება, სემს რომ შეეძლოს ისეთი ფუნქციის დაწერა, რომელიც დათესილ აკრებს პირდაპირ მოსალოდნელ შემოსავლად აქცევს?

ახალი ფუნქციის შექმნა

ნამდვილად შეგვიძლია, ვიპოვოთ ისეთი ფუნქცია, რომელიც დათესილი სიმინდის აკრებს პირდაპირ მოსალოდნელ შემოსავლად აქცევს! ეს ახალი ფუნქცია რომ ვიპოვოთ, მოდით, ვიფიქროთ ყველაზე ზოგად კითხვაზე: რამდენი ფულის გამომუშავებას ელის სემი, თუ

a

აკრ მიწას დათესავს?

თუ სემი დათესავს

a

აკრ სიმინდს, ელის, რომ მოიყვანს

C (a)

კილოგრამს. თუ იგი მოიყვანს

C (a)

კილოგრამ სიმინდს, იგი ელის, რომ გამოიმუშავენს

M (C (a))

დოლარს.

შესაბამისად, რომ ვიპოვოთ ზოგადი წესი, რომელიც

a

აკრს გადააქცევს პირდაპირ მოსალოდნელ შემოსავალად, შეგვიძლია, ვიპოვოთ

M (C (a))

გამოსახულება.

მაგრამ მაინც როგორ გავაკეთოთ ეს? ყურადღება მიაქციეთ, რომ

M (C (a))

გამოსახულებაში

M

ფუნქციის არგუმენტი არის

C (a)

. ასე რომ, ეს გამოსახულება რომ ვიპოვოთ,

c

–ს ნაცვლად

C (a)

შეგვიძლია, ჩავსვათ

M

ფუნქციაში.

$\begin{aligned} M (c) & = 0, 9 c - 50 \\ M (C (a)) & = 0, 9 (C (a)) - 50 \\ = 0, 9 (7500 a - 1500) - 50 რადგან C (a) = 7500 a - 1500 \\ = 6750 a - 1350 - 50 \\ = 6750 a - 1400 \end{aligned}$ ‍

ასე რომ,

M (C (a)) = 6750 a - 1400

დათესილ აკრებს პირდაპირ მოსალოდნელ შემოსავლად აქცევს. მოდით, გამოვიყენოთ ეს ახალი ფუნქცია, რომ ვივარაუდოთ თანხა, რომელსაც სემი გამოიმუშავებს ორი აკრი სიმინდის დათესვით.

$M (C (2)) = 6750 (2) - 1400 = $ 12,100$ ‍

ორი აკრი სიმინდის დათესვიდან სემი შეიძლება, ელოდეს, რომ გამოიმუშავებს

$ 12,100

–ს, რაც შეესაბამება ჩვენს წინა ნამუშევარს!

შედგენილი ფუნქციების განსაზღვრება

გავიგეთ, თუ რას ეწოდება შედგენილი ფუნქცია. დათესილი აკრების სიმინდის ფუნქციაში და მოყვანილი სიმინდის რაოდენობის ფულის ფუნქციაში ჩასმის ნაცვლად, ვიპოვეთ ფუნქცია, რომელსაც დათესილი აკრები პირდპირ სავარაუდო შემოსავალში გადაჰყავს.

ჩვენ ეს გავაკეთეთ

M

ფუნქციაში

C (a)

–ს ჩასმით, ანუ

M (C (a))

–ს პოვნით. მოდით, ამ ახალ ფუნქციას ვუწოდოთ

M \circ C

, რომელიც იკითხება, როგორც „

M

და

C

ფუნქციების კომპოზიცია".

ვიცით, რომ

(M \circ C) (a) = M (C (a))

. სინამდვილეში ეს არის შედგენილი ფუნქციის განსაზღვრება!

ორი მეთოდის ვიზუალურად ჩვენება

აქ ეს მოცემულია ვიზუალურად, რომ დაგეხმაროთ ზემოთ მოცემული განმარტების გაგებაში.

ორივე ფუნქციის,

C

–სა და

M

–ის გამოყენებით,

C

ფუნქცია —სიმინდის ფუნქცია—ორს აქცევს 13,500–ად. შემდეგ

M

ფუნქცია—ფულის ფუნქცია—13,500–ს აქცევს

$

12,100–ად.

შედგენილი ფუნქციის გამოყენებით ვხედავთ, რომ

M \circ C

ორს პირდაპირ

$

12,100–ად აქცევს.

ეს ორი ერთმანეთის ტოლფასია!

ახლა მოდით, ვივარჯიშოთ რამდენიმე ამოცანაზე.

ამოცანა 1

ამ მაგალითში ნაჩვენები ფუნქციების მიხედვით, რამდენს გამოიმუშაცებს სემი, თუ იგი 1,5 აკრზე ნაწარმოებ მთელ სიმინდს გაყიდის?

ცნობისთვის: $C (a) = 7500 a - 1500$ ‍, $M (c) = 0, 9 c - 50$ ‍ და $M (C (a)) = 6750 a - 1400$ ‍

დოლარი

რადგან უკვე ავაგეთ შედგენილი ფუნქცია, რომელსაც დათესილი აკრები პირდაპირ სავარაუდო შემოსავალში გადაჰყავს, გამოვიყენოთ იგი, რომ ვუპასუხოთ კითხვას.

ვიცით, რომ

M (C (a)) = 6750 a - 1400

. ზედა ფორმულაში

a

–ს ნაცვლად 1,5–ის ჩასმით შეგვიძლია, ვიპოვოთ, თუ რამდენის გამომუშავებას ელის სემი, თუ 1,5 აკრ სიმინდს დათესავს.

$\begin{aligned} M (C (a)) & = 6750 a - 1400 \\ M (C (1, 5)) & = 6750 (1, 5) - 1400 \\ = 8725 \end{aligned}$ ‍

სემი 1,5 აკრ მიწაზე მოსული სიმინდის გაყიდვით უნდა ელოდეს

$

8725 დოლარის გამომუშავებას.

ან შეგვიძლია, გამოვიყენოთ

C

ფუნქცია, რომ აკრები სიმინდად ვაქციოთ და

M

, რომ სიმინდი ფულად ვაქციოთ; თუმცა, რადგან უკვე გვქონდა შედგენილი ფუნქცია, მისი გამოყენება უფრო ეფექტური იყო!

ამოცანა 2

ბენი რგავს კარტოფილს. ფუნქცია

P (a) = 25,000 a - 1000

წარმოადგენს კარტოფილის

P

რაოდენობას კილოგრამებში, რომლის მოყვანასაც ბენი ვარაუდობს

a

აკრზე. ფუნცქია

M (p) = 0, 2 p - 200

წარმოადგენს ფულის იმ რაოდენობას,

M

-ს, დოლარებში, რომლის დაგროვებასაც ბენი ვარაუდობს

p

კილოგრამი კარტოფილის გაყიდვით.

რამდენ ფულს უნდა ელოდეს ბენი, თუ მთლიანად გაყიდის 3 აკრ მიწაზე მოსულ კარტოფილს?

ამის გაკეთების ერთი გზა არის, ჩავსვათ დარგული აკრები კარტოფილის ფუნქციაში და ვიპოვოთ მოყვანილი კარტოფილის რაოდენობა. შემდეგ ეს რიცხვი შეგვიძლია, ჩავსვათ ფულის ფუნქციაში. მოდით, გავაკეთოთ ეს.

პირველ რიგში, ვიპოვოთ

P (3)

$\begin{aligned} P (3) & = 25,000 (3) - 1000 \\ = 74,000 \end{aligned}$ ‍

ახლა ვიპოვოთ

M (74,000)

$\begin{aligned} M (74,000) & = 0, 2 (74,000) - 200 \\ = 14,600 \end{aligned}$ ‍

ან შეგვიძლია, ვიპოვოთ შედგენილი ფუნქცია და შემდეგ ამ ფუნქციაში ჩავსვათ სამი. ეს ნაჩვენებია ქვემოთ.

$\begin{aligned} M (P (a)) & = 0, 2 (P (a)) - 200 \\ = 0, 2 (25,000 a - 1000) - 200 \\ = 5000 a - 200 - 200 \\ = 5000 a - 400 \\ M (P (3)) & = 5000 (3) - 400 \\ = 14,600 \end{aligned}$ ‍

ორივე შემთხვევაში ვხედავთ, რომ ბენი უნდა ელოდოს

$

14,600–ის გამომუშავებას, თუ მთლიანად გაყიდის 3 აკრზე მოყვანილ კარტოფილს.

ამოცანა 3

ჩამოთვლილი გამოსახულებებიდან, რომელი გვაძლევს იმ ფულის რაოდენობას, რომელსაც ბენი ელის, რომ მიიღებს, თუ $a$ ‍ აკრ მიწაზე დარგავს კარტოფილს?

რომ ვიპოვოთ ზოგადი წესი, რომელიც

a

აკრს პირდაპირ გადააქცევს მოსალოდნელ შემოსავლად, შეგვიძლია, ვიპოვოთ

M (P (a))

გამოსახულება.

ეს გამოსახულება რომ ვიპოვოთ, შეგვიძლია,

M

ფუნქციაში

p

–ს ნაცვლად

P (a)

ჩავსვათ.

$\begin{aligned} M (p) & = 0, 2 p - 200 \\ M (P (a)) & = 0, 2 (P (a)) - 200 \\ = 0, 2 (25,000 a - 1000) - 200 რადგან P (a) = 25,000 a - 1000 \\ = 5000 a - 200 - 200 \\ = 5000 a - 400 \end{aligned}$ ‍

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.