If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 2

გაკვეთილი 1: რას წარმოადგენს წარმოსახვითი რიცხვები?
მათემატიკა
ალგებრა II
კომპლექსური რიცხვები
რას წარმოადგენს წარმოსახვითი რიცხვები?
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

წარმოსახვითი ერთეულის ხარისხები

Google–ის საკლასო ოთახი
ისწავლეთ, როგორ გაამარტივოთ ნებისმიერი წარმოსახვითი i რიცხვის ხარისხი. მაგალითად, გაამარტივეთ i²⁷ , როგორც -i.
ვიცით, რომ i=−1 და i2=−1.
მაგრამ i3–ზე რას ვიტყვით? i4–ზე? i–ის სხვა მთელ ხარისხებზე? ისინი როგორ გამოვთვალოთ?

i3-ისა და i4-ის პოვნა

ხარისხების თვისებები აქ შეიძლება, გამოგვადგეს! სინამდვილეში, i–ის ხარისხების გამოთვლისას ნამდვილ რიცხვებში უკვე ნაცნობი ხარისხების თვისებები გამოვიყენოთ, თუ ეს ხარისხები მთელი რიცხვებია.
ამის გათვალისწინებით, ვიპოვოთ i3 და i4.
ვიცით, რომ i3=i2⋅i. მაგრამ რადგან i2=−1, ვხედავთ, რომ:
i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i
ამის მსგავსად i4=i2⋅i2. ისევ იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ i2=−1, გვექნება შემდეგი:
i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1

i-ის მეტი ხარისხი

მოდით, განვაგრძოთ! ახლა i–ს შემდეგი 4 ხარისხი ვიპოვოთ მსგავსი მეთოდის გამოყენებით.
i5=i4⋅i     ხარისხების თვისებები=1⋅iრადგანაც i4=1=i
i6=i4⋅i2ხარისხების თვისებები=1⋅(−1)რადგან i4=1 და i2=−1=−1
i7=i4⋅i3ხარისხების თვისებები=1⋅(−i)რადგან i4=1 და i3=−i=−i
i8=i4⋅i4    ხარისხების თვისებები=1⋅1რადგან i4=1 =1
შედეგები შეჯამებულია ცხრილში.
i1i2i3i4i5i6i7i8
i−1−i1i−1−i1

კანონზომიერების გამოვლენა

ცხრილიდან ჩანს, რომ i–ს ხარისხები მოძრაობს i, −1, −i და 1 მიმდევრობაში.
ამ კანონზომიერების გამოყენებით შეგვიძლია, i20 ვიპოვოთ? მოდით, ვცადოთ!
შემდეგი ჩამონათვალი გვაჩვენებს განმეორებადი მიმდევრობის პირველ 20 რიცხვს.
i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1
ამ ლოგიკით, i20 უნდა უდრიდეს 1-ს. ვნახოთ, თუ შეძლებთ ამის დამტკიცებას ხარისხების გამოყენებით. დაიმახსოვრეთ, ხარისხების თვისებების გამოყენება აქ ისევე შეგვიძლია, როგორც ნამდვილი რიცხვების შემთხვევაში!
i20=(i4)5ხარისხების თვისებები=(1)5i4=1=1გაამარტივეთ
ნებისმიერ შემთხვევაში, ვხედავთ, რომ i20=1.

i-ის უფრო მაღალი ხარისხები

ვთქვათ, გვინდა i138–ის პოვნა. შეგვიძლია, ჩამოვთვალოთ i, −1, −i, 1,... 138–ე წევრამდე მიმდევრობა მაგრამ ამას ძალიან ბევრი დრო დასჭირდება!
თუმცა, ყურადღება მიაქციეთ, რომ i4=1, i8=1, i12=1 და ასე შემდეგ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ i აყვანილი 4–ის ჯერად ხარისხსში არის 1.
ეს ფაქტი შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ხარისხების თვისებებთან ერთად, რომ გავამარტივოთ i138.

მაგალითი

გაამარტივეთ i138.

ამოხსნა

138 არ არის 4–ის ჯერადი, მაგრამ რიცხვი 136 არის! ეს შეგვიძლია, გამოვიყენოთ i138–ის გამარტივებისას.
i138=i136⋅i2ხარისხის თვისებები=(i4⋅34)⋅i2136=4⋅34=(i4)34⋅i2ხარისხის თვისებები=(1)34⋅i2i4=1=1⋅−1i2=−1=−1
ასე რომ, i138=−1.
ახლა შეიძლება, იკითხოთ, თუ რატომ გადავწყვიტეთ, i138 ჩაგვეწერა i136⋅i2 სახით.
თუ თავდაპირველი ხარისხი არ არის 4–ის ჯერადი, მაშინ უახლოესი 4–ის ჯერადის პოვნით, რომელიც მასზე ნაკლებია, ხარისხი დაგვყავს i–მდე, i2–მდე ან i3–მდე მხოლოდ იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ i4=1.
ეს რიცხვი ადვილი საპოვნელია თუ თავდაპირველ ხარისხს გავყოფთ 4–ზე. ეს რიცხვი არის მეოთხედი (ნაშთის გარეშე) გამრავლებული 4–ზე.

მოდით, ვივარჯიშოთ რამდენიმე ამოცანაზე

ამოცანა 1

გაამარტივეთ i227.

ამოცანა 2

გაამარტივეთ i2016.

ამოცანა 3

გაამარტივეთ i537.

რთული ამოცანები

ჩამოთვლილთაგან, რომელია i−1-ის ტოლფასი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.