ისწავლეთ, როგორ გაამარტივოთ ნებისმიერი წარმოსახვითი i რიცხვის ხარისხი. მაგალითად, გაამარტივეთ i²⁷ , როგორც -i.
ვიცით, რომ i=1i=\sqrt{-1} და i2=1i^2=-1.
მაგრამ i3i^3–ზე რას ვიტყვით? i4i^4–ზე? ii–ის სხვა მთელ ხარისხებზე? ისინი როგორ გამოვთვალოთ?

i3i^3-ისა და i4i^4-ის პოვნა

ხარისხების თვისებები აქ შეიძლება, გამოგვადგეს! სინამდვილეში, ii–ის ხარისხების გამოთვლისას ნამდვილ რიცხვებში უკვე ნაცნობი ხარისხების თვისებები გამოვიყენოთ, თუ ეს ხარისხები მთელი რიცხვებია.
ამის გათვალისწინებით, ვიპოვოთ i3i^3 და i4i^4.
ვიცით, რომ i3=i2ii^3=i^2\cdot i. მაგრამ რადგან i2=1{i^2=-1}, ვხედავთ, რომ:
i3=i2i=(1)i=i\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}
ამის მსგავსად i4=i2i2i^4=i^2\cdot i^2. ისევ იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ i2=1{i^2=-1}, გვექნება შემდეგი:
i4=i2i2=(1)(1)=1\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

ii-ის მეტი ხარისხი

მოდით, განვაგრძოთ! ახლა ii–ს შემდეგი 44 ხარისხი ვიპოვოთ მსგავსი მეთოდის გამოყენებით.
i5=i4i     ხარისხების თვისებები=1iრადგანაც i4=1=i\begin{aligned} \Large i^5 &= {i^4\cdot i}~~~~~&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=1\cdot i&&\small{\gray{\text{რადგანაც $i^4=1$}}}\\ \\ &= \blueD i \end{aligned}
i6=i4i2ხარისხების თვისებები=1(1)რადგან  და i4=1i2=1=1\begin{aligned}\Large i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=1\cdot (-1)&&\small{\gray{\text{რადგან $i^4=1$ და $i^2=-1$}}}\\ \\ &=\greenD{-1} \end{aligned}
i7=i4i3ხარისხების თვისებები=1(i)რადგან  და i4=1i3=i=i\begin{aligned}\Large i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=1\cdot (-i)&&\small{\gray{\text{რადგან $i^4=1$ და $i^3=-i$}}}\\ \\ &=\purpleD{-i} \end{aligned}
i8=i4i4    ხარისხების თვისებები=11რადგან  i4=1=1\begin{aligned}\Large i^8 &= {i^4\cdot i^4~~~~}&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=1\cdot 1&&\small{\gray{\text{რადგან $i^4=1$ }}}\\ \\ &=\goldD 1 \end{aligned}
შედეგები შეჯამებულია ცხრილში.
i1i^1i2i^2i3i^3i4i^4i5i^5i6i^6i7i^7i8i^8
i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1

კანონზომიერების გამოვლენა

ცხრილიდან ჩანს, რომ ii–ს ხარისხები მოძრაობს i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i} და 1\goldD1 მიმდევრობაში.
ამ კანონზომიერების გამოყენებით შეგვიძლია, i20i^{20} ვიპოვოთ? მოდით, ვცადოთ!
შემდეგი ჩამონათვალი გვაჩვენებს განმეორებადი მიმდევრობის პირველ 2020 რიცხვს.
\quadi\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1
ამ ლოგიკით, i20i^{20} უნდა უდრიდეს 1\goldD 1-ს. ვნახოთ, თუ შეძლებთ ამის დამტკიცებას ხარისხების გამოყენებით. დაიმახსოვრეთ, ხარისხების თვისებების გამოყენება აქ ისევე შეგვიძლია, როგორც ნამდვილი რიცხვების შემთხვევაში!
i20=(i4)5ხარისხების თვისებები=(1)5i4=1=1გაამარტივეთ\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &= (1)^5 &&\small{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&\small{\gray{\text{გაამარტივეთ}}}\end{aligned}
ნებისმიერ შემთხვევაში, ვხედავთ, რომ i20=1i^{20}=1.

ii-ის უფრო მაღალი ხარისხები

ვთქვათ, გვინდა i138i^{138}–ის პოვნა. შეგვიძლია, ჩამოვთვალოთ i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1,... 138138^\text{}–ე წევრამდე მიმდევრობა მაგრამ ამას ძალიან ბევრი დრო დასჭირდება!
თუმცა, ყურადღება მიაქციეთ, რომ i4=1i^4=1, i8=1i^8=1, i12=1i^{12}=1 და ასე შემდეგ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ ii აყვანილი 44–ის ჯერად ხარისხსში არის 11.
ეს ფაქტი შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ხარისხების თვისებებთან ერთად, რომ გავამარტივოთ i138i^{138}.

მაგალითი

გაამარტივეთ i138i^{138}.

ამოხსნა

138138 არ არის 44–ის ჯერადი, მაგრამ რიცხვი 136136 არის! ეს შეგვიძლია, გამოვიყენოთ i138i^{138}–ის გამარტივებისას.
i138=i136i2ხარისხის თვისებები=(i434)i2136=434=(i4)34i2ხარისხის თვისებები=(1)34i2i4=1=11i2=1=1\begin{aligned} i^{138} &=i^{136}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{ხარისხის თვისებები}}}\\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&\small{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&\small{\gray{\text{ხარისხის თვისებები}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -1&&\small{\gray{\text{$i^2=-1$}}}\\\\ &=-1 \end{aligned}
ასე რომ, i138=1i^{138}=-1.
ახლა შეიძლება, იკითხოთ, თუ რატომ გადავწყვიტეთ, i138i^{138} ჩაგვეწერა i136i2i^{136}\cdot i^2 სახით.
თუ თავდაპირველი ხარისხი არ არის 44–ის ჯერადი, მაშინ უახლოესი 44–ის ჯერადის პოვნით, რომელიც მასზე ნაკლებია, ხარისხი დაგვყავს ii–მდე, i2i^2–მდე ან i3i^3–მდე მხოლოდ იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ i4=1i^4=1.
ეს რიცხვი ადვილი საპოვნელია თუ თავდაპირველ ხარისხს გავყოფთ 44–ზე. ეს რიცხვი არის მეოთხედი (ნაშთის გარეშე) გამრავლებული 44–ზე.

მოდით, ვივარჯიშოთ რამდენიმე ამოცანაზე

ამოცანა 1

ამოცანა 2

ამოცანა 3

რთული ამოცანები

იტვირთება