ძირითადი მასალა

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 2

გაკვეთილი 1: რას წარმოადგენს წარმოსახვითი რიცხვები?

წარმოსახვითი რიცხვები. შესავალი

გაიგეთ მეტი წარმოსახვით ერთეულებზე, წარმოსახვით რიცხვებზე და უარყოფითი რიცხვების კვადრატულ ფესვებზე.

მათემატიკის სწავლისას ალბათ შენიშნეთ, რომ ზოგიერთ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს არცერთი ნამდვილი ამონახსნი.

მაგალითად, რაც არ უნდა მოინდომოთ, ვერ იპოვით ისეთ ნამდვილ რიცხვს, რომელიც არის

x^{2} = - 1

განტოლების ამონახსნი. ამის მიზეზი არის ის, რომ შეუძლებელია ნამდვილი რიცხვი აიყვანო კვადრატში და მიიღო უარყოფითი რიცხვი!

თუმცა,

x^{2} = - 1

განტოლების ამონახსნი არსებობს ახალ ნამდვილ რიცხვთა სისტემაში, რომელსაც კომპლექსურ რიცხვთა სისტემა ეწოდება.

წარმოსახვითი ერთეული

ამ ახალი რიცხვთა სისტემის საფუძველი არის წარმოსახვითი ერთეული, იგივე, რიცხვი

i

შემდეგი ტოლობა სწორია

i

რიცხვისათვის:

$i = \sqrt{- 1}$ ‍
$i^{2} = - 1$ ‍

მეორე თვისება გვაჩვენებს, რომ

i

რიცხვი ნამდვილად არის

x^{2} = - 1

განტოლების ამონახსნი. წარმოსახვითი ერთეულის დამატებით ადრე ამოუხსნადი განტოლება ახლა იხსნება!

წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები

i

არ არის მარტო! ამ წარმოსახვითი ერთეულის ჯერადების აღებით შეგვძლია, უთვალავი რაოდენობის წმინდა წარმოსახვით რიცხვი შევქმნათ.

მაგალითად,

3 i

–იც,

i \sqrt{5}

–იც და

- 12 i

–იც წმინდა წარმოსახვითი რიცხვებია, ანუ

b i

ფორმის რიცხვი, სადაც

b

ნულისგან განსხვავებული ნამდვილი რიცხვია.

ამ რიცხვების კვადრატში აყვანა ცოტა ნათელს ფენს იმას, თუ როგორ უკავშირდება ისინი ნამდვილ რიცხვს. მოდით, ეს გამოვიკვლიოთ

3 i

–ს კვადრატში აყვანით. მთელი ხარისხების თვისება იგივე რჩება, ასე რომ,

3 i

–ის კვადრატში აყვანა შეგვიძლია, ისე, როგორც ვვარაუდობთ.

$\begin{aligned} (3 i)^{2} & = 3^{2} i^{2} \\ = 9 i^{2} \end{aligned}$ ‍

იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ

i^{2} = - 1

, ეს კიდევ შეგვიძლია, გავამარტივოთ, როგორც ნაჩვენებია.

$\begin{aligned} = 9 i^{2} \\ = 9 (- 1) \\ = - 9 \end{aligned}$ ‍

ის ფაქტი, რომ

(3 i)^{2} = - 9

ნიშნავს, რომ

3 i

არის

- 9

-ის კვადრატული ფესვი.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

რას უდრის $(4 i)^{2}$ ‍?

[დახმარება მჭირდება!]

ჩამოთვლილთაგან რომელია $- 16$ ‍–ის კვადრატული ფესვი?

[დახმარება მჭირდება!]

ამ გზით ვხედავთ, რომ წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები უარყოფითი რიცხვების კვადრატული ფესვებია!

წმინდა წარმოსახვითი რიცხვების გამარტივება

ცხრილი გვაჩვენებს წმინდა წარმოსახვითი რიცხვების მაგალითებს რთული და გამარტივებული ფორმებით.

გაუმარტივებელი ფორმა	გამარტივებული ფორმა
$\sqrt{- 9}$ ‍	$3 i$ ‍
$\sqrt{- 5}$ ‍	$i \sqrt{5}$ ‍
$- \sqrt{- 144}$ ‍	$- 12 i$ ‍

მაგრამ როგორ ვამარტივებთ ამ წმინდა წარმოსახვით რიცხვებს?

მოდით, ახლოდან დავაკვირდეთ პირველ მაგალითს და ვნახოთ, თუ მოვიფიქრებთ გამარტივების გზას.

საწყისი ტოლობა	აზროვნების პროცესი
$\begin{array}{r} \sqrt{- 9} = 3 i \end{array}$ ‍	$- 9$ ‍-ის კვადრატული ფესვი წარმოსახვითი რიცხვია. $9$ ‍-ის კვადრატული ფესვი უდრის $3$ ‍-ს, ასე რომ უარყოფითი $9$ ‍-ის კვადრატული ფესვი არის $3$ ‍ წარმოსახვითი ერთეული, ან $3 i$ ‍.

საწყისი ტოლობა

აზროვნების პროცესი

\begin{array}{r} \sqrt{- 9} = 3 i \end{array}

- 9

-ის კვადრატული ფესვი წარმოსახვითი რიცხვია.

9

-ის კვადრატული ფესვი უდრის

3

-ს, ასე რომ უარყოფითი

9

-ის კვადრატული ფესვი არის

3

წარმოსახვითი ერთეული, ან

3 i

შემდეგი თვისება ზემოთ მოცემულ „აზროვნების პროცესს" ხსნის მათემატიკური ტერმინებით.

თუ $a > 0$ ‍, $\sqrt{- a} = i \sqrt{a}$ ‍

თუ თავს მოვუყრით ყველაფერს, რაც ვიცით ფესვების შესახებ, შეგვიძლია, გავამარტივოთ წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები. მოდით, შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი

გაამარტივეთ

\sqrt{- 18}

ამოხსნა

პირველ რიგში, დავაკვირდეთ, რომ

\sqrt{- 18}

არის წარმოსახვითი რიცხვი, რადგან იგი არის უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი. ასე რომ, შეგვიძლია,

\sqrt{- 18}

–ის ჩაწერა დავიწყოთ, როგორც

i \sqrt{18}

შემდეგ შეგვიძლია,

\sqrt{18}

გავამარტივოთ იმის გამოყენებით, რაც უკვე ვიცით ფესვების შესახებ.

ეს ნამუშევარი ქვემოთ არის ნაჩვენები.

\begin{aligned} \sqrt{- 18} & = i \sqrt{18} & For a > 0, \sqrt{- a} = i \sqrt{a} \\ = i \cdot \sqrt{9 \cdot 2} & 9 არის 18 -ის გამყოფი სრული კვადრატი \\ = i \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} & \sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} როცა a, b \geq 0 \\ = i \cdot 3 \cdot \sqrt{2} & \sqrt{9} = 3 \\ = 3 i \sqrt{2} & გამრავლება კომუტატიურია \end{aligned}

შედეგად,

\sqrt{- 18} = 3 i \sqrt{2}

[მაინც დაბნეული ვარ. მინდა კიდევ ერთი მაგალითი ვნახო.]

მოდით, ვივარჯიშოთ რამდენიმე ამოცანაზე

ამოცანა 1

გაამარტივეთ

\sqrt{- 25}

[დახმარება მჭირდება!]

ამოცანა 2

გაამარტივეთ

\sqrt{- 10}

[დახმარება მჭირდება!]

ამოცანა 3

გაამარტივეთ

\sqrt{- 24}

[დახმარება მჭირდება!]

მაინც რატომ გვაქვს წარმოსახვითი რიცხვები?

პასუხი მარტივია.

i

წარმოსახვითი ერთეული საშუალებას გვაძლევს ბევრი ისეთი განტოლების ამონახსნი ვიპოვოთ, რომელთაც მთელი ამონახსნი არ აქვთ.

ეს შეიძლება, უცნაურად მოგვეჩვენოს, მაგრამ საკმაოდ გავრცელებულია, განტოლება არ იხსნებოდეს ერთ რიცხვთა სისტემაში, მაგრამ იხსნებოდეს სხვა, უფრო ზოგად რიცხვთა სისტემაში.

აქ არის რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც შეიძლება, უკეთ იცოდეთ.

მხოლოდ ნატურალური რიცხვებით ვერ ამოვხსნით $x + 8 = 1$ ‍–ს; ამისთვის მთელი რიცხვები გვჭირდება!
მოლოდ მთელი რიცხვებით ვერ ამოვხსნით $3 x - 1 = 0$ ‍–ს; ამისათვის რაციონალური რიხვები გვჭირდება!
მხოლოდ რაციონალური რიცხვებით ვერ ამოვხსნით $x^{2} = 2$ ‍–ს. გავეცნოთ ირაცონალური რიცხვებსა და ნამდვილი რიცხვების სისტემას!

ასე რომ, მხოლოდ მთელი რიცხვებით ვერ ამოვხსნით

x^{2} = - 1

–ს. ამისათვის წარმოსახვითი რიცხვები გვჭირდება!

მათემატიკის სწავლის გაგრძელებასთან ერთად დაინახავთ ამ რიცხვების მნიშვნელობას.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.