If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კომპლექსური რიცხვები. შესავალი

გიაგეთ, რა არის კომპლექსური რიცხვები და მათი ნადმვილი და წარმოსახვითი ნაწილები.
ნამდვილ რიხვთა სისტემაში x, squared, equals, minus, 1 განტოლებას არ აქვს ამონახსნი. ამ გაკვეთილში ისწავლით ახალ რიცხვთა სისტემას, რომელშიც ამ განტოლებას აქვს ამონახსნი.
ამ ახალი რიცხვების სისტემის საფუძველი არის რიცხვი i.
i, equals, square root of, minus, 1, end square root
ამ წარმოსახვითი ერთეულის ჯერადების აღებით, შეგვიძლია, შევქმნათ უსასრულოდ ბევრი ახალი რიცხვი. მაგალითად, 3, i, i, square root of, 5, end square root და minus, 12, i არის წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები, ანუ b, i ფორმის რიცხვები, სადაც b ნულისგან განსხცავებული ნამდვილი რიცხვია.
ამ წმინდა წარმოსახვით რიცხვებზე ნამდვილი რიცხვის დამატება ქმნის კიდევ უფრო მეტ რიცხვს, როგორიცაა 2, plus, 7, i და 3, minus, square root of, 2, end square root, i. ესენი წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები არ არის, თუმცა არც ნამდვილი რიცხვებია. ისინი ეკუთვნიან რიცხვთა ერთობლიობას, რომელთაც კომპლექსური რიცხვები ჰქვია.

კომპლექსური რიცხვების განსაზღვრა

კომპლექსური რიცხვი არის ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ჩაიწერება, როგორც start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, სადაც i არის წარმოსახვითი ერთეული და start color #1fab54, a, end color #1fab54 და start color #11accd, b, end color #11accd ნამდვილი რიცხვებია.
რიცხვის start color #1fab54, start text, ნ, ა, მ, დ, ვ, ი, ლ, ი, end text, end color #1fab54 ნაწილი, ანუ start color #1fab54, a, end color #1fab54, არის ნამდვილი რიცხვი, რომელიც ემატება წმინდა წარმოსახვით რიცხვს.
რიცხვის start color #11accd, start text, წ, ა, რ, მ, ო, ს, ა, ხ, ვ, ი, თ, ი, end text, end color #11accd ნაწილი, ანუ start color #11accd, b, end color #11accd, არის წმინდა წარმოსახვითი რიცხვის ნამდვილი კოეფიციენტი.
ქვემოთ მოცემული ცხრილი გვაჩვენებს კომპლექსური რიცხვების მაგალითებს, სადაც ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილები გამოყოფილია. ზოგიერთი ადამიანისთვის რიცხვის ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილის ამოცნობა მარტივია, თუ იგი სტანდარტული ფორმითაა ჩაწერილი.
კომპლექსური რიცხვისტანდარტული ფორმა start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, iნაწილების აღწერა
7, i, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, iნამდვილი ნაწილია start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 და წარმოსახვითი ნაწილია start color #11accd, 7, end color #11accd.
4, minus, 3, istart color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, iნამდვილი ნაწილია start color #1fab54, 4, end color #1fab54 და წარმოსახვითი ნაწილია start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
space, space, space, space, space, space, space, 9, istart color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, iნამდვილი ნაწილია start color #1fab54, 0, end color #1fab54 და წარმოსახვითი ნაწილია start color #11accd, 9, end color #11accd
space, space, space, space, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, iნამდვილი ნაწილია start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 და წარმოსახვითი ნაწილია start color #11accd, 0, end color #11accd

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ამოცანა 1

რა არის 13, comma, 2, i, plus, 1-ის ნამდვილი ნაწილი?
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

ამოცანა 2

რა არის 21, minus, 14, i-ის წარმოსახვითი ნაწილი?
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

ამოცანა 3

რა არის 17, i-ის ნამდვილი ნაწილი?
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

კომპლექსური რიცხვების კლასიფიკაცია

შეიძლება, შენიშნეთ, რომ 9, i და minus, 2 მოცემული იყო, როგორც კომპლექსური რიცხვების მაგალითები, როცა მათი კლასიფიკაცია შეგვიძლია, როგორც წმინდა წარმოსახვითი და ნამდვილი რიცხვების.
მოდით, უფრო ახლოდან დავაკვირდეთ და შევეცადოთ გავარკვიოთ როგორ თავსდება ეს სამი ერთობლიობა ერთად.
9, i წმინდა წარმოსახვითი რიცხვია. მაგრამ ამ რიცხვის გამოსახვა შეგვიძლია, როგორც start color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, i. ასე რომ, 9, i არის წმინდა წარმოსახვითი რიცხვიც და კომპლექსური რიცხვიც! მეტიც, ყველა წმინდა წარმოსახვით რიცხვი კომპლექსური რიცხვია.
ამის მსგავსად, minus, 2 ნამდვილი რიცხვია. მაგრამ minus, 2, ასევე, შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, i. ასე რომ, minus, 2 არის ნამდვილი რიცხვიც და კომპლექსური რიცხვიც! მეტიც, ყველა ნამდვილი რიცხვი კომპლექსური რიცხვიცაა.
ზოგადად, ნულისგან განსხვავებული ნებისმიერი კომპლექსური რიცხვი a, plus, b, i ასევე იქნება...
  • ...წმინდა წარმოსახვითი რიცხვი, თუ a, equals, 0.
  • ...ნამდვილი რიცხვი, თუ b, equals, 0.
ქვემოთ მოცემული დიაგრამა გვაჩვენებს, როგორ თავსდება ნამდვილი, წმინდა წარმოსახვით და კომპლექსური რიცხვები ერთად. თითოეული ტიპის რიცხვის მაგალითები მოცემულია.

სააზროვნო ამოცანა

მოცემული მტკიცება ჭეშმარიტია თუ მცდარი?
ნებისმიერი კომპლექსური რიცხვი ან ნამდვილი რიცხვია, ან – წმინდა წარმოსახვითი.
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

მაგალითები

ქვემოთ მოცემულ ცხრილში რიცხვები კლასიფიცირებულია, როგორც ნამდვილი, წმინდა წარმოსახვითი და/ან კომპლექსური.
ნამდვილი(b=0)\begin{aligned}&\text{ნამდვილი}\\&(b=0)\end{aligned}წმინდად წარმოსახვითი(a=0)\begin{aligned}&\text{წმინდად წარმოსახვითი}\\&(a=0)\end{aligned}კომპლექსური(a+bi)\begin{aligned}&\text{კომპლექსური}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1,3i(0+(1,3)i)\begin{aligned}&-1{,}3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1{,}3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
ყურადღება მიაქციეთ, რომ ცხრილში ჩამოთვლილი ყველა რიცხვი კომპლექსური რიცხვია! ეს ზოგადად ჭეშმარიტია!

ახლა თქვენ სცადეთ!

ამოცანა 4

რა სახის რიცხვია minus, 2, plus, 3, i?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

ამოცანა 5

რა სახის რიცხვია 10, comma, 2?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

ამოცანა 6

რა სახის რიცხვია minus, 17, i?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

რატომ არის ეს რიცხვები მნიშვნელოვანი?

მაინც რისთვის ვსწავლობთ კომპლექსურ რიცხვებს? გინდ დაიჯერეთ, გინდ არა, კომპლექსურ რიცხვებს მრავალგვარი გამოყენება აქვს – მაგალითად, ელექტოინჟინერია და კვანტური მექანიკა!
წმინდა მათემატიკური თვალსაზრისით, კომპლექსურ რიცხვებში ის არის მაგარი, რომ საშუალებას გვაძლევს, ამოვხსნათ ნებისმიერი მრავალწევრა განტოლება.
მაგალითად x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 მრავალწევრა განტოლებას არ აქვს არც ნამდვილი ამონახსნი და არც წმინდა წარმოსახვითი ამონახსნი, თუმცა მას აქვს ორი ამონახსნი, კომპლექსური რიცხვები. ესენია 1, plus, 2, i და 1, minus, 2, i.
მათემატიკის სწავლასთან ერთად ჩვენ გავეცნობით ამ რიცხვებს და მათ გამოყენებას.