ძირითადი მასალა

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 2

გაკვეთილი 2: რა არის კომპლექსური რიცხვები?

კომპლექსური რიცხვები. შესავალი

გიაგეთ, რა არის კომპლექსური რიცხვები და მათი ნადმვილი და წარმოსახვითი ნაწილები.

ნამდვილ რიხვთა სისტემაში

x^{2} = - 1

განტოლებას არ აქვს ამონახსნი. ამ გაკვეთილში ისწავლით ახალ რიცხვთა სისტემას, რომელშიც ამ განტოლებას აქვს ამონახსნი.

ამ ახალი რიცხვების სისტემის საფუძველი არის რიცხვი

i

$i = \sqrt{- 1}$ ‍

ამ წარმოსახვითი ერთეულის ჯერადების აღებით, შეგვიძლია, შევქმნათ უსასრულოდ ბევრი ახალი რიცხვი. მაგალითად,

3 i

i \sqrt{5}

და

- 12 i

არის წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები, ანუ

b i

ფორმის რიცხვები, სადაც

b

ნულისგან განსხცავებული ნამდვილი რიცხვია.

ამ წმინდა წარმოსახვით რიცხვებზე ნამდვილი რიცხვის დამატება ქმნის კიდევ უფრო მეტ რიცხვს, როგორიცაა

2 + 7 i

და

3 - \sqrt{2} i

. ესენი წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები არ არის, თუმცა არც ნამდვილი რიცხვებია. ისინი ეკუთვნიან რიცხვთა ერთობლიობას, რომელთაც კომპლექსური რიცხვები ჰქვია.

კომპლექსური რიცხვების განსაზღვრა

კომპლექსური რიცხვი არის ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ჩაიწერება, როგორც

a + b i

, სადაც

i

არის წარმოსახვითი ერთეული და

a

და

b

ნამდვილი რიცხვებია.

რიცხვის

ნამდვილი

ნაწილი, ანუ

a

, არის ნამდვილი რიცხვი, რომელიც ემატება წმინდა წარმოსახვით რიცხვს.

რიცხვის

წარმოსახვითი

ნაწილი, ანუ

b

, არის წმინდა წარმოსახვითი რიცხვის ნამდვილი კოეფიციენტი.

ქვემოთ მოცემული ცხრილი გვაჩვენებს კომპლექსური რიცხვების მაგალითებს, სადაც ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილები გამოყოფილია. ზოგიერთი ადამიანისთვის რიცხვის ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილის ამოცნობა მარტივია, თუ იგი სტანდარტული ფორმითაა ჩაწერილი.

კომპლექსური რიცხვი	სტანდარტული ფორმა $a + b i$ ‍	ნაწილების აღწერა
$7 i - 2$ ‍	$- 2 + 7 i$ ‍	ნამდვილი ნაწილია $- 2$ ‍ და წარმოსახვითი ნაწილია $7$ ‍.
$4 - 3 i$ ‍	$4 + (- 3) i$ ‍	ნამდვილი ნაწილია $4$ ‍ და წარმოსახვითი ნაწილია $- 3$ ‍
$9 i$ ‍	$0 + 9 i$ ‍	ნამდვილი ნაწილია $0$ ‍ და წარმოსახვითი ნაწილია $9$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2 + 0 i$ ‍	ნამდვილი ნაწილია $- 2$ ‍ და წარმოსახვითი ნაწილია $0$ ‍

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ამოცანა 1

რა არის $13, 2 i + 1$ ‍-ის ნამდვილი ნაწილი?

[დახმარება მჭირდება!]

ამოცანა 2

რა არის $21 - 14 i$ ‍-ის წარმოსახვითი ნაწილი?

[დახმარება მჭირდება!]

ამოცანა 3

რა არის $17 i$ ‍-ის ნამდვილი ნაწილი?

[დახმარება მჭირდება!]

კომპლექსური რიცხვების კლასიფიკაცია

შეიძლება, შენიშნეთ, რომ

9 i

და

- 2

მოცემული იყო, როგორც კომპლექსური რიცხვების მაგალითები, როცა მათი კლასიფიკაცია შეგვიძლია, როგორც წმინდა წარმოსახვითი და ნამდვილი რიცხვების.

მოდით, უფრო ახლოდან დავაკვირდეთ და შევეცადოთ გავარკვიოთ როგორ თავსდება ეს სამი ერთობლიობა ერთად.

9 i

წმინდა წარმოსახვითი რიცხვია. მაგრამ ამ რიცხვის გამოსახვა შეგვიძლია, როგორც

0 + 9 i

. ასე რომ,

9 i

არის წმინდა წარმოსახვითი რიცხვიც და კომპლექსური რიცხვიც! მეტიც, ყველა წმინდა წარმოსახვით რიცხვი კომპლექსური რიცხვია.

ამის მსგავსად,

- 2

ნამდვილი რიცხვია. მაგრამ

- 2

, ასევე, შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც

- 2 + 0 i

. ასე რომ,

- 2

არის ნამდვილი რიცხვიც და კომპლექსური რიცხვიც! მეტიც, ყველა ნამდვილი რიცხვი კომპლექსური რიცხვიცაა.

ზოგადად, ნულისგან განსხვავებული ნებისმიერი კომპლექსური რიცხვი

a + b i

ასევე იქნება...

...წმინდა წარმოსახვითი რიცხვი, თუ $a = 0$ ‍.
...ნამდვილი რიცხვი, თუ $b = 0$ ‍.

ქვემოთ მოცემული დიაგრამა გვაჩვენებს, როგორ თავსდება ნამდვილი, წმინდა წარმოსახვით და კომპლექსური რიცხვები ერთად. თითოეული ტიპის რიცხვის მაგალითები მოცემულია.

სააზროვნო ამოცანა

მოცემული მტკიცება ჭეშმარიტია თუ მცდარი?

ნებისმიერი კომპლექსური რიცხვი ან ნამდვილი რიცხვია, ან – წმინდა წარმოსახვითი.

[დახმარება მჭირდება!]

მაგალითები

ქვემოთ მოცემულ ცხრილში რიცხვები კლასიფიცირებულია, როგორც ნამდვილი, წმინდა წარმოსახვითი და/ან კომპლექსური.

	$\begin{aligned} ნამდვილი \\ (b = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} წმინდად წარმოსახვითი \\ (a = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} კომპლექსური \\ (a + b i) \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} 7 + 8 i \\ (7 + 8 i) \end{aligned}$ ‍			X
$\begin{aligned} \sqrt{3} \\ (\sqrt{3} + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} 1 \\ (1 + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} - 1, 3 i \\ (0 + (- 1, 3) i) \end{aligned}$ ‍		X	X
$\begin{aligned} 100 i \\ (0 + 100 i) \end{aligned}$ ‍		X	X

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ცხრილში ჩამოთვლილი ყველა რიცხვი კომპლექსური რიცხვია! ეს ზოგადად ჭეშმარიტია!

ახლა თქვენ სცადეთ!

ამოცანა 4

რა სახის რიცხვია $- 2 + 3 i$ ‍?

[დახმარება მჭირდება!]

ამოცანა 5

რა სახის რიცხვია $10, 2$ ‍?

[დახმარება მჭირდება!]

ამოცანა 6

რა სახის რიცხვია $- 17 i$ ‍?

[დახმარება მჭირდება!]

რატომ არის ეს რიცხვები მნიშვნელოვანი?

მაინც რისთვის ვსწავლობთ კომპლექსურ რიცხვებს? გინდ დაიჯერეთ, გინდ არა, კომპლექსურ რიცხვებს მრავალგვარი გამოყენება აქვს – მაგალითად, ელექტოინჟინერია და კვანტური მექანიკა!

წმინდა მათემატიკური თვალსაზრისით, კომპლექსურ რიცხვებში ის არის მაგარი, რომ საშუალებას გვაძლევს, ამოვხსნათ ნებისმიერი მრავალწევრა განტოლება.

მაგალითად

x^{2} - 2 x + 5 = 0

მრავალწევრა განტოლებას არ აქვს არც ნამდვილი ამონახსნი და არც წმინდა წარმოსახვითი ამონახსნი, თუმცა მას აქვს ორი ამონახსნი, კომპლექსური რიცხვები. ესენია

1 + 2 i

და

1 - 2 i

მათემატიკის სწავლასთან ერთად ჩვენ გავეცნობით ამ რიცხვებს და მათ გამოყენებას.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.