ისწავლეთ, როგორ ამოხსნათ ნებისმიერი a⋅b^(cx)=d ფორმის მაჩვენებლიანი განტოლება. მაგალითად, ამოხსენით 6⋅10^(2x)=48.
მაჩვენებლიანი განტოლების ამოხსნის საიდუმლო ლოგარითმებშია! მოდით, ახლოდან დავაკვირდეთ რამდენიმე მაგალითს.

abx=da\cdot b^x=d ფორმის მაჩვენებლიანი განტოლების ამოხსნა

მაგალითი

ამოხსენით 52x=2405\cdot 2^x=240.

ამოხსნა

xx–ის მიმართ რომ ამოვხსნათ, გამოვყოთ მაჩვენებლიანი ნაწილი. ამისათვის ორივე მხარე გავყოთ 55–ზე, როგორც ეს ქვემოთაა ნაჩვენები. 55–ს და 22–ს არ ვამრავლებთ, რადგან ეს მოქმედებების თანმიმდევრობის წესებს ეწინააღმდეგება!
52x=2402x=48\begin{aligned} 5\cdot 2^x&=240 \\\\ 2^x&=48 \\ \end{aligned}
ახლა xx–ის მიმართ ამოხსნა შეგვიძლია, ლოგარითმულ ფორმაში გადაყვანით.
2x=48\blueD{2}^\greenD x= \goldD{48} არის log2(48)=x\log_{\blueD{2}}(\goldD{48})=\greenD{x}–ის ტოლფასი.
ასე ამოვხსენით განტოლება! ზუსტი ამონახსნია x=log2(48)x=\log_2(48).
რადგან 4848 არ არის 22–ის რაციონალური ხარისხი, უნდა გამოვიყენოთ ფუძის შეცვლის წესი და კალკულატორი, რომ გამოვთვალოთ ლოგარითმი. ეს ნაჩვენებია ქვემოთ.
x=log2(48)=log(48)log(2)ფუძის შეცვლის წესი5.585გამოთვალეთ კალკულატორით\begin{aligned} x &= \log_{2}(48) \\\\ &=\dfrac{ \log(48)}{\log(2)} &&\small{\gray{\text{ფუძის შეცვლის წესი}}}\\\\\\ &\approx 5.585 &&\small{\gray{\text{გამოთვალეთ კალკულატორით}}}\end{aligned}
მეათასედებამდე დამგვრალებული მიახლოებითი პასუხი არის x5.585x\approx 5.585.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) რა არის 26x=2362\cdot 6^x=236–ის ამონახსნი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

26x=2366x=118გაყავით ორივე მხარე 2-ზეx=log6(118)დაწერეთ ლოგარითმული სახით\begin{aligned} 2\cdot 6^x &= 236 \\\\ \blueD6^\greenD x &= \goldD{118}&&\small{\gray{\text{გაყავით ორივე მხარე 2-ზე}}} \\\\ \greenD x &= \log_\blueD 6(\goldD{118})&&\small{\gray{\text{დაწერეთ ლოგარითმული სახით}}} \end{aligned}
2) გამოთვალეთ 53t=205\cdot 3^t=20.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.
t=t=
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 66
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/53/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/47/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/41\ 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.750.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi12\ \text{pi} ან 2/3 pi2/3\ \text{pi}

53t=203t=4გაყავით ორივე მხარე 5-ზე t=log3(4)ჩაწერეთ ლოგარითმული სახით=log(4)log(3)ფუძის შეცვლის წესი1.262გამოთვალეთ კალკულატორში\begin{aligned} 5\cdot 3^t &= 20 \\\\ \blueD3^\greenD t &= \goldD{4}&&\small{\gray{\text{გაყავით ორივე მხარე 5-ზე }}} \\\\ \greenD t &= \log_\blueD 3(\goldD{4})&&\small{\gray{\text{ჩაწერეთ ლოგარითმული სახით}}} \\\\ &=\dfrac{\log(4)}{\log(3)}&&\small{\gray{\text{ფუძის შეცვლის წესი}}} \\\\\\ &\approx 1.262&&\small{\gray{\text{გამოთვალეთ კალკულატორში}}}\end{aligned}
3) გამოთვალეთ 6ey=3006\cdot e^y=300.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.
y=y=
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 66
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/53/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/47/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/41\ 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.750.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi12\ \text{pi} ან 2/3 pi2/3\ \text{pi}

გახსოვდეთ, რომ ee უბრალოდ რიცხვია და loge(x)=ln(x)\log_e(x)=\ln(x).

abcx=da\cdot b^{cx}=d ფორმის მაჩვენებლიანი განტოლების ამოხსნა

მოდით, ვნახოთ სხვა მაგალითი.

მაგალითი

ამოხსენით 6102x=486\cdot 10^{2x}=48

ამოხსნა

კვლავ ვიწყებთ მაჩვენებლიანი ნაწილის გამოყოფას ორივე მხარის 66–ზე გაყოფით.
ახლა ხარისხი შეგვიძლია, ჩამოვიტანოთ ლოგარითმულ ფორმაში გადაყვანით.
log10(8)=2x\begin{aligned} \log_{\blueD{10}}(\goldD8)&=\greenD{2x} \\\\ \end{aligned}
ბოლოს ორივე მხარე შეგვიძლია, გავყოთ 22–ზე, რომ ვიპოვოთ xx.
x= log10(8)2x=\dfrac{~{\log_{10}(8)}}{2}
ეს ზუსტი პასუხია. მეათასედებამდე დასამგვრალებლად შეგვიძლია, იგი პირდაპირ კალკულატორში ავკრიფოთ. ყურადღება მიაქციეთ, რომ აქ საჭირო არ არის ფუძის შეცვლა, რადგან ის უკვე 1010–ია.
x= log10(8)2= log(8)2log10(x)=log(x)0.452გამოთვალეთ კალკულატორით\begin{aligned} x&=\dfrac{~{\log_{10}(8)}}{2}\\\\\\\\ &= \dfrac{~{\log(8)}}{2}&&\small{\gray{\log_{10}(x)=\log(x)}} \\\\\\ &\approx 0.452 &&\small{\gray{\text{გამოთვალეთ კალკულატორით}}}\end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

4) ჩამოთვლილთაგან რომელია 3104t=5223\cdot 10^{4t}=522-ის ამონახსნი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

3104t=522104t=174გაყავით ორივე მხარე 3-ზე 4t=log10(174)დაწერეთ ლოგარითმული სახით4t=log(174)log10(x)=log(x)t=log(174)4\begin{aligned} 3\cdot 10^{4t} &= 522 \\\\ \blueD{10}^\greenD{4t} &= \goldD{174}&&\small{\gray{\text{გაყავით ორივე მხარე 3-ზე }}} \\\\ \greenD {4t} &= \log_\blueD {10}(\goldD{174})&&\small{\gray{\text{დაწერეთ ლოგარითმული სახით}}} \\\\ 4t&=\log(174)&&\small{\gray{\log_{10}(x)=\log(x)}} \\\\ t&=\dfrac{\log(174)}{4} \\\\\\\end{aligned}
შენიშნეთ, რომ log(174)4log(43.5)\dfrac{\log(174)}{4}\neq\log(43.5). ჯერ უნდა ამოიღოთ log(174)\log(174) და შემდეგ შედეგი გაყოთ 44–ზე.
5) გამოთვალეთ 452x=3004\cdot 5^{2x}=300.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.
x=x=
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 66
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/53/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/47/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/41\ 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.750.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi12\ \text{pi} ან 2/3 pi2/3\ \text{pi}

ამ ამოხსნაში log5(75)2\dfrac{\log_5(75)}{2} გამოსახულება შეიცვალა 12log(75)log(5)\dfrac12\cdot \dfrac{\log(75)}{\log(5)}–ით.
შეგვეძლო, (log(75)log(5))2\dfrac{\left(\dfrac{\log(75)}{\log(5)}\right)}{2} ფორმითაც ჩაგვეწერა, მაგრამ ეს უფრო რთული გამოსახულებაა.
6) გამოთვალეთ 230.2z=400-2\cdot 3^{0.2z}=-400.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.
z=z=
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 66
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/53/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/47/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/41\ 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.750.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi12\ \text{pi} ან 2/3 pi2/3\ \text{pi}

გამოწვევა: ამოცანა

ჩამოთვლილთაგან რომლებია (2x3)(2x4)=0(2^x-3)(2^x-4)=0–ის ამონახსნი?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

დასაწყებად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ნამრავლის ნულობის თვისება.
რადგან (2x3)(2x4)=0(2^x-3)(2^x-4)=0, ჩვენ ვიცით, რომ 2x3=02^x-3=0 ან 2x4=02^x-4=0.
თითოეული განტოლება ცალცალკე შეგვიძლია, ამოვხსნათ xx–ის მიმართ.
2x3=02^x-3=02x4=02^x-4=0
2x3=02x=3x=log2(3)\begin{aligned} 2^x-3 & =0\\\\2^x &= 3 \\\\x &= \log_2(3)\end{aligned}\qquad2x4=02x=4x=2\begin{aligned} 2^x-4&=0\\\\ 2^x&=4\\\\x&=2\end{aligned}
ანუ, x=2x=2 ან x=log2(3)x = \log_2(3).
იტვირთება