If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 8

გაკვეთილი 3: ლოგარითმის თვისებები
მათემატიკა
ალგებრა II
მაჩვენებლები და ლოგარითმები
ლოგარითმის თვისებები
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

ლოგარითმის თვისებები: შესავალი

Google–ის საკლასო ოთახი
ისწავლეთ ლოგარითმის თვისებები და გაიგეთ, როგორ უნდა გამოვიყენოთ ისინი ლოგარითმული გამოსახულებების გამოსაყენებლად. მაგალითად, გაშალეთ log₂(3a).
ნამრავლის წესიlog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
განაყოფის წესიlog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
ხარისხის წესიlog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
(ეს თვისება ვრცელდება M–ის, N–ისა და b–ს ნებისმიერ მნიშვნელობაზე, რომლისთვისაც ლოგარითმი განსაზღვრულია, ანუ, როცა M, N, is greater than, 0 და 0, is less than, b, does not equal, 1.)

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

უნდა იცოდეთ, რა არის ლოგარითმები. თუ არ იცით, გთხოვთ ნახეთ შესავალი ლოგარითმებში.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ხარისხების მსგავსად ლოგარითმებსაც აქვს ბევრი სასარგებლო თვისება, რომელიც შეიძლება, გამოვიყენოთ ლოგარითმული გამოსახულებების გასამარტივებლად და ლოგარითმული განტოლების ამოსახსნელად. ამ სტატიაში გამოვიკვლევთ სამ მათგანს.
მოდით, სათითაოდ ვნახოთ თითოეული თვისება.

ნამრავლის წესი: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

ეს თვისება ამბობს, რომ ნამრავლის ლოგარითმი არის მამრავლების ლოგარითმების ჯამი.
ლოგარითმული გამოსახულების ხელახლა ჩასაწერად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ნამრავლის წესი.

მაგალითი 1: ლოგარითმების გაშლა

ჩვენი მიზნებისთვის ლოგარითმის გაშლა ნიშნავს მისი ორი ან მეტი ლოგარითმის ჯამის სახით ჩაწერას.
მოდით, გავშალოთ log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis.
ყურადღება მიაქციეთ, რომ ლოგარითმის არგუმენტის მამრავლებია start color #11accd, 5, end color #11accd და start color #1fab54, y, end color #1fab54. ლოგარითმის გასაშლელად პირდაპირ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ნამრავლის წესი.
log⁡6(5y)=log⁡6(5⋅y)=log⁡6(5)+log⁡6(y)        ნამრავლის წესი\begin{aligned}\log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y)\\ \\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&~~~~~~~~\small{\gray{\text{ნამრავლის წესი}}} \end{aligned}

მაგალითი 2: ლოგარითმების გაერთიანება

ჩვენი მიზნებისთვის ორი ან მეტი ლოგარითმის გაერთიანება ნიშნავს მათ ერთ ლოგარითმად ჩაწერას.
მოდით, გავაერთიანოთ log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
რადგან ორ ლოგარითმს აქვს საერთო ფუძე (ფუძე – 3), ნამრავლის წესი შეგვიძლია, საპირისპირო მიმართულებით გამოვიყენოთ:
log⁡3(10)+log⁡3(x)=log⁡3(10⋅x)ნამრავლის წესი=log⁡3(10x)\begin{aligned}\log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&\small{\gray{\text{ნამრავლის წესი}}}\\ \\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

მნიშვნელოვანი მინიშნება

როცა ლოგარითმულ გამოსახულებებს ვაერთიანებთ ნამრავლის წესის გამოყენებით, გამოსახულებაში ყველა ლოგარითმს ერთი ფუძე უნდა ჰქონდეს.
მაგალითად, ჩვენ ვერ გამოვიყენებთ ნამრავლის წესს log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis გამოსახულების გასამარტივებლად.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) გაშალეთ log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis.

2) გააერთიანეთ log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.

განაყოფის წესი: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

ეს თვისება ამბობს, რომ განაყოფის ლოგარითმი გასაყოფისა და გამყოფის ლოგარითმების სხვაობაა.
ახლა კი ლოგარითმული გამოსახულების ხელახლა ჩასაწერად გამოვიყენოთ განაყოფის წესი.

მაგალითი 1: ლოგარითმების გაშლა

მოდით, log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis გავშალოთ, რომ იგი ჩავწეროთ, როგორც ორი ლოგარითმის სხვაობა განაყოფის წესის პირდაპირ გამოყენებით.
log⁡7(a2)=log⁡7(a)−log⁡7(2)განაყოფის წესი\begin{aligned}\log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &\small{\gray{\text{განაყოფის წესი}}} \end{aligned}

მაგალითი 2: ლოგარითმების გაერთიანება

მოდით, გავაერთიანოთ log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
რადგან ორ ლოგარითმს აქვს საერთო ფუძე (ფუძე – 4), განაყოფის წესი შეგვიძლია, საპირისპირო მიმართულებით გამოვიყენოთ:
log⁡4(x3)−log⁡4(y)=log⁡4(x3y)განაყოფის წესი\begin{aligned}\log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&\small{\gray{\text{განაყოფის წესი}}}\\ \\ \end{aligned}

მნიშვნელოვანი მინიშნება

როცა ლოგარითმულ გამოსახულებებს ვაერთიანებთ განაყოფის წესის გამოყენებით, გამოსახულებაში ყველა ლოგარითმს ერთი ფუძე უნდა ჰქონდეს.
მაგალითად, განაყოფის წესს ვერ გამოვიყენებთ log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis–ის მსგავსი გამოსახულების გასამარტივებლად.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

3) გაშალეთ log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis.

4) გააერთიანეთ log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis.

ხარისხის წესი: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

ამ კანონის მიხედვით, ხარისხის ლოგარითმი არის მაჩვენებელი გამრავლებული ხარისხის ფუძის ლოგარითმზე.
ახლა მოდით, ლოგარითმული გამოსახულების ხელახლა ჩასაწერად გამოვიყენოთ ხარისხის წესი.

მაგალითი 1: ლოგარითმების გაშლა

ამ განყოფილებაში ჩვენი მიზნებისთვის ლოგარითმის გაშლა ნიშნავს მისი რამდენიმე ლოგარითმის ნამრავლის სახით ჩაწერას.
მოდით, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis–ის გასაშლელად გამოვიყენოთ ხარისხის წესი.
log⁡2(x3)=3⋅log⁡2(x)ხარისხის წესი=3log⁡2(x)\begin{aligned}\log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&\small{\gray{\text{ხარისხის წესი}}}\\ \\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

მაგალითი 2: ლოგარითმების გაერთიანება

ამ განყოფილებაში ჩვენი მიზნებისთვის, ლოგარითმის ჯერადის გაერთიანება ნიშნავს მისი სხვა ერთი ლოგარითმის სახით ჩაწერას.
მოდით, გამოვიყენოთ ხარისხის წესი 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis–ის გასაერთიანებლად,
როცა ლოგარითმულ გამოსახულებას ვაერთიანებთ ხარისხის წესის გამოყენებით, მამრავლებს ვაქცევთ ხარისხებად.
4log⁡5(2)=log⁡5(24)  ხარისხის წესი=log⁡5(16)\begin{aligned}\maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)~~&&\small{\gray{\text{ხარისხის წესი}}}\\ \\ &=\log_5(16)\\ \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

5) გაშალეთ log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis.

6) გააერთიანეთ 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis.

რთული ამოცანები

შემდეგი მაგალითების ამოსახსნელად თითოეულ შემთხვევაში რამდენიმე თვისების გამოყენება მოგიწევთ. სცადეთ!
1) ჩამოთვლილთაგან, რომელია log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis-ის ტოლფასი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

2) ჩამოთვლილთაგან, რომელია 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis-ის ტოლფასი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.