ისწავლეთ ლოგარითმის თვისებები და გაიგეთ, როგორ უნდა გამოვიყენოთ ისინი ლოგარითმული გამოსახულებების გამოსაყენებლად. მაგალითად, გაშალეთ log₂(3a).
ნამრავლის წესიlogb(MN)=logb(M)+logb(N)\large\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)
განაყოფის წესიlogb(MN)=logb(M)logb(N)\large\log_b\left(\frac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)
ხარისხის წესიlogb(Mp)=plogb(M)\large\log_b(M^p)=p\log_b(M)
(ეს თვისება ვრცელდება MM–ის, NN–ისა და bb–ს ნებისმიერ მნიშვნელობაზე, რომლისთვისაც ლოგარითმი განსაზღვრულია, ანუ, როცა MM, N>0N>0 და 0<b10<b\neq1.)

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

უნდა იცოდეთ, რა არის ლოგარითმები. თუ არ იცით, გთხოვთ ნახეთ შესავალი ლოგარითმებში.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ხარისხების მსგავსად ლოგარითმებსაც აქვს ბევრი სასარგებლო თვისება, რომელიც შეიძლება, გამოვიყენოთ ლოგარითმული გამოსახულებების გასამარტივებლად და ლოგარითმული განტოლების ამოსახსნელად. ამ სტატიაში გამოვიკვლევთ სამ მათგანს.
მოდით, სათითაოდ ვნახოთ თითოეული თვისება.

ნამრავლის წესი: logb(MN)=logb(M)+logb(N)\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)

ეს თვისება ამბობს, რომ ნამრავლის ლოგარითმი არის მამრავლების ლოგარითმების ჯამი.
ლოგარითმული გამოსახულების ხელახლა ჩასაწერად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ნამრავლის წესი.

მაგალითი 1: ლოგარითმების გაშლა

ჩვენი მიზნებისთვის ლოგარითმის გაშლა ნიშნავს მისი ორი ან მეტი ლოგარითმის ჯამის სახით ჩაწერას.
მოდით, გავშალოთ log6(5y)\log_6(5y).
ყურადღება მიაქციეთ, რომ ლოგარითმის არგუმენტის მამრავლებია 5\blueD 5 და y\greenD y. ლოგარითმის გასაშლელად პირდაპირ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ნამრავლის წესი.
log6(5y)=log6(5y)=log6(5)+log6(y)        ნამრავლის წესი\begin{aligned}\log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y)\\ \\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&~~~~~~~~\small{\gray{\text{ნამრავლის წესი}}} \end{aligned}

მაგალითი 2: ლოგარითმების გაერთიანება

ჩვენი მიზნებისთვის ორი ან მეტი ლოგარითმის გაერთიანება ნიშნავს მათ ერთ ლოგარითმად ჩაწერას.
მოდით, გავაერთიანოთ log3(10)+log3(x)\log_3(10)+\log_3(x).
რადგან ორ ლოგარითმს აქვს საერთო ფუძე (ფუძე – 33), ნამრავლის წესი შეგვიძლია, საპირისპირო მიმართულებით გამოვიყენოთ:
log3(10)+log3(x)=log3(10x)ნამრავლის წესი=log3(10x)\begin{aligned}\log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&\small{\gray{\text{ნამრავლის წესი}}}\\ \\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

მნიშვნელოვანი მინიშნება

როცა ლოგარითმულ გამოსახულებებს ვაერთიანებთ ნამრავლის წესის გამოყენებით, გამოსახულებაში ყველა ლოგარითმს ერთი ფუძე უნდა ჰქონდეს.
მაგალითად, ჩვენ ვერ გამოვიყენებთ ნამრავლის წესს log2(8)+log3(y)\log_2(8)+\log_3(y) გამოსახულების გასამარტივებლად.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

განაყოფის წესი: logb(MN)=logb(M)logb(N) \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)

ეს თვისება ამბობს, რომ განაყოფის ლოგარითმი გასაყოფისა და გამყოფის ლოგარითმების სხვაობაა.
ახლა კი ლოგარითმული გამოსახულების ხელახლა ჩასაწერად გამოვიყენოთ განაყოფის წესი.

მაგალითი 1: ლოგარითმების გაშლა

მოდით, log7(a2)\log_7\left(\dfrac{a}{2}\right) გავშალოთ, რომ იგი ჩავწეროთ, როგორც ორი ლოგარითმის სხვაობა განაყოფის წესის პირდაპირ გამოყენებით.
log7(a2)=log7(a)log7(2)განაყოფის წესი\begin{aligned}\log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &\small{\gray{\text{განაყოფის წესი}}} \end{aligned}

მაგალითი 2: ლოგარითმების გაერთიანება

მოდით, გავაერთიანოთ log4(x3)log4(y)\log_4(x^3)-\log_4(y).
რადგან ორ ლოგარითმს აქვს საერთო ფუძე (ფუძე – 44), განაყოფის წესი შეგვიძლია, საპირისპირო მიმართულებით გამოვიყენოთ:
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)განაყოფის წესი\begin{aligned}\log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&\small{\gray{\text{განაყოფის წესი}}}\\ \\ \end{aligned}

მნიშვნელოვანი მინიშნება

როცა ლოგარითმულ გამოსახულებებს ვაერთიანებთ განაყოფის წესის გამოყენებით, გამოსახულებაში ყველა ლოგარითმს ერთი ფუძე უნდა ჰქონდეს.
მაგალითად, განაყოფის წესს ვერ გამოვიყენებთ log2(8)log3(y)\log_2(8)-\log_3(y)–ის მსგავსი გამოსახულების გასამარტივებლად.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ხარისხის წესი: logb(Mp)=plogb(M)\log_b(M^p)=p\log_b(M)

ამ კანონის მიხედვით, ხარისხის ლოგარითმი არის მაჩვენებელი გამრავლებული ხარისხის ფუძის ლოგარითმზე.
ახლა მოდით, ლოგარითმული გამოსახულების ხელახლა ჩასაწერად გამოვიყენოთ ხარისხის წესი.

მაგალითი 1: ლოგარითმების გაშლა

ამ განყოფილებაში ჩვენი მიზნებისთვის ლოგარითმის გაშლა ნიშნავს მისი რამდენიმე ლოგარითმის ნამრავლის სახით ჩაწერას.
მოდით, log2(x3)\log_2\left(x^3\right)–ის გასაშლელად გამოვიყენოთ ხარისხის წესი.
log2(x3)=3log2(x)ხარისხის წესი=3log2(x)\begin{aligned}\log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&\small{\gray{\text{ხარისხის წესი}}}\\ \\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

მაგალითი 2: ლოგარითმების გაერთიანება

ამ განყოფილებაში ჩვენი მიზნებისთვის, ლოგარითმის ჯერადის გაერთიანება ნიშნავს მისი სხვა ერთი ლოგარითმის სახით ჩაწერას.
მოდით, გამოვიყენოთ ხარისხის წესი 4log5(2)4\log_5(2)–ის გასაერთიანებლად,
როცა ლოგარითმულ გამოსახულებას ვაერთიანებთ ხარისხის წესის გამოყენებით, მამრავლებს ვაქცევთ ხარისხებად.
4log5(2)=log5(24)  ხარისხის წესი=log5(16)\begin{aligned}\maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)~~&&\small{\gray{\text{ხარისხის წესი}}}\\ \\ &=\log_5(16)\\ \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

რთული ამოცანები

შემდეგი მაგალითების ამოსახსნელად თითოეულ შემთხვევაში რამდენიმე თვისების გამოყენება მოგიწევთ. სცადეთ!
იტვირთება