ლოგარითმის თვისებების დამტკიცება

$\large\log_b(b^c)=c$log, start base, b, end base, left parenthesis, b, start superscript, c, end superscript, right parenthesis, equals, c

$\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ და} 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{რადგანაც $2=\log_2(4)$ და $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{ჩასმა}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{ჩასმა}}} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{ჩასმა}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{ჩასმა}}} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{ჩანაცვლება}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{ხარისხის თვისებები}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{ჩანაცვლება}}}\\ \\ &=p\cdot \log_b(M)&&\small{\gray{\text{გამრავლება გადანაცვლებადია}}} \end{aligned}$