შეისწავლეთ ლოგარითმის თვისებების დამტკიცებები: ნამრავლის წესი, განაყოფის წესი და ხარისხის წესი.
ამ გაკვეთილში დავამტკიცებთ ლოგარითმის სამ თვისებას: ნამრავლის წესი, განაყოფის წესი და ხარისხის წესი. დაწყებამდე გავიხსენოთ სასარგებლო ფაქტი, რომელიც გზადაგზა დაგვეხმარება.
logb(bc)=c\large\log_b(b^c)=c
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ლოგარითმი bb ფუძით აბრუნებს bb-ფუძიანი ხარისხის ეფექტს!
შემდგომი დამტკიცებების კითხვისას ეს გაითვალისწინეთ.

ნამრავლის წესი: logb(MN)=logb(M)+logb(N) \log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)

მოდით, დავიწყოთ წესის კონკრეტული მაგალითის დამტკიცება — მაგალითი, როცა M=4M=4, N=8N=8 და b=2b=2.
ამ მნიშვნელობების logb(MN)\log_b(MN)–ში ჩასმით ვხედავთ, რომ:
log2(48)=log2(2223)22=4 და23=8=log2(22+3)aman=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8)რადგანაც  და 2=log2(4)3=log2(8)\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ და} 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{რადგანაც $2=\log_2(4)$ და $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
ანუ მივიღებთ, რომ log2(48)=log2(4)+log2(8)\log_2({4\cdot 8})=\log_2(4)+\log_2(8).
მიუხედავად იმისა, რომ ეს მხოლოდ ერთ მაგალითს ამტკიცებს, ამ ლოგიკას შეგვიძლია, მივყვეთ, რომ ზოგადად დავამტკიოთ ნამრავლის წესი.
ყურადღება მიაქციეთ, რომ 44–ისა და 88–ის 22–ის ხარისხების სახით წარმოდგენამ მიგვიყვანა დამტკიცებამდე. ასე რომ, ზოგადად, გვინდა, MM და NN იყოს ხარისხები bb ფუძით. ამის გასაკეთებლად შეგვიძლია, დავუშვათ, რომ M=bxM=b^x და N=byN=b^y რაიმე xx და yy ნამდვილი რიცხვისათვის.
განსაზღვრების თანახმად ჭეშმარიტია, რომ logb(M)=x\log_b(M)=x და logb(N)=y\log_b(N)=y.
ახლა ჩვენ გვაქვს:
logb(MN)=logb(bxby)ჩასმა=logb(bx+y)ხარისხების თვისებები=x+ylogb(bc)=c=logb(M)+logb(N)ჩასმა\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{ჩასმა}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{ჩასმა}}} \end{aligned}

განაყოფების წესი: logb(MN)=logb(M)logb(N) \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)

ამ თვისების დამტკიცება ზემოთ გამოყენებული მეთოდის მსგავსია.
ისევ, თუ დავუშვებთ, რომ M=bxM=b^x და N=byN=b^y, გამოვა, რომ logb(M)=x\log_b(M)=x და logb(N)=y\log_b(N)=y.
ახლა განაყოფის წესი შეგვიძლია, დავამტკიცოთ შემდეგნაირად:
logb(MN)=logb(bxby)ჩასმა=logb(bxy)ხარისხების თვისებები=xylogb(bc)=c=logb(M)logb(N)ჩასმა\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{ჩასმა}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{ჩასმა}}} \end{aligned}

ხარისხების წესი: logb(Mp)=plogb(M) \log_b(M^p)=p\log_b(M)

ამ შემთხვევაში თვისებაში მხოლოდ MM ურევია და შესაბამისად, M=bxM=b^x–ის დაშვება საკმარისია, საიდანაც ვიღებთ, რომ logb(M)=x\log_b(M)=x.
ხარისხის წესის დამტკიცება ნაჩვენებია ქვემოთ.
logb(Mp)=logb((bx)p)ჩანაცვლება=logb(bxp)ხარისხის თვისებები=xplogb(bc)=c=logb(M)pჩანაცვლება=plogb(M)გამრავლება გადანაცვლებადია\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{ჩანაცვლება}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{ხარისხის თვისებები}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{ჩანაცვლება}}}\\ \\ &=p\cdot \log_b(M)&&\small{\gray{\text{გამრავლება გადანაცვლებადია}}} \end{aligned}
სხვაგვარად ეს თვისება შეგვიძლია, დავამტკიცოთ ნამრავლის წესის გამოყენებით.
მაგალითად, ვიცით, რომ logb(Mp)=logb(MM...M)\log_b(M^p)=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M), სადაც MM მრავლდება საკუთარ თავზე pp-ჯერ.
ახლა შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ნამრავლის წესი და ნამრავლის, როგორც განმეორებადი შეკრების, განსაზღვრება, რომ დავასრულოთ დამტკიცება. ეს ნაჩვენებია ქვემოთ.
logb(Mp)=logb(MM...M)ხარისხების განმარტება=logb(M)+logb(M)+...+logb(M)ნამრავლის წესი=plogb(M)განმეორებითი შეკრება გამრავლებაა\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M)&&\small{\gray{\text{ხარისხების განმარტება}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{ნამრავლის წესი}}}\\\\ &= p\cdot \log_b(M) &&\small{\gray{\text{განმეორებითი შეკრება გამრავლებაა}}}\end{aligned}
მაშ ასე! თქვენ დაამტკიცეთ ლოგარითმის სამი თვისება!
იტვირთება