მაგალითი: დახრილობა ორი წერტილის მიხედვით

იპოვეთ იმ წრფის დახრა, რომელიც კვეთს კოორდინატებს (4, 2) და (-3, 16). შეგახსენებთ, დახრა არის ზრდის და სვლის შეფარდება ზრდად ჩათვალეთ ცვლელბად y-ში სვლაში ცვლილება x-ში. ეს სამკუთხედი, რომელიც ნიშნავს დელტას პირდაპირი მნიშვნელობით ნიშნავს ცვლიებას. შეიძლება ამ ფორმულის დანახვისას იფიქროთ, რომ ძალიან რთულია, უბრალოდ დაიმახსოვრეთ რომ ეს უბრალოდ აი ამ ორ რამეს ნიშნავს ხანდახან დახრა იქნება მოცემული ცვლადი m-ის სახით. და მოცემული იქნება, რომ m უდრის -- და ეს იგივეა, რაც ცვლილება y-ში-- დაწერენ მეორე y გამოკლებული პირველი y შეფარდებული მეორე x გამოკლებული პირეველი x. მსგავსი ჩანაწერი შეიძლება რთული მოგეჩვენოთ თუმცა ეს უბრალოდ ნიშნავს, რომ უნდა აიღოღ y-ის მნიშვნლობა ბოლოში და გამოაკლოთ მას y-ის მნიშვნელობა დასაწყისში. და საბოლოოდ მიიღებთ ცვლილებას y-ში. შემდგომ იღებთ x მნიშვნელობის საბოლოო წერტილს და აკლებთ x მნიშვნელობის დასაწყის წეტილს და იღებთ ცვლილებას x-ში. რომელი გზაც არ უნდა გაგიადვილდეთ, მოდით ამოვხსნათ, რას უდრის იმ წრფის დახრა, რომელიც გადის ამ ორ წერტილზე. ჩვენ დავიწყებთ --ჩვენ ორივე მეთოდით გავაკეთებთ -- შეგვიძლია ამ წერტილიდან ამ წერტილზე გადასვლით დავთვალოთ დახრა ან ამ ორი წერტილის გამოყენებით დავთვალოთ დახრა. ორივენაირად გავაკეთოთ. დავიწყოოთ აი ამ წერტილიდან ოთხი და ორი და საბოლოო წერტილი იქნება უარყოფითი სამი და 16. რას უდრის ცვლილება x-ში? ამ შემთხვევაში რა იქნება ცვლილება x-ში ჩვენ გადავდივართ ოთხიდან უარყოფით სამამდე. თუ რაიმე გადადის ოთხიდან უარყოფით სამამდე, რას უდრის ცვლილება? ნულამდე უნდა ჩახვიდეთ ოთხით და კიდევ სამი მონაკვეთი უნდა გაიაროთ უარყოფით სამამდე შესაბამისად ჩვენი ცვლილება უარყოფით შვიდს უდრის. მოდით აი ასე დავწერ ჩვენი ცვლილება x-ში უდრის უარყოფით სამს გამოკლებული ოთხი რაც უდრის უარყოფით შვიდს. ოთხიდან გადავედი უარყოფით სამსმდე, ქვევით ჩავედი შვიდი დანაყოფით ჩვენი ცვლილება უარყოფითი შვიდის ტოლია. მოდით გავაკეთოთ იგივე y-ის ცვლილებისათვის. ყურადღება მიაქციეთ, მე ირიბად ვიყენებ აი ამ ფორმულას ჩვენი ცვლილება x-ში არის საბოლოო წერტილი x-ის საბოლოო წერტილს გამოკლებული x-ის საწყისი მნიშვნელობა მოდით, იგივე გავაკეთოთ y-ის ჩვლილების დასათვლელად. ცვლილება ჩვენს y-ში თუ ვიწყებთ ორზე და ვამთავრებთ 16-ზე გადავაადგილდებით 14-ით. სხვანაირად რომ ვთქვათ, შეგვიძლია ავიღოთ y-ის საბოლოო მნიშვნელობა და გამოვაკლოთ მას y-ის საწყისი მნიშვნელობა და მივიღებთ 14-ს. რას უდრის დახრა? დახრა არის y-ის ცვლილებას შეფარდებული x-ის ცვლილება ესეიგი, დახრა არის ცვლილება y-ში შეფარდებული ცვლილებასთან x-ში. რაც უდრის, ჩვენიცვლილება y-ში არის 14 ხოლო ცვლილება x-ში არის უარყოფითი შვიდი. გავამარტივოთ, 14 გაყოფილი უაროფით შვიდზე უდრის უარყოფით ორს. ახლა კი მინდა გაჩვენოთ, რომ ამის გაკეთება სხვანაირადაც შეიძლებოდა. ჩვენ შეგვეძლო ეს გაგვეხადა დასაწყის წერტილად ეს კი საბოლოოდ ორივეგან მივიღებდით უარყოფით მნიშვნელობებს, თუმცა ისინი საბოლოოდ გაბადილთებოდნენ და მივიღებდით უარყოფით ორს. ვცადოთ, ვთქვათ ჩვენი დასაწყისი წერტილი არის უარყოფითი სამი და 16, ხოლო საბოლოო წერტილი ოთხი და ორი. რას უდრის ცვლილება x-ში? ჩვენი ცვლილება x-ში. თუ მე ვიწყებ უარყოფით სამზე და მივდივარ ოთხამდე, ესეიგი გავდივარ შვიდ წერტილს. თუ გინდათ ამის დათვლა ოთხს უნდა გამოაკლოთ უარყოფითი სამი. არაა საჭირო იმის თქმა, რომ ჩვენ შვიდი წერტილით ავიწიეთ. ხოლო ცვლილება y-ში არის ჩვენი ცვლილება y-ში ანუ ჩვენი ასვლა თუ დავიწყეთ 16 და დავამთავრეთ ორზე, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ჩამოვედით ქვევით 14-ით. ანუ ორს გამოკლებული 16 უდრის უარყოფით 14-ს. ჩვენ ჩამოვედით ქვევით 14-ით. რომ ვთქვათ ზრდა შეფარდებული სვლასთან ეს იქნება იგივე, რაც y-ის ცვლილება შეფარდებული x-ის ცვლილებასთან. ჩვენი ზრდა უდრის უარყოფით 14-ს ხოლო სვლა შვიდს. შეამჩნიეთ, ეს არის იგივე მნიშვნელობები, უბრალოდ ნიშანშეცვლილები. კიდევ ერთხელ, ეს უდრის უარყოფით ორს. მოდით ზარმოსახვითი გავხადოთ ეს -- სწრაფად ავაგებ გრაფიკს, რომ გაჩვენოთ როგორ გამოიყურება ეს დახრა. მოდით დავხაზავ წერტილებს ეს არის ჩემი x აქსისი ეს კი y აქსისი. აი ეს წერტილი, ოთხი და ორი, დავხაზავმას ჩვენ უნდა ავიდეთ 16-მდე, რაღც მანძილს გამოვტოვებ ჩვენ გვაქვს 1, 2, 3, 4 ეს არის ოთხი და 1, 2. ესეიგი ოთხი და ორი არის აი აქ. კიდევ გვაქვს წერტილი უარყოფითი სამი და 16. მოდით ამას აქ დავხატავ. გვაქვს 1, 2, 3 უნდა ავიდეთ 16-მდე. ეს იქნება 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 13, 14, 15, 16 ადის აი აქ ეს არის უარყოფითი სამი და 16. წრფე, რომელიც მათ კვეთს, იქნება აი ასეთი. ძალიან შევეცდები, მიახლოებით მაინც სწორი ხაზი დავხატო ეს წრფე გაგრძელდება. ჩემი საუკეთესო მცდელობაა. დააკვირდით, იგი დაღმავალია -- როდესაც იზრდება x ქრფე ქვევით ჩადის. ზედა მარცხენა კუთხიდან ქვედა მარჯვენა კუთხისკენ მიდის x-ის ზრდასთან y მცირდება. ასე გამოიყურება დახმავალი დახრა. იმისათვის რომ უკეთ დაინახოთ ცვლილება x-ში და ცვლილება y-ში, რომელიც აქ დავთვალეთ, როდესაც დავიწყეთ ოთხსა და ორზე და დავასრულეთ უარყოფით სამსა და 16-ზე. ეს იყო იგივე, რაც აი აქ დაწყება და აი აქ დასრულება და ჩვნე ვთქვით, რომ ჩვენი ცვლილებაუარყოფითი შვიდის ტოლია ჩვენ უკან უნდა დაგვეხია, უნდა გადავადგილდეთ მარცხნივ შვიდი წერტილით. ამიტომ იყო იგი უარყოფითი შვიდის ტოლი. და შემდგომ უნდა გადავაადგილდეთ y-მიმართულებით 14 წერტილით ამიტომ იყო ჩვენი ზრდა დადებითი რიცხვი, ესეიგი ეს არის 14 შეფარდებული უარყოფით შვიდთან, ანუ უარყოფითი ორი. მეორეჯერ, რომ გავაკეთეთ აი აქ დავიწყეთ და აქ დავამთავრეთ. დავიწყეთ უარყოფით სამსა და 16-ზე და დავამთავრეთ ამ წერტილზე. ამ შემთზვევაში ჩვენი სვლა იყო დადებითი შვიდის ტოლი. ახლა კი მოგვიწია ქვევით დაწევა y-მიმართულებით, რადგან შევცვალეთ დასაწყისი და დასასრულის წერტილები. და მოგვიწია ქვევით ჩასვლა უარყოფითი 14-ით სვლა იყო დადებით შვიდი ხოლო ზრდა უარყოფითი 14 ყოველივე შემთხვევაში მივიღეთ ერთნაირი დახრა.