ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა I > თემა 8

გაკვეთილი 1: არითმეტიკული პროგრესიების შესავალი

რა არის არითმეტიკული პროგრესიის ფორმულები

გაერკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი წევრისა და რეკურსიული ფორმულების საწყისებში.

ამ გაკვეთილის დაწყებამდე დარწმუნდით, რომ იცით არითმეტიკული პროგრესიის საფუძვლები და გაქვთ ფუნქციების გამოთვლის და ფუნქციის განსაზღვრის არის პოვნის გამოცდილება.

რა არის ფორმულა?

ჩვენ მიჩვეულები ვართ არითმეტიკული პროგრესიის შემდეგნაირ აღწერას:

3, 5, 7, …

მაგრამ არსებობს კიდევ სხვა გზებიც. ამ გაკვეთილში ვისწავლით არითმეტიკული პროგრესიის გამოსახვის ორ ახალ გზას: რეკურსიულ ფორმულას და ზოგადი წევრის ფორმულას. ფორმულები გვიკარნახებს, როგორ ვიპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი.

ზოგადად, ფორმულები იყენებენ

n

-ს მიმდევრობის ნებისმიერი წევრის ნომრის გამოსახატავად და

a (n)

-ს -

n

-ური წევრის გამოსახატავად. მაგალითად, განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი რამდენიმე წევრი: 3, 5, 7, ...

$n$ ‍	$a (n)$ ‍
(წევრის ნომერი)	( $n$ ‍-ური წევრი)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

ზემოთ ვახსენეთ, რომ ფორმულები გვკარნახობს, როგორ ვიპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი. ახლა შეგვიძლია, ეს შემდეგნაირად ჩამოვაყალიბოთ: ფორმულები გვეუბნება, როგორ ვიპოვოთ $a (n)$ ‍ ნებისმიერი შესაძლო $n$ ‍-ისთვის.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) იპოვეთ $a (4)$ ‍ შემდეგ მიმდევრობაში: 3,5,7, ...

a (4) =

a (4)

არის 3, 5, 7, ... მიმდევრობის მეოთხე წევრი.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3$ ‍		$5$ ‍		$7$ ‍		$9$ ‍
$a (1)$ ‍		$a (2)$ ‍		$a (3)$ ‍		$a (4)$ ‍

აქედან გამომდინარე, $a (4) = 9$ ‍.

2) მიმდევრობის ნებისმიერი წევრის $n$ ‍ ნომრისთვის, რას გამოხატავს $a (n - 1)$ ‍?

შევხედოთ

n

-ის რამდენიმე კონკრეტულ მნიშვნელობას:

$n$ ‍	$a (n - 1)$ ‍	$a (n - 1)$ ‍-ის განმარტება
$2$ ‍	$a (2 - 1) = a (1)$ ‍	პირველი წევრი, რომელიც არის $a (2)$ ‍-ის წინა წევრი
$3$ ‍	$a (3 - 1) = a (2)$ ‍	მეორე წევრი, რომელიც არის $a (3)$ ‍-ის წინა წევრი.
$4$ ‍	$a (4 - 1) = a (3)$ ‍	მესამე წევრი, რომელიც არის $a (4)$ ‍-ის წინა წევრი

ზოგადად, ვხედავთ, რომ $a (n - 1)$ ‍ არის წევრი, რომელიც დგას $a (n)$ ‍ წევრის წინ.

არითმეტიკული პროგრესიის რეკურსიული ფორმულები

რეკურსიული ფორმულა გვაძლევს ორი სახის ინფორმაციას:

მიმდევრობის პირველი წევრი
მიმდევრობის ნებისმიერი წევრის პოვნის წესი მის წინ მდგომი წევრის საშუალებით

აქ მოყვანილია რეკურსიული ფორმულა თითოეული ნაწილის განმარტებასთან ერთად 3, 5, 7, ... მიმდევრობისთვის.

{\begin{cases} a (1) = 3 & \leftarrow პირველი წევრია სამი. \\ a (n) = a (n - 1) + 2 & \leftarrow წინა წევრს დაუმატეთ ორი. \end{cases}

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მეხუთე წევრი, მაგალითად, ჩვენ უნდა განვავრცოთ მიმდევრობა თითო-თითო წევრით:

$a (n)$ ‍	$= a (n - 1) + 2$ ‍
$a (1)$ ‍			$= 3$ ‍
$a (2)$ ‍	$= a (1) + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a (3)$ ‍	$= a (2) + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a (4)$ ‍	$= a (3) + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a (5)$ ‍	$= a (4) + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

მაგარია! ეს ფორმულა გვაძლევს იმავე მიმდევრობას, რომელსაც 3, 5, 7, ... ფორმით ჩაწერისას ვიღებდით.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ახლა თქვენი ჯერია, იპოვოთ მიმდევრობის წევრები რეკურსიული ფორმულის გამოყენებით.

ზუსტად ისე, როგორც გამოვიყენეთ

a (n)

3, 5, 7, ..., მიმდევრობის

n

-ური წევრის გამოსახატავად, შეგვიძლია, გამოვიყენოთ სხვა ასოები სხვა მიმდევრობების აღსაწერად. მაგალითად, შეგვიძლია, გამოვიყენოთ

b (n)

c (n)

ან

d (n)

3) იპოვეთ $b (4)$ ‍ მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით:

{\begin{cases} b (1) = - 5 \\ b (n) = b (n - 1) + 9 \end{cases}

b (4) =

ამ ფორმულის აზრი სიტყვებით შეგვიძლია, შემდეგნაირად გადმოვცეთ:

პირველი წევრია მინუს ხუთი და ნებისმიერი სხვა წევრი უდრის მის წინა წევრს დამატებული ცხრა.

b (4)

-ის საპოვნელად წევრ-წევრად უნდა გავაგრძელოთ მიმდევრობა:

$b (n)$ ‍	$= b (n - 1) + 9$ ‍
$b (1)$ ‍			$= - 5$ ‍
$b (2)$ ‍	$= b (1) + 9$ ‍	$= - 5 + 9$ ‍	$= 4$ ‍
$b (3)$ ‍	$= b (2) + 9$ ‍	$= 4 + 9$ ‍	$= 13$ ‍
$b (4)$ ‍	$= b (3) + 9$ ‍	$= 13 + 9$ ‍	$= 22$ ‍

აქედან გამომდინარე, $b (4) = 22$ ‍.

4)იპოვეთ $c (3)$ ‍ მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით:

{\begin{cases} c (1) = 20 \\ c (n) = c (n - 1) - 17 \end{cases}

c (3) =

ამ ფორმულის აზრი სიტყვებით შეგვიძლია, შემდეგნაირად გადმოვცეთ:

პირველი წევრია $20$ ‍ და სხვა ნებისმიერი წევრი უდრის მის წინა წევრს გამოკლებული $17$ ‍.

c (3)

-ის საპოვნელად წევრ-წევრად უნდა გავავგრძელოთ მიმდევრობა:

$c (n)$ ‍	$= c (n - 1) - 17$ ‍
$c (1)$ ‍			$= 20$ ‍
$c (2)$ ‍	$= c (1) - 17$ ‍	$= 20 - 17$ ‍	$= 3$ ‍
$c (3)$ ‍	$= c (2) - 17$ ‍	$= 3 - 17$ ‍	$= - 14$ ‍

აქედან გამომდინარე, $c (3) = - 14$ ‍.

5) იპოვეთ $d (5)$ ‍ მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით:

{\begin{cases} d (1) = 2 \\ d (n) = d (n - 1) + 0, 4 \end{cases}

d (5) =

ამ ფორმულის აზრი სიტყვებით შეგვიძლია, შემდეგნაირად გადმოვცეთ:

პირველი წევრია ორი და სხვა ნებისმიერი წევრი უდრის მის წინა წევრს დამატებული $0, 4$ ‍.

d (5)

-ის საპოვნელად წევრ-წევრად უნდა გავაგრძელოთ მიმდევრობა:

$d (n)$ ‍	$= d (n - 1) + 0, 4$ ‍
$d (1)$ ‍			$= 2$ ‍
$d (2)$ ‍	$= d (1) + 0, 4$ ‍	$= 2 + 0, 4$ ‍	$= 2, 4$ ‍
$d (3)$ ‍	$= d (2) + 0, 4$ ‍	$= 2, 4 + 0, 4$ ‍	$= 2, 8$ ‍
$d (4)$ ‍	$= d (3) + 0, 4$ ‍	$= 2, 8 + 0, 4$ ‍	$= 3, 2$ ‍
$d (5)$ ‍	$= d (4) + 0, 4$ ‍	$= 3, 2 + 0, 4$ ‍	$= 3, 6$ ‍

აქედან გამომდინარე, $d (5) = 3, 6$ ‍.

არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი წევრის ფორმულები

აქ მოყვანილია 3, 5, 7, ... მიმდევრობის ზოგადი წევრის ფორმულა

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

ამ ფორმულაში შეგვიძლია, უბრალოდ ჩავსვათ იმ წევრის ნომერი, რომლის მნიშვნელობის პოვნაც გვინდა.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მეხუთე წევრი, მაგალითად, ჩვენ უნდა ჩავსვათ

n = 5

ზოგადი წევრის ფორმულაში.

\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

აი! იგივე შედეგი მივიღეთ, რაც მანამდე გვქონდა მიღებული!

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

6) იპოვეთ $b (10)$ ‍ მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით: $b (n) = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍.

b (10) =

7) იპოვეთ $c (8)$ ‍ მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით: $c (n) = 20 - 17 (n - 1)$ ‍.

c (8) =

8) იპოვეთ $d (21)$ ‍ i მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით: $d (n) = 2 + 0, 4 (n - 1)$ ‍.

d (21) =

მიმდევრობები არის ფუნქციები

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ამ გაკვეთილში გამოყენებული ფორმულები ფუნქციებივით მოქმედებენ. ჩვენ შეგვაქვს წევრის

n

ნომერი და ფორმულა გვიბრუნებს ამ წევრის

a (n)

მნიშვნელობას.

მიმდევრობები, მართლაც, ფუნქციებია, თუმცა

n

არ შეიძლება, იყოს ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი, რადგან არ არსებობს მიმდევრობის მინუს მეხუთე წევრი ან მე-0,4 წევრი.

ეს ნიშნავს, რომ მიმდევრობების განსაზღვრის არე - რაც არის ფუნქციის ყველა შესაძლო არგუმენტთა სიმრავლე - დადებითი მთელი რიცხვებია.

მინიშნება ჩანაწერზე

ჩვენ ვწერდით

a (4)

-ს, მაგალითად, მეოთხე წევრის გამოსახატავად, მაგრამ სხვა წყაროებში ხანდახან წერენ ასეც:

a_{4}

ორივე ჩანაწერის გამოყენება შეიძლება. ჩვენ

a (4)

გვირჩევნია, რადგან ის კარგად აჩვენებს, რომ მიმდევრობები განტოლებებია.

დასაფიქრებელი შეკითხვა

9) რომელი ტიპის ფორმულაა უფრო მოსახერხებელი არითმეტიკული პროგრესიის მე-100 წევრის სწრაფად საპოვნელად?

მე-100 წევრის რეკურსიული ფორმულის გამოყენებით საპოვნელად მოგვიწევს, წევრ-წევრად გავშალოთ მიმდევრობა მანამ, სანამ არ მივალთ 100-მდე. ეს ძალიან დიდ დროს წაიღებს!

ზოგადი წევრის ფორმულის გამოყენებით მე-100 წევრის საპოვნელად

n = 100

უნდა ჩავსვათ ფორმულაში და გამოვითვალოთ. ეს არ წაიღებს იმაზე მეტ დროს, ვიდრე მეორე წევრის ან თუნდაც მე-1000 წევრის მოძებნა.

რომ შევაჯამოთ, არითმეტიკული პროგრესიის მე-100 წევრის საპოვნელად ზოგადი წევრის ფორმულა უფრო მოსახერხებელია.

რთული ამოცანა

10) არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი წევრის ფორმულა არის

f (n) = 3 - 4 (n - 1)

მიმდევრობის რომელი წევრია -65?

წევრის რიგითი ნომერი

ფორმულაში წევრის რიგითი ნომერი გამოსახულია

n

-ით და წევრის სიდიდე გამოსახულია

f (n)

-ის სახით.

ამ შემთხვევაში ვიცით

f (n)

-ის მნიშვნელობა და გვინდა, ვიპოვოთ

n

. ამისთვის საჭიროა განტოლების ამოხსნა.

$\begin{aligned} f (n) & = 3 - 4 (n - 1) \\ - 65 & = 3 - 4 (n - 1) & Substitute f (n) = - 65. \\ 4 (n - 1) & = 68 \\ n - 1 & = 17 \\ n & = 18 \end{aligned}$ ‍

მივიღეთ, რომ -65 არის მე-18 წევრი.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.