If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა I

თემა 8: გაკვეთილი 1

არითმეტიკული პროგრესიების შესავალი

რა არის არითმეტიკული პროგრესიის ფორმულები

გაერკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი წევრისა და რეკურსიული ფორმულების საწყისებში.
ამ გაკვეთილის დაწყებამდე დარწმუნდით, რომ იცით არითმეტიკული პროგრესიის საფუძვლები და გაქვთ ფუნქციების გამოთვლის და ფუნქციის განსაზღვრის არის პოვნის გამოცდილება.

რა არის ფორმულა?

ჩვენ მიჩვეულები ვართ არითმეტიკული პროგრესიის შემდეგნაირ აღწერას:
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
მაგრამ არსებობს კიდევ სხვა გზებიც. ამ გაკვეთილში ვისწავლით არითმეტიკული პროგრესიის გამოსახვის ორ ახალ გზას: რეკურსიულ ფორმულას და ზოგადი წევრის ფორმულას. ფორმულები გვიკარნახებს, როგორ ვიპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი.
ზოგადად, ფორმულები იყენებენ n-ს მიმდევრობის ნებისმიერი წევრის ნომრის გამოსახატავად და a, left parenthesis, n, right parenthesis-ს - n-ური წევრის გამოსახატავად. მაგალითად, განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი რამდენიმე წევრი: 3, 5, 7, ...
na, left parenthesis, n, right parenthesis
(წევრის ნომერი)(n-ური წევრი)
13
25
37
ზემოთ ვახსენეთ, რომ ფორმულები გვკარნახობს, როგორ ვიპოვოთ მიმდევრობის ნებისმიერი წევრი. ახლა შეგვიძლია, ეს შემდეგნაირად ჩამოვაყალიბოთ: ფორმულები გვეუბნება, როგორ ვიპოვოთ a, left parenthesis, n, right parenthesis ნებისმიერი შესაძლო n-ისთვის.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) იპოვეთ a, left parenthesis, 4, right parenthesis შემდეგ მიმდევრობაში: 3,5,7, ...
a, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) მიმდევრობის ნებისმიერი წევრის n ნომრისთვის, რას გამოხატავს a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესიის რეკურსიული ფორმულები

რეკურსიული ფორმულა გვაძლევს ორი სახის ინფორმაციას:
  1. მიმდევრობის პირველი წევრი
  2. მიმდევრობის ნებისმიერი წევრის პოვნის წესი მის წინ მდგომი წევრის საშუალებით
აქ მოყვანილია რეკურსიული ფორმულა თითოეული ნაწილის განმარტებასთან ერთად 3, 5, 7, ... მიმდევრობისთვის.
{a(1)=3პირველი წევრია სამი.a(n)=a(n1)+2წინა წევრს დაუმატეთ ორი.\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{პირველი წევრია სამი.}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{წინა წევრს დაუმატეთ ორი.}} \end{cases}
იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მეხუთე წევრი, მაგალითად, ჩვენ უნდა განვავრცოთ მიმდევრობა თითო-თითო წევრით:
a, left parenthesis, n, right parenthesisequals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
მაგარია! ეს ფორმულა გვაძლევს იმავე მიმდევრობას, რომელსაც 3, 5, 7, ... ფორმით ჩაწერისას ვიღებდით.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ახლა თქვენი ჯერია, იპოვოთ მიმდევრობის წევრები რეკურსიული ფორმულის გამოყენებით.
ზუსტად ისე, როგორც გამოვიყენეთ a, left parenthesis, n, right parenthesis 3, 5, 7, ..., მიმდევრობის n-ური წევრის გამოსახატავად, შეგვიძლია, გამოვიყენოთ სხვა ასოები სხვა მიმდევრობების აღსაწერად. მაგალითად, შეგვიძლია, გამოვიყენოთ b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis ან d, left parenthesis, n, right parenthesis.
3) იპოვეთ b, left parenthesis, 4, right parenthesis მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით: {b(1)=5b(n)=b(n1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}
b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4)იპოვეთ c, left parenthesis, 3, right parenthesis მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით: {c(1)=20c(n)=c(n1)17\begin{cases}c(1)=20\\\\ c(n)=c(n-1)-17 \end{cases}
c, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) იპოვეთ d, left parenthesis, 5, right parenthesis მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით: {d(1)=2d(n)=d(n1)+0,4\begin{cases}d(1)=2\\\\ d(n)=d(n-1)+0{,}4 \end{cases}
d, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი წევრის ფორმულები

აქ მოყვანილია 3, 5, 7, ... მიმდევრობის ზოგადი წევრის ფორმულა
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
ამ ფორმულაში შეგვიძლია, უბრალოდ ჩავსვათ იმ წევრის ნომერი, რომლის მნიშვნელობის პოვნაც გვინდა.
იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მეხუთე წევრი, მაგალითად, ჩვენ უნდა ჩავსვათ n, equals, 5 ზოგადი წევრის ფორმულაში.
a(5)=3+2(51)=3+24=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
აი! იგივე შედეგი მივიღეთ, რაც მანამდე გვქონდა მიღებული!

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

6) იპოვეთ b, left parenthesis, 10, right parenthesis მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით: b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) იპოვეთ c, left parenthesis, 8, right parenthesis მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით: c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
c, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) იპოვეთ d, left parenthesis, 21, right parenthesis i მიმდევრობაში, რომელიც მოცემულია ასეთი სახით: d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, plus, 0, comma, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
d, left parenthesis, 21, right parenthesis, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

მიმდევრობები არის ფუნქციები

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ამ გაკვეთილში გამოყენებული ფორმულები ფუნქციებივით მოქმედებენ. ჩვენ შეგვაქვს წევრის n ნომერი და ფორმულა გვიბრუნებს ამ წევრის a, left parenthesis, n, right parenthesis მნიშვნელობას.
მიმდევრობები, მართლაც, ფუნქციებია, თუმცა n არ შეიძლება, იყოს ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი, რადგან არ არსებობს მიმდევრობის მინუს მეხუთე წევრი ან მე-0,4 წევრი.
ეს ნიშნავს, რომ მიმდევრობების განსაზღვრის არე - რაც არის ფუნქციის ყველა შესაძლო არგუმენტთა სიმრავლე - დადებითი მთელი რიცხვებია.

მინიშნება ჩანაწერზე

ჩვენ ვწერდით a, left parenthesis, 4, right parenthesis-ს, მაგალითად, მეოთხე წევრის გამოსახატავად, მაგრამ სხვა წყაროებში ხანდახან წერენ ასეც: a, start subscript, 4, end subscript.
ორივე ჩანაწერის გამოყენება შეიძლება. ჩვენ a, left parenthesis, 4, right parenthesis გვირჩევნია, რადგან ის კარგად აჩვენებს, რომ მიმდევრობები განტოლებებია.

დასაფიქრებელი შეკითხვა

9) რომელი ტიპის ფორმულაა უფრო მოსახერხებელი არითმეტიკული პროგრესიის მე-100 წევრის სწრაფად საპოვნელად?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

რთული ამოცანა

10) არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი წევრის ფორმულა არის f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
მიმდევრობის რომელი წევრია -65?
წევრის რიგითი ნომერი
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.