ირაციონალური და რაციონალური რიცხვები: შესავალი

მოდით ვისაუბროთ რაციონალურ რიცხვებზე. ყველაზე მარტივი გზა, როგორც შემიძლია, რომ განვმარტო არის რომ ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც შეიძლება წარმოვადგინოთ, ორი მთელი რიცხვის შეფარდებით არის რაციონალური რიცხვი. მაგალითად, ნებისმიერი მთელი რიცხვი არის რაციონალური რიცხვი. მაგალითად ერთი შეგვიძლია წარმოვადგინოთ, როგორც ერთი შეფარდებული ერთთან. ასევე, როგორც მინუს ორი შეფარდებული მინუს ორთან. შეგვიძლია წარმოვადგინოთ, როგორც 10 000 შეფარდებული 10 000-თან და ასე შემდეგ. ანუ, ესენი არის განსხვავებული სახეები ორი მთელი რიცხვის შეფარდებით, როგორ წარმოვადგინოთ ერთი. და აშკარაა, რომ გვაქვს უსასრულო რაოდენობა ერთის ამგვარად გამოსახვის. რიცხვის იგივე რიცხვზე შეფარდებით შეგვიძლია ყოველთვის გამოვსახოთ ერთი. ავიღოთ მინუს შვიდი, მინუს შვიდი შეფარდებული ერთთან არის იგივე რაც შვიდი შეფარდებული მინუს ერთთან, შემდეგ მინუს 14 შეფარდებული ორთან და ასე შემდეგ. შეგვიძლია ეს განვაგრძოთ უსასრულოდ, ეს შეიძლება წარმოვადგინოთ, როგორც ორი მთელი რიცხვის შეფარდება და რა იქნება როცა რიცხვები არ არის მთელი? ვნახოთ ის შემთხვევა, როდესაც რიცხვები არ არის მთელი, მაგალითად როგორ წარმოვადგინოთ სამი მთელი 75, როგორ წარმოვადგინოთ ეს ორი მთელი რიცხვის შეფარდების სახით. სამი მთელი 75, შეგვიძლია დავწეროთ, როგორც 375 შეფარდებული 100-თან. ეს იგივეა რაც... შეგვიძლია ასევე დავწეროთ, როგორც 750 შეფარდებული 200-თან და კიდევ მრავალი სხვადასხვა გზა არსებობს. ეს იგივეა რაც, სამი მთელი სამი მეოთხედი. მოდი აქ ჩავწეროთ სამი მთელი სამი მეოთხედი. ასევე იგივეა, რაც 15 მეოთხედი. სამჯერ ოთხი — 12, პლუს სამი — 15; გვექნება 15 მეოთხედი, ანუ შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც 15 მეოთხედი. ასევე შეგვეძლო ჩაგვეწერა, როგორც მინუს 30 შეფარდებული მინუს რვასთან, ანუ ორივე გავამრავლეთ უარყოფითზე, ამიტომ არ შეიცვალა მნიშვნელობა. უფრო ნათელი, რომ იყოს მოდი კიდევ რამოდენიმე მაგალითი განვიხილოთ: მაგალითად ავიღოთ უსასრულო ათწილადები. მოდი, ყველაზე, ესეთი, მარტივი უსასრულო ათწილადი ავიღოთ. ესე იგი გვაქვს ნული მთელი 3, 3, 3, ანუ სულ მეორდება სამიანები. და შემდეგ მივუთითოთ ამ ხაზით, რა თქმა უნდა, რომ სამიანი სულ მეორდება. მოგვიანებით განახებთ, როგორ გადავაქციოთ ნებისმიერი უსასრულო ათწილადი ორი მთელი რიცხვის შეფარდებად. აშკარად ეს იქნება ერთი მესამედი. ან იქნება, გინახავთ, ნული მთელი ექვსის განმეორება, რაც არის იგივე რაც ორი მესამედი. კიდევ ბევრი მაგალითი არის ამის და ნებისმიერ უსასრულო ათწილადზე ასე მუშაობს. არა მხოლოდ ერთი ციფრის განმეორებით, 1 000 000 ციფრიც, რომ მეორდებოდეს, როცა იწყება განმეორება, ყოველთვის შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ორი მთელი რიცხვის შეფარდებად. ვიცი ალბათ, ფიქრობთ, რომ ყველაფერი ჩამოვწერე: ჩამოვწერე მთელი რიცხვებიც, ჩამოვწერე ეს უარყოფითი რიცხვიც, ათწილადიც, უსასრულო ათწილადიც, რაღა დარჩა? რაღა შეიძლება იყოს არარაციონალური? როგორი რიცხვები არის არარაციონალური? უსასრულო ათწილადებიც თუ რაციონალურია, რაღა დაგვრჩა? არის რიცხვები, რომლებიც არ არის რაციონალური, ალბათ ხვდებით, რომ მაშინ საერთოდ აღარ იწვალებდა ადამიანები რაციონალური რიცხვების გასარჩევად. მოდი აქ გადმოვიდეთ და ვნახოთ ეს არი ირაციონალური რიცხვები, რომლებიც არ არის რაციონალური. ეს არის, საკმაოდ ცნობილი რიცხვი არის რამოდენიმე, ხედავთ. ესენი არის ირაციონალური რიცხვები. და ძალიან ცოტა მათგანი არის ჩამოთვლილი, მხოლოდ, ესეთი, მნიშვნელოვანი მაგალითები ჩამოვთვალე. ეს არის ირაციონალური რიცხვები და ცოტა მათგანია ჩამოთვლილი, აი მაგალითად პი, რომელიც არის წრეწირის სიგრძის შეფარდება დიამეტრთან, რაც არის ირაციონალური რიცხვი. ის არასდროს არ მთავრდება და ასე მიდის უსასრულოდ და არასდროს არ მეორდება. მეორე შემთხვევაში გვაქვს მაგალითად ი, რომელიც ასევე არასდროს მთავრდება და არც მეორდება. ესე გრძელდება მუდმივად. შემდეგ არის კვადრატული ფესვი ორიდან, რაც ასევე ირაციონალური რიცხვია. და შემდეგ არის ოქროს შეფარდება, ირაციონალური რიცხვი. ეს ისეთი მაგალითებია, რომელიც ხშირად გვხვდება ბუნებაში, ბევრი რიცხვი არის ირაციონალური. ახლა, ალბათ ოთხი მაგალითით, ბევრი ვერაფერი ვერ დაინახეთ, ანუ კანონზომიერება და იტყვით, რომ ეს ალბათ, უმეტესობა რიცხვების რაციონალურია და არის უბრალოდ რამდენიმე გამონაკლისი. მაგრამ მნიშვნელოვანია, გაიაზროთ, რომ ძალიან ბევრი რიცხვი არის ირაციონალური. ძალიან იშვიათად არ გვხვდება. აღმოჩნდა, რომ ყოველთვის არის ირაციონალური რიცხვი ორ რაციონალურ რიცხვს შორის. ნებისმიერი ორი რაციონალური რიცხვი, რომ აიღოთ, მათ შორის აუცილებლად იქნება, ერთი მაინც ირაციონალური. მოდი ავიღოთ პატარა რიცხვთა ღერძი და გამოვსახოთ, რომ თუ ავიღებთ ორ რაციონალურ რიცხვს, მათ შორის აუცილებლად იქნება ერთი ირაციონალური მაინც. ეს არის მკაფიო შედეგი, რადგან ირაციონალური რიცხვები უფრო ეგზოტიკურია. მეორე გზა ამაზე საფიქრალად, არის რომ კვადრატული ფესვი ამოვიღოთ ორიდან. თუმცა კვადრატული ფესვის ამოღება ნებისმიერი არაიდეალური კვადრატიდან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ არის ირაციონალური რიცხვი. ნებისმიერი არასრული კვადრატისგან ამოღებული ფესვი ყოველთვის იქნება ირაციონალური რიცხვი. და როდესაც ირაციონალურს ვამრავლებთ რაიმე რიცხვზე, შედეგი აუცილებლად ირაციონალურია. (სუბტიტრები შექმნილია ნინი კონცელიძის დახმარებით)