კვადრატული განტოლებების ამოხსნა კვადრატის დასრულების საშუალებით

მაგალითად, ამოხსენით x²+6x=-2, რისთვისაც გადააქციეთ (x+3)²=7 გამოსახულებად და შემდეგ ამოიღეთ კვადარტული ფესვი.

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

აქამდე კვადრატულ განტოლებებს ხსნიდით კვადრატული ფესვის ამოღებით ან მამრავლებად დაშლის მეთოდით. ეს მეთოდები შედარებით მარტივი და ეფექტურია, როცა მათი გამოყენება შეიძლება. სამწუხაროდ, მათ ყოველთვის ვერ ვიყენებთ.
ამ გაკვეთილში ისწავლით მეთოდს, რომლის საშუალებითაც ამოხსნით ნებისმიერი სახის კვადრატულ განტოლებას.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნა კვადრატის დასრულების საშუალებით

განვიხილოთ განტოლება x2+6x=2x^2+6x=-2. ამ განტოლებისთვის კვადრატული ფესვისა და მამრავლებად დაშლის მეთოდებს ვერ გამოვიყენებთ.
მაგრამ იმედი არ დავკარგოთ! ჩვენ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ მეთოდი, რომელსაც ეწოდება სრულ კვადრატამდე შევსება. დავიწყოთ ამოხსნა და შემდეგ უფრო დაწვრილებით მიმოვიხილოთ.
(1)x2+6x=2(2)x2+6x+9=7დავუმატოთ 9, ანუ, შევავსოთ სრულ კვადრატამდე.(3)(x+3)2=7გამოსახულება მარცხენა მხარეს დავშალოთ მამრავლებად.(4)(x+3)2=±7ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი.(5)x+3=±7(6)x=±73გამოვაკლოთ 3.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{დავუმატოთ 9, ანუ, შევავსოთ სრულ კვადრატამდე.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{გამოსახულება მარცხენა მხარეს დავშალოთ მამრავლებად.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{გამოვაკლოთ 3.}\end{aligned}
გამოდის, რომ ამონახსნებია x=73x=\sqrt{7}-3 და x=73x=-\sqrt{7}-3.

რა მოხდა აქ?

მე-(2)\blueD{(2)} პუნქტში x2+6xx^2+6x-ზე 99-ის დამატებით გაგვიმართლა და გამოსახულება სრული კვადრატი გამოვიდა, რომელიც შეიძლება, მამრავლებად ასე დაიშალოს: (x+3)2(x+3)^2.
რა თქმა უნდა, ეს არ იყო დამთხვევა. რიცხვი 99 სპეციალურად შეირჩა, რათა გამოსახულებას სრული კვადრატის სახე მიეღო.

როგორ შევავსოთ გამოსახულება სრულ კვადრატამდე

იმისათვის, რომ მივხვდეთ, რატომ ავირჩიეთ 99, საკუთარ თავს უნდა ვკითხოთ: თუ x2+6xx^2+6x სრული კვადრატის გამოსახულების დასაწყისია, რა უნდა იყოს მუდმივი წევრი?
ვივარაუდოთ, რომ გამოსახულება შეიძლება დაიშალოს, როგორც სრული კვადრატი (x+a)2(x+a)^2, სადაც მუდმივი წევრი იქნება aa, რომელიც ისევ უცნობია. ეს გამოსახულება განივრცობა x2+2ax+a2x^2+2ax+a^2-ის სახით, რაც გვეუბნება ორ რამეს:
  1. xx კოეფიციენტი, რომელიც, ვიცით, რომ არის 66, უნდა იყოს 2a2a-ს ტოლი. ეს იმას ნიშნავს, რომ a=3a=3.
  1. მუდმივი რიცხვი, რომელიც უნდა დავუმატოთ, უდრის a2a^2-ს, რაც არის 32=93^2=9.
თქვენით სცადეთ რამდემინე კვადრატის დასრულება.

გამოწვევის კითხვა

ეს კითხვა სრულ კვადრატამდე შევსების სწრაფ მეთოდს გვაძლევს მათ, ვისაც მოგვწონს სწრაფი მეთოდები და დაზეპირებასთან არაფერი გვაქვს საწინააღმდეგო. ის გვაჩვენებს, რომ x2+bxx^2+bx - ის სრულ კვადრატამდე შესავსებად, სადაც bb ნებისმიერი რიცხვია, ამ გამოსახულებას უნდა დავუმატოთ(b2)2\left(\dfrac{b}{2}\right)^2.
მაგალითად, x2+6xx^2+\blueD{6}x რომ იყოს სრული კვადრატი, მას უნდა დავუმატოთ (62)2=9\left(\dfrac{\blueD{6}}{2}\right)^2=9.

განტოლებების კიდევ ერთხელ ამოხსნა

კარგი! ახლა, როცა უკვე სერტიფიცირებული სრულ კვადრატამდე შემვსებელი ხართ, დავუბრუნდეთ განტოლებების ამოხსნას ჩვენი მეთოდით.
შევხედოთ ახალ მაგალითს, განტოლებას x210x=12x^2-10x=-12.
(1)x210x=12(2)x210x+25=13დაუმატეთ 25, სრული კვადრატის შევსება.(3)(x5)2=13დაშალეთ მარცხნივ მდგომი გამოსახულება.(4)(x5)2=±13ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.(5)x5=±13(6)x=±13+5დაუმატეთ 5.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{დაუმატეთ 25, სრული კვადრატის შევსება.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{დაშალეთ მარცხნივ მდგომი გამოსახულება.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{დაუმატეთ 5.}\end{aligned}
მარცხენა მხარის საწყისი გამოსახულება რომ იყოს სრული კვადრატი, მე–(2)\blueD{(2)} ხაზში 2525 დავუმატეთ. როგორც ეს ყოველთვის ხდება განტოლებების შემთხვევაში, იგივე გავაკეთეთ მარჯვენა მხარესაც, რის შედეგადაც 12-12 გახდა 1313.
ზოგადად, კვადრატის დასასრულებლად დასამატებელი რიცხვის არჩევა არ არის დამოკიდებული განტოლების მარჯვენა მხარეზე, მაგრამ ეს რიცხვი ყოველთვის უნდა დავუმატოთ ორივე მხარეს.
ახლა თქვენი ჯერია, რომ ამოხსნათ რამდენიმე განტოლება.

განტოლების დალაგება კვადრატის დასრულებამდე

წესი 1: გამოვყოთ ცვლადი წევრი მუდმივი წევრისგან

ასე ხდება განტოლების x2+5x6=x+1x^2+5x-6=x+1 ამოხსნა:
(1)x2+5x6=x+1(2)x2+4x6=1გამოაკელით x.(3)x2+4x=7დაუმატეთ 6.(4)x2+4x+4=11დაუმატეთ 4, სრული კვადრატის შევსება.(5)(x+2)2=11დაშალეთ.(6)(x+2)2=±11ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.(7)x+2=±11(8)x=±112გამოაკელით 2.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{გამოაკელით }x.}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{დაუმატეთ 6.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{დაუმატეთ 4, სრული კვადრატის შევსება.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{დაშალეთ.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{გამოაკელით 2.}\end{aligned}
განტოლების ერთ მხარეს კვადრატის დასრულება ვერ დაგვეხმარება, თუ xx წევრი მეორე მხარესაც გაქვთ. სწორედ ამიტომ გამოვაკელით მე–(2)\tealD{(2)} მწკრივში xx, ყველა ცვლადიანი წევრი კი მარცხენა მხარეს მოვათავსეთ.
გარდა ამისა, იმისთვის, რომ x2+4xx^2+4x გახდეს სრული კვადრატი, მას უნდა დავუმატოთ 44, მაგრამ მანამდე უნდა დავრწმუნდეთ, რომ ყველა მუდმივი წევრი განტოლების მეორე მხარეს მოვათავსეთ. სწორედ ამიტომ დავუმატეთ მე–(3)\purpleC{(3)} ხაზში 66 და დავტოვეთ x2+4xx^2+4x ცალკე.

წესი 2: დარწმუნდით, რომ x2x^2-ის კოეფიციენტი 11-ის ტოლია.

ასე ხდება განტოლების 3x236x=423x^2-36x=-42 ამოხსნა:
(1)3x236x=42(2)x212x=14გაყავით 3-ზე.(3)x212x+36=22დაუმატეთ 36, სრული კვადრატის შევსება.(4)(x6)2=22დაშალეთ.(5)(x6)2=±22ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.(6)x6=±22(7)x=±22+6დაუმატეთ 6.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{გაყავით 3-ზე.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{დაუმატეთ 36, სრული კვადრატის შევსება.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{დაშალეთ.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{დაუმატეთ 6.}\end{aligned}
სრულ კვადრატამდე შევსების მეთოდი მუშაობს მხოლოდ მაშინ, თუ x2x^2-ის კოეფიციენტია 11.
სწორედ ამიტომ მე-(2)\maroonD{(2)} ხაზში გამოსახულება გავყავით x2x^2-ის კოეფიციენტზე, რაც უდრის 33–ს.
ზოგჯერ x2x^2-ის კოეფიციენტზე გაყოფის შედეგად სხვა კოეფიციენტები წილადებად გარდაიქმნება. ეს არ ნიშნავს იმას, რომ შეცდომა დაუშვით, ეს ნიშნავს, რომ ამოხსნისას უბრალოდ წილადებთან მუშაობა მოგიწევთ.
ახლა თქვენი ჯერია, რომ ამოხსნათ ასეთი განტოლება.
იტვირთება