ისწავლეთ განტოლებათა ამოხსნა მამრავლებად დაშლის მეთოდის გამოყენებით; (x-1)(x+3)=0 სახით ჩაწერილი განტოლების ფესვის პოვნა.

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

თქვენ უკვე ამოხსენით წრფივი განტოლებები, რომლებიც შეიცავენ მუდმივ წევრებს (ჩვეულებრივ რიცხვებს) და წევრებს პირველ ხარისხში აყვანილი ცვლადებით (x1=x)(x^1=x).
შესაძლოა, ორივე მხრიდან კვადრატული ფესვების ამოღების საშუალებით ამოხსნილი გქონდეთ რამდენიმე კვადრატული განტოლება, რომლებიც შეიცავს მეორე ხარისხში აყვანილ ცვლადებს.
ამ გაკვეთილში ისწავლით კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ახალ გზას. კონკრეტულად ისწავლით
  • როგორ ამოვხსნათ (x1)(x+3)=0(x-1)(x+3)=0 ნამრავლის სახით ჩაწერილი განტოლება და
  • როგორ გამოვიყენოთ მამრავლებად დაშლის მეთოდები იმისათვის, რომ დავშალოთ მამრავლებად ისეთი განტოლებები, ((როგორიცაა x23x10=0)x^2-3x-10=0) და ამოვხსნათ ისინი.

მამრავლებად დაშლილი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

ვთქვათ, გვთხოვეს ამოვხსნათ კვადრატული განტოლება (x1)(x+3)=0(x-1)(x+3)=0.
ეს არის ორი გამოსახულების ნამრავლი, რომელიც ნულის ტოლია. ყურადღება მიაქციეთ, რომ xx-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც (x1)(x-1) ან (x+3)(x+3) ხდება ნული, ნამრავლსაც გახდის ნულს.
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
თუ x=1x=1-ს ან x=3x=-3-ს ჩავსვამთ განტოლებაში, მივიღებთ ჭეშმარიტ მტკიცებას 0=00=0, ე.ი. x-ის ორივე მნიშვნელობა განტოლების ამონახსნია.
ახლა თქვენით ამოხსენით რამდენიმე მსგავსი განტოლება.

დასაფიქრებელი შეკითხვა

ნულოვანი ნამრავლის თვისება

რა ვიცით, რომ ჩვენი მეთოდით ნაპოვნი ორი ამონახსნის მეტი ამონახსნი აღარ არის?
ამაზე პასუხს გვაძლევს ერთი მარტივი, მაგრამ ძალიან გამოსადეგი თვისება, რომელსაც ნულოვანი ნამრავლის თვისება ჰქვია:
თუ ორი სიდიდის ნამრავლი ნულის ტოლია, მაშინ სიდიდეებიდან ერთ-ერთი მაინც უნდა იყოს ნულის ტოლი.
ჩვენი ამონახსნებისგან განსხვავებული xx-ის სხვა ნებისმიერი მნიშვნელობის ჩასმა მოგვცემს ორი ნულისგან განსხვავებული რიცხვის ნამრავლს, რაც ნიშნავს, რომ ნამრავლი ნამდვილად არ იქნება ნული, მაშასადამე, ვიცით, რომ ერთადერთი შესაძლო მნიშვნელობები ჩვენი ამონახსნებია.

ამოხსნა მამრავლებად დაშლით

ვთქვათ, გვინდა ამოვხსნათ განტოლება x23x10=0x^2-3x-10=0, ამისათვის მხოლოდ მამრავლებად უნდა დავშალოთ x23x10x^2-3x-10 და ამოვხსნათ ისე, როგორც ადრე!
x23x10x^2-3x-10 შეიძლება, მამრავლებად დაიშალოს, როგორც (x+2)(x5)(x+2)(x-5).
განტოლების ამოხსნის სრული პროცესი ასეთი იქნება:
x23x10=0(x+2)(x5)=0დაშალეთ.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{დაშალეთ.}\end{aligned}
x+2=0x5=0x=2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
ახლა თქვენი ჯერია დამოუკიდებლად ამოხსნათ რამდენიმე განტოლება. დაიმახსოვრეთ, რომ განსხვავებული განტოლებები მამრავლებად განსხვავებული მეთოდებით იშლებიან.

ამოხსენით x2+5x=0x^2+5x=0.

ამოხსენით x211x+28=0x^2-11x+28=0.

ამოხსენით 4x2+4x+1=04x^2+4x+1=0.

ამოხსენით 3x2+11x4=03x^2+11x-4=0.

განტოლების დალაგება მამრავლებად დაშლამდე

ერთ-ერთი მხარე ნულის ტოლი უნდა იყოს.

ასე ხდება განტოლების x2+2x=40xx^2+2x=40-x ამოხნსა:
x2+2x=40xx2+2x40+x=0გამოაკელით 40 და დაუმატეთ x.x2+3x40=0შეაერთეთ მსგავსი წევრები.(x+8)(x5)=0დაშალეთ.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{გამოაკელით 40 და დაუმატეთ }x\text{.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{შეაერთეთ მსგავსი წევრები.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{დაშალეთ.}\end{aligned}
x+8=0x5=0x=8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
მამრავლებად დაშლამდე განტოლება გარდავქმენით ისე, რომ მისი ყველა წევრი ერთ მხარეს ყოფილიყო, მეორე მხარეს კი ნული დარჩენილიყო. მხოლოდ ამის შემდეგ შევძელით მისი მამრავლებად დაშლა და ჩვენი ამოხსნის მეთოდის გამოყენება.

საერთო გამყოფების მოშორება

ასე ხდება განტოლების 2x212x+18=02x^2-12x+18=0 ამოხნსა:
2x212x+18=0x26x+9=0გაყავით 2-ზე.(x3)2=0დაშალეთ.x3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{გაყავით 2-ზე.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{დაშალეთ.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
თავდაპირველად ყველა წევრს ჰქონდა საერთო გამყოფი 22, ამიტომ ორივე მხარე გავყავით 22-ზე (ნულის მხარე დარჩა ისევ ნული), რამაც მამრავლებად დაშლა უფრო გაამარტივა.
ახლა თქვენით ამოხსენით რამდენიმე მსგავსი განტოლება.
იტვირთება