ძირითადი მასალა

ალგებრა I

კურსი: ალგებრა I > თემა 15

გაკვეთილი 1: მამრავლებად დაშლის შესავალი

გამყოფების და გაყოფადობის შესავალი

გაიგეთ, რას ნიშნავს, მრავალწევრი იყოს მეორე მრავალწევრის მამრავლი ან იყოფოდეს მასზე.

რა უნდა ვიცოდეთ ამ გაკვეთილისთვის

ერთწევრი არის გამოსახულება, რომელიც არის მუდმივი რიცხვებისა და

x

-ის არაუარყოფითი მთელი რიცხვების ხარისხების ნამრავლი, როგორიცაა

3 x^{2}

. მრავალწევრი არის გამოსახულება, რომელიც შედგება ერთწევრების ჯამისგან, როგორიცაა

3 x^{2} + 6 x - 1

რას ვისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში, ჩვენ გამოვიკვლევთ, თუ რა კავშირია მამრავლებსა და გაყოფადობას შორის მრავალწევრებში და ასევე ვისწავლით, თუ როგორ დავადგინოთ, არის თუ არა ერთი მრავალწევრი მეორე მრავალწევრის მამრავლი.

მამრავლები და გაყოფადობა მთელ რიცხვებში

ზოგადად, ორი მთელი რიცხვი, რომელთა ერთმანეთზე გამრავლებითაც ვიღებთ მესამე რიცხვს, ითვლება ამ მესამე რიცხვის მამრავლად.

მაგალითად, რადგან $14 = 2 \cdot 7$ ‍, ჩვენ ვიცით, რომ $2$ ‍ და $7$ ‍ არის $14$ ‍-ის მამრავლები.

ერთი რიცხვი გაყოფადია (ანუ, იყოფა) მეორე რიცხვზე, თუ ამ გაყოფის შედეგი არის მთელი რიცხვი.

მაგალითად, რადგან $\frac{15}{3} = 5$ ‍ და $\frac{15}{5} = 3$ ‍, ესე იგი, $15$ ‍ იყოფა $3$ ‍-ზე და $5$ ‍-ზე. თუმცა რადგან $\frac{9}{4} = 2, 25$ ‍, ესე იგი, $9$ ‍ არ იყოფა $4$ ‍-ზე.

დააკვირდით ორმხრივ დამოკიდებულებას გაყოფადობასა და მამრავლებს შორის:

რადგან

14 = 2 \cdot 7

(რაც ნიშნავს, რომ

2

არის

14

-ის მამრავლი), ვიცით, რომ

\frac{14}{2} = 7

(რაც ნიშნავს, რომ

14

იყოფა

2

-ზე).

ამის საპირისპიროდ, რადგან

\frac{15}{3} = 5

(ანუ,

15

იყოფა

3

-ზე), ვიცით, რომ

15 = 3 \cdot 5

(ანუ,

3

არის

15

-ის გამყოფი).

ზოგადად: თუ

a

არის

b

-ს მამრავლი, მაშინ

b

იყოფა

a

-ზე და პირიქით.

მამრავლები და გაყოფადობა მრავალწევრებში

ეს ცოდნა შეგვიძლია, მრავალწევრებზეც გამოვიყენოთ.

მაშინ, როცა ორ ან მეტ მრავალწევრს ერთმანეთზე ვამრავლებთ, თითოეულ ამ მრავალწევრს ნამრავლის მამრავლს ვუწოდებთ.

მაგალითად, ვიცით, რომ $2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$ ‍. ეს ნიშნავს, რომ $2 x$ ‍ და $x + 3$ ‍, $2 x^{2} + 6 x$ ‍-ის მამრავლები არიან.

ასევე, ერთი მრავალწევრი იყოფა მეორე მრავალწევრზე, თუ განაყოფიც მრავალწევრია.

მაგალითად, რადგან $\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x$ ‍ და რადგან $\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x$ ‍, $6 x^{2}$ ‍ იყოფა $3 x$ ‍-ზეც და $2 x$ ‍-ზეც. მაგრამ, რადგან $\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}$ ‍, ვიცით, რომ $4 x$ ‍ არ იყოფა $2 x^{2}$ ‍-ზე.

აქაც შეგვიძლია მამრავლებსა და გაყოფადობას შორის იმ დამოკიდებულების დანახვა, რომელიც მთელი რიცხვების შემთხვევაში შევამჩნიეთ:

ზოგადად, თუ

p

q

და

r

მრავალწევრებისათვის,

p = q \cdot r

, მაშინ ვიცით, რომ:

$q$ ‍ და $r$ ‍ არის $p$ ‍–ს მამრავლები.
$p$ ‍ იყოფა $q$ ‍-ზე და $r$ ‍-ზე.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) დაასრულეთ წინანადება დამოკიდებულებაზე, რომელიც ასეა გამოსახული: $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍.

x + 2

3 x^{2} + 6 x

და

3 x^{2} + 6 x

x + 2

[დახმარება მჭირდება!]

2) მასწავლებელმა დაფაზე ეს ნამრავლი დაწერა:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

მაილსმა დაასკვნა, რომ

3 x^{2}

არის

12 x^{3}

მამრავლი.

ჯუდმა დაასკვნა, რომ

12 x^{3}

იყოფა

4 x

-ზე.

ვინ არის მართალი?

[დახმარება მჭირდება!]

მამრავლების და გაყოფადობის დადგენა

მაგალითი 1: $24 x^{4}$ ‍ იყოფა $8 x^{3}$ ‍-ზე?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად შეგვიძლია, ვიპოვოთ და გავამარტივოთ

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

. პასუხად თუ ერთწევრს მივიღებთ დავასკვნით, რომ

24 x^{4}

იყოფა

8 x^{3}

-ზე. თუ პასუხად არ მივიღებთ ერთწევრს, ესე იგი,

24 x^{4}

არ იყოფა

8 x^{3}

-ზე.

$\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}$ ‍

რაგდან პასუხი ერთწევრია, ვიცით, რომ

24 x^{4}

იყოფა

8 x^{3}

-ზე. (ეს ასევე გულისხმობს, რომ

8 x^{3}

არის

24 x^{4}

-ის მამრავლი.)

მაგალითი 2: $4 x^{6}$ ‍ არის, თუ არა $32 x^{3}$ ‍-ის მამრავლი?

თუ

4 x^{6}

არის

32 x^{3}

-ის მამრავლი, მაშინ

32 x^{3}

იყოფა

4 x^{6}

–ზე. ამიტომ, მოდით ვიპოვოთ და გავამარტივოთ

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

$\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}$ ‍

დააკვირდით, რომ

\frac{8}{x^{3}}

არ არის ერთწევრი, რადგან ის განაყოფია და არა ნამრავლი. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ

4 x^{6}

არ არის

32 x^{3}

-ის მამრავლი.

შეჯამება

ზოგადად, იმისათვის, რომ დავადგინოთ, იყოფა, თუ არა ერთი მრავალწევრი

p

მეორე მრავალწევრ

q

-ზე, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არის თუ არა

q

p

-ს მამრავლი, შეგვიძლია, ვიპოვოთ და შევამოწმოთ

\frac{p (x)}{q (x)}

თუ მისი გამარტივებული ფორმა მრავალწევრია, ესე იგი,

p

იყოფა

q

-ზე და

q

არის

p

-ს მამრავლი.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

3) $30 x^{4}$ ‍ იყოფა, თუ არა $2 x^{2}$ ‍-ზე?

[დახმარება მჭირდება!]

4) $12 x^{2}$ ‍ არის თუ არა $6 x$ ‍-ის მამრავლი?

[დახმარება მჭირდება!]

რთული ამოცანები

5*) შემდეგი ერთწევრებიდან, რომლებია $15 x^{2} y^{6}$ ‍-ის მამრავლები ?

	მამრავლია	არ არის მამრავლი
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

[დახმარება მჭირდება!]

6*) მართკუთხედის სიგანეა

x + 1

ერთეული, ხოლო სიგრძე -

x + 4

ერთეული. მისი ფართობია

x^{2} + 5 x + 4

რომლებია აქედან $x^{2} + 5 x + 4$ ‍-ის მამრავლები?

[დახმარება მჭირდება!]

რაში გვაინტერესებს მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა?

მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა ისეთივე გამოსადეგია, როგორიც მთელი რიცხვების მამრავლებად დაშლა აღმოჩნდა!

უფრო კონკრეტულად, მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა ძალიან გამოსადეგია კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას და რაციონალური გამოსახულებების გამარტივებისას.

თუ გინდათ ამის ნახვა, ეს სტატიები წაიკითხეთ:

რა მოდის შემდეგ?

მამრავლებად დაშლის პროცესის შემდეგი ნაბიჯი ერთწევრების მამრავლებად დაწლის სწავლაა. შეგიძლიათ, ამის შესახებ ჩვენს შემდეგ სტატიაში ისწავლოთ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ალგებრა I

კურსი: ალგებრა I > თემა 15

რა უნდა ვიცოდეთ ამ გაკვეთილისთვის

რას ვისწავლით ამ გაკვეთილში

მამრავლები და გაყოფადობა მთელ რიცხვებში

მამრავლები და გაყოფადობა მრავალწევრებში

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

მამრავლების და გაყოფადობის დადგენა

მაგალითი 1: 24x4‍ იყოფა 8x3‍ -ზე?

მაგალითი 2: 4x6‍ არის, თუ არა 32x3‍ -ის მამრავლი?

შეჯამება

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

რთული ამოცანები

რაში გვაინტერესებს მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა?

რა მოდის შემდეგ?

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

მაგალითი 1: $24 x^{4}$ ‍ იყოფა $8 x^{3}$ ‍-ზე?

მაგალითი 2: $4 x^{6}$ ‍ არის, თუ არა $32 x^{3}$ ‍-ის მამრავლი?