გაიგეთ, რას ნიშნავს, მრავალწევრი იყოს მეორე მრავალწევრის მამრავლი ან იყოფოდეს მასზე.

რა უნდა ვიცოდეთ ამ გაკვეთილისთვის

ერთწევრი არის გამოსახულება, რომელიც არის მუდმივი რიცხვებისა და xx-ის არაუარყოფითი მთელი რიცხვების ხარისხების ნამრავლი, როგორიცაა 3x23x^2. მრავალწევრი არის გამოსახულება, რომელიც შედგება ერთწევრების ჯამისგან, როგორიცაა 3x2+6x13x^2+6x-1.

რას ვისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში, ჩვენ გამოვიკვლევთ, თუ რა კავშირია მამრავლებსა და გაყოფადობას შორის მრავალწევრებში და ასევე ვისწავლით, თუ როგორ დავადგინოთ, არის თუ არა ერთი მრავალწევრი მეორე მრავალწევრის მამრავლი.

მამრავლები და გაყოფადობა მთელ რიცხვებში

ზოგადად, ორი მთელი რიცხვი, რომელთა ერთმანეთზე გამრავლებითაც ვიღებთ მესამე რიცხვს, ითვლება ამ მესამე რიცხვის მამრავლად.
მაგალითად, რადგან 14=27{14}=2\cdot 7, ჩვენ ვიცით, რომ 22 და 77 არის 14{14}-ის მამრავლები.
ერთი რიცხვი გაყოფადია (ანუ, იყოფა) მეორე რიცხვზე, თუ ამ გაყოფის შედეგი არის მთელი რიცხვი.
მაგალითად, რადგან 153=5\dfrac{{15}}{3}=5 და 155=3\dfrac{{15}}{5}=3, ესე იგი, 15{15} იყოფა 33-ზე და 55-ზე. თუმცა რადგან 94=2.25\dfrac{9}{4}=2.25, ესე იგი, 99 არ იყოფა 44-ზე.
დააკვირდით ორმხრივ დამოკიდებულებას გაყოფადობასა და მამრავლებს შორის:

რადგან 14=27\goldD{14}=\blueD{2}\cdot7 (რაც ნიშნავს, რომ 22 არის 1414-ის მამრავლი), ვიცით, რომ 142=7\dfrac{\goldD{14}}{\blueD2}=7 (რაც ნიშნავს, რომ 1414 იყოფა 22-ზე).
ამის საპირისპიროდ, რადგან 153=5\dfrac{\goldD{15}}{\blueD3}=5 (ანუ, 1515 იყოფა 33-ზე), ვიცით, რომ 15=35\goldD{15}=\blueD3\cdot 5 (ანუ, 33 არის 1515-ის გამყოფი).
ზოგადად: თუ aa არის bb-ს მამრავლი, მაშინ bb იყოფა aa-ზე და პირიქით.

მამრავლები და გაყოფადობა მრავალწევრებში

ეს ცოდნა შეგვიძლია, მრავალწევრებზეც გამოვიყენოთ.
მაშინ, როცა ორ ან მეტ მრავალწევრს ერთმანეთზე ვამრავლებთ, თითოეულ ამ მრავალწევრს ნამრავლის მამრავლს ვუწოდებთ.
მაგალითად, ვიცით, რომ 2x(x+3)=2x2+6x{2x}({x+3})={2x^2+6x}. ეს ნიშნავს, რომ 2x{2x} და x+3{x+3}, 2x2+6x{2x^2+6x}-ის მამრავლები არიან.
ასევე, ერთი მრავალწევრი იყოფა მეორე მრავალწევრზე, თუ განაყოფიც მრავალწევრია.
მაგალითად, რადგან 6x23x=2x\dfrac{6x^2}{3x}=2x და რადგან 6x22x=3x\dfrac{6x^2}{2x}=3x, 6x26x^2 იყოფა 3x3x-ზეც და 2x2x-ზეც. მაგრამ, რადგან 4x2x2=2x\dfrac{4x}{2x^2}=\dfrac{2}{x}, ვიცით, რომ 4x4x არ იყოფა 2x22x^2-ზე.
აქაც შეგვიძლია მამრავლებსა და გაყოფადობას შორის იმ დამოკიდებულების დანახვა, რომელიც მთელი რიცხვების შემთხვევაში შევამჩნიეთ:
ზოგადად, თუ pp, qq და rr მრავალწევრებისათვის, p=qrp=q\cdot r, მაშინ ვიცით, რომ:
  • qq და rr არის pp–ს მამრავლები.
  • pp იყოფა qq-ზე და rr-ზე.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

მამრავლების და გაყოფადობის დადგენა

მაგალითი 1: 24x424x^4 იყოფა 8x38x^3-ზე?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად შეგვიძლია, ვიპოვოთ და გავამარტივოთ 24x48x3\dfrac{24x^4}{8x^3}. პასუხად თუ ერთწევრს მივიღებთ დავასკვნით, რომ 24x424x^4 იყოფა 8x38x^3-ზე. თუ პასუხად არ მივიღებთ ერთწევრს, ესე იგი, 24x424x^4არ იყოფა 8x38x^3-ზე.
24x48x3=248x4x3=3x1aman=amn=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\cdot\dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\cdot x^1&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
რაგდან პასუხი ერთწევრია, ვიცით, რომ 24x424x^4 იყოფა 8x38x^3-ზე. (ეს ასევე გულისხმობს, რომ 8x38x^3 არის 24x424x^4-ის მამრავლი.)

მაგალითი 2: 4x64x^6 არის, თუ არა 32x332x^3-ის მამრავლი?

თუ 4x64x^6 არის 32x332x^3-ის მამრავლი, მაშინ 32x332x^3 იყოფა 4x64x^6–ზე. ამიტომ, მოდით ვიპოვოთ და გავამარტივოთ 32x34x6\dfrac{32x^3}{4x^6}.
32x34x6=324x3x6=8x3aman=amn=81x3am=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\cdot\dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\cdot x^{-3}&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\cdot \dfrac{1}{x^3}&&\small{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
დააკვირდით, რომ 8x3\dfrac{8}{x^3} არ არის ერთწევრი, რადგან ის განაყოფია და არა ნამრავლი. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ 4x64x^6 არ არის 32x332x^3-ის მამრავლი.

შეჯამება

ზოგადად, იმისათვის, რომ დავადგინოთ, იყოფა, თუ არა ერთი მრავალწევრი pp მეორე მრავალწევრ qq-ზე, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არის თუ არა qq pp-ს მამრავლი, შეგვიძლია, ვიპოვოთ და შევამოწმოთ p(x)q(x)\dfrac{p(x)}{q(x)}.
თუ მისი გამარტივებული ფორმა მრავალწევრია, ესე იგი, pp იყოფა qq-ზე და qq არის pp-ს მამრავლი.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

რთული ამოცანები

რაში გვაინტერესებს მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა?

მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა ისეთივე გამოსადეგია, როგორიც მთელი რიცხვების მამრავლებად დაშლა აღმოჩნდა!
უფრო კონკრეტულად, მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა ძალიან გამოსადეგია კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას და რაციონალური გამოსახულებების გამარტივებისას.
თუ გინდათ ამის ნახვა, ეს სტატიები წაიკითხეთ:

რა მოდის შემდეგ?

მამრავლებად დაშლის პროცესის შემდეგი ნაბიჯი ერთწევრების მამრავლებად დაწლის სწავლაა. შეგიძლიათ, ამის შესახებ ჩვენს შემდეგ სტატიაში ისწავლოთ.
იტვირთება