If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა I

კურსი: ალგებრა I > თემა 15

გაკვეთილი 10: სტრატეგიები კვადრატული განტოლების მამრავლებად დასაშლელად
მათემატიკა
ალგებრა I
მამრავლებად დაშლა
სტრატეგიები კვადრატული განტოლების მამრავლებად დასაშლელად
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

ნებისმიერი ფორმის კვადრატული განტოლების დაშლა

Google–ის საკლასო ოთახი
გამოიყენეთ მთელი ცოდნა კვადრატული განტოლებების დაშლის შესახებ, რომ შეძლოთ ნებისმიერი ფორმის კვადრატული გამოსახულებების დაშლა.

რა უნდა იცოდეთ ამ გაკვეთილისთვის

ამ გაკვეთილში გამოყენებული იქნება დაშლის შემდეგი მეთოდები:

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ სტატიაში ივარჯიშებთ ამ მეთოდების ერთად გამოყენებაში, რათა სრულად დაშალოთ ნებისმიერი სახის კვადრატული გამოსახულება.

შესავალი: მამრავლებად დაშლის მეთოდების მიმოხილვა

მეთოდიმაგალითიროდის ვიყენებთ?
საერთო მამრავლების გატანა= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}თუ მრავალწევრის თითოეულ წევრს აქვს საერთო მამრავლი
ვიეტის თეორემა= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}თუ მრავალწევრს აქვს სახე: x, squared, plus, b, x, plus, c და არსებობს c-ს გამყოფები, რომლებიც ჯამში იძლევა b-ს.
დაჯგუფების მეთოდი= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}თუ მრავალწევრს აქვს სახე: x, squared, plus, b, x, plus, c და არსებობს a, c-ს გამყოფები, რომლებიც ჯამში იძლევა b-ს.
სრული კვადრატის სამწევრები= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}თუ პირველი და ბოლო წევრი სრული კვადრატია და შუა წევრი არის მათგან კვადრატული ფესვების გაორკეცებული ნამრავლი.
კვადრატების სხვაობა=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}თუ გამოსახულება წარმოადგენს კვადრატების სხვაობას.

ყველაფრის შეჯამება

პრაქტიკაში იშვიათად გეტყვიან, დაშლის რა მეთოდ(ებ) ი გამოიყენოთ ამოცანის ამოსახსნელად. ასე რომ, მნიშნვნელოვანია, განავითაროთ გარკვეული სახის მოქმედებათა სია, რომლის გამოყენებაც დაშლის პროცესს გაგიადვილებთ.
აქ მოყვანილია ასეთი სიის ერთი მაგალითი, სადაც დასმულია კითხვები იმისთვის, რომ განვსაზღვროთ, როგორ დავშალოთ კვადრატული მრავალწევრი.

კვადრატული გამოსახულების მამრავლებად დაშლა

ნებისმიერი დაშლის ამოცანის დაწყებამდე სასარგებლოა, გამოსახულება ჩავწეროთ სტანდარტული სახით.
რადგან საქმე ესაა, შეგიძლიათ, გადახვიდეთ კითხვების შემდეგ სიაზე:
კითხვა 1: არსებობს თუ არა საერთო გამყოფი?
თუ არა, გადადით მე–2 კითხვაზე, თუ კი, გაიტანეთ უსგ და გადადით მე–2 კითხვაზე.
დაშლის პროცესში ძალიან მნიშვნელოვანი ნაბიჯია უსგ-ს გატანა, რადგან ის ამცირებს რიცხვებს, რაც, თავის მხრივ, აამარტივებს კანონზომიერებების აღმოჩენას!
კითხვა 2: გვაქვს თუ არა კვადრატების სხვაობა (მაგალითდ x, squared, minus, 16 ან 25, x, squared, minus, 9)?
თუ გვაქვს კვადრატების სხვაობა, დაშალეთ a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis ფორმულის გამოყენებით, თუ არა, გადადით მე–3 კითხვაზე.
კითხვა 3: გვაქვს თუ არა სრული კვადრატის სამწევრი (მაგალითად x, squared, minus, 10, x, plus, 25 ან 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9)?
თუ სრული კვადრატის სამწევრი არსებობს, დაშალეთ a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared ფორმულის გამოყენებით, თუ არა, გადადით მე–4 კითხვაზე.
კითხვა 4:
ა.) გვაქვს თუ არა შემდეგი სახის გამოსახულება: x, squared, plus, b, x, plus, c?
თუ არა, გადადით მე–5 კითხვაზე, თუ კი, გადადით ბ)-ზე.
ბ.) არსებობს თუ არა c-ს გამყოფები, რომლებიც ჯამში გვაძლევენ b-ს?
თუ არსებობს, დაშალეთ ვიეტის თეორემის გამოყენებით. სხვა შემთხვევაში კვადრატული გამოსახულება მეტად არ დაიშლება.
კითხვა 5: a, c-ს მამრავლები ჯამში b-ს გვაძლევს?
თუ უკვე აქ მიხვედით, უნდა იცოდეთ, რომ კვადრატული გამოსახულება უნდა იყოს a, x, squared, plus, b, x, plus, c ფორმის, რომელშიც a, does not equal, 1. თუ გვაქვს a, c-ს მამრავლები, რომლებიც ჯამში b-ს გვაძლევს, დავშალოთ დაჯგუფების მეთოდით. წინააღმდეგ შემთხვევაში, კვადრატული გამოსახულება მეტად აღარ დაიშლება.
ამ სიით ხელმძღვანელობა დაგეხმარებათ, დარწმუნდეთ, რომ მოცემული კვადრატული გამოსახულება ბოლომდე დაშალეთ!
ამის გათვალისწინებით, მოდით, გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1: 5, x, squared, minus, 80-ის მამრავლებად დაშლა

მიაქციეთ ყურადღება, რომ გამოსახულება უკვე სტანდარტული სახითაა ჩაწერილი. შეგვიძლია, გადავიდეთ სიაზე.
კითხვა 1: გვაქვს თუ არა საერთო გამყოფი?
დიახ. 5, x, squared-ის და 80-ის უსგ არის 5. მისი გატანა შემდეგნაირად შეგვიძლია:
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
კითხვა 2: გვაქვს თუ არა კვადრატების სხვაობა?
დიახ. x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. შეგვიძლია, გამოვიყენოთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა გამოსახულების მამრავლებად დაშლის გასაგრძელებლად:
5x2−80=5((x)2−(4)2)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
ამ გამოსახულებაში აღარაა კვადრატული წევრები. მრავალწევრი ბოლომდე დავშალეთ!
საბოლოოდ, 5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

მაგალითი 2: 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9-ის მამრავლებად დაშლა

კვადრატული გამოსახულება ისევ სტანდარტული სახითაა მოცემული. მოდით, დავიწყოთ სიის შემოწმება!
კითხვა 1: გვაქვს თუ არა საერთო გამყოფი?
არა. 4, x, squared-ს, 12, x-ს და 9-ს არ აქვს საერთო გამყოფი. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 2: გვაქვს თუ არა კვადრატების სხვაობა?
არა. გვაქვს x წევრი, ასე რომ, ეს ვერ იქნება კვადრატების სხვაობა. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 3: გვაქვს თუ არა სრული კვადრატის სამწევრი?
დიახ. პირველი წევრი სრული კვადრატია, ვინაიდან 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, ბოლო წევრიც სრული კვადრატია, რადგან 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. ასევე, შუა წევრი არის კვადრატში აყვანილი რიცხვების გაორმაგებული ნამრავლი, ვინაიდან 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
ამ გამოსახულების დასაშლელად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ სრული კვადრატის სამწევრის ფორმულა.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
საბოლოოდ, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

მაგალითი 3: 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared-ის მამრავლებად დაშლა

ეს კვადრატული გამოსახულება არაა ჩაწერილი სტანდარტული სახით. შეგვიძლია, ის შემდეგნაირად გადავწეროთ: 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63 და შემდეგ გადავიდეთ სიაზე.
კითხვა 1: გვაქვს თუ არა საერთო გამყოფი?
დიახ. 3, x, squared-ის,12, x-ისა და 63-ის უსგ არის 3. მისი გატანა შემდეგნაირად შეგვიძლია:
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
კითხვა 2: გვაქვს თუ არა კვადრატების სხვაობა?
არა. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 3: გვაქვს თუ არა სრული კვადრატის სამწევრი?
არა. მიაქციეთ ყურადღება, რომ 21 არ არის სრული კვადრატი, ასე რომ, ეს ვერ იქნება სრული კვადრატის სამწევრი. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 4ა: გვაქვს თუ არა შემდეგი სახის გამოსახულება: x, squared, plus, b, x, plus, c?
დიახ, მიღებულ კვადრატულ გამოსახულებას, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, აქვს ეს სახე.
კითხვა 4ბ: არსებობს თუ არა c-ს გამყოფები, რომლებიც ჯამში გვაძლევენ b-ს?
დიახ, კონკრეტულად, არსებობს minus, 21-ის გამყოფები, რომელთა ჯამია 4.
რადგან 7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 და 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4, შეგვიძლია, დაშლა გავაგრძელოთ შემდეგნაირად:
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
საბოლოოდ, 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

მაგალითი 4: 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10-ის მამრავლებად დაშლა

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ამ კვადრატულ გამოსახულებას უკვე აქვს სტანდარტული სახე.
კითხვა 1: გვაქვს თუ არა საერთო გამყოფი?
დიახ. 4, x, squared-ის,18, x-ისა და 10-ის უსგ არის 2. მისი გატანა შემდეგნაირად შეგვიძლია:
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
კითხვა 2: გვაქვს თუ არა კვადრატების სხვაობა?
არა. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 3: გვაქვს თუ არა სრული კვადრატის სამწევრი?
არა. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 4ა: გვაქვს თუ არა შემდეგი სახის გამოსახულება: x, squared, plus, b, x, plus, c?
არა, კვადრატული გამოსახულების პირველი კოეფიციენტია 2. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 5: არსებობს თუ არა a, c-ს გამყოფები, რომლებიც ჯამში გვაძლევენ b-ს?
მიღებული კვადრატული გამოსახულებაა 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5 და, ესე იგი, უნდა ვიპოვოთ 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10 - ის გამყოფები, რომელთა ჯამია 9.
ვინაიდან left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 და left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9, პასუხია დიახ.
ახლა შეგვიძლია, შუა წევრი ჩავწეროთ ასე: minus, 1, x, plus, 10, x და დასაშლელად გამოვიყენოთ დაჯგუფების მეთოდი.
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)გახლიჩეთ შუა წევრი=2((2x2−1x)+(10x−5))დააჯგუფეთ წევრები=2(x(2x−1)+5(2x−1))გაიტანეთ უსგ-ები=2(2x−1)(x+5)გაიტანეთ 2x−1\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{გახლიჩეთ შუა წევრი}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{დააჯგუფეთ წევრები}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{გაიტანეთ უსგ-ები}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{გაიტანეთ $2x-1$}}} \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) დაშალეთ 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16 სრულად.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

2) დაშალეთ 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300 სრულად.

3) დაშალეთ 72, x, squared, minus, 2 სრულად.

4) დაშალეთ 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15 სრულად.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

5) დაშალეთ 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8 სრულად.

6) დაშალეთ 56, minus, 18, x, plus, x, squared სრულად.

7) დაშალეთ 3, x, squared, plus, 27 სრულად.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.