If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა I

კურსი: ალგებრა I > თემა 15

გაკვეთილი 5: კვადრატული გამოსახულებების დაშლა. შესავალი
მათემატიკა
ალგებრა I
მამრავლებად დაშლა
კვადრატული გამოსახულებების დაშლა. შესავალი
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

კვადრატული განტოლების მამრავლებად დაშლა: საწყისი კოეფიციენტი = 1

Google–ის საკლასო ოთახი
ისწავლეთ, როგორ დავშალოთ კვადრატული გამოსახულებები ორი წრფივი ორწევრის ნამრავლის სახით. მაგალითად, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

რა უნდა იცოდეთ ამ გაკვეთილისთვის

მრავალწევრის დაშლა გულისხმობს მის ჩაწერას ორი ან მეტი მრავალწევრის ნამრავლის სახით. ის არის მრავალწევრების გადამრავლების შებრუნებული პროცესი. ამ თემაზე მეტის გასაგებად იხილეთ ჩვენი წინა სტატია: საერთო გამყოფების გატანა.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში ისწავლით, როგორ დაშალოთ x2+bx+c სახის მრავალწევრი ორი ორწევრის ნამრავლად.

მიმოხილვა: ორწევრების გამრავლება

განვიხილოთ გამოსახულება: (x+2)(x+4).
მათი ნამრავლის პოვნა შეგვიძლია, თუ რამდენჯერმე გამოვიყენებთ განრიგებადობის კანონს.
ანუ, (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
აქედან ვხედავთ, რომ x+2 და x+4 არის x2+6x+8-ის მამრავლები, მაგრამ როგორ უნდა გვეპოვა ეს მამრავლები, თუ მათგან არ დავიწყებდით?

სამწევრების მამრავლებად დაშლა

სამწევრის (ანუ, 3 წევრისგან შემდგარი მრავალწევრის) დასაშლელად შეგვიძლია, შევაბრუნოთ ორწევრების გადამრავლების ზემოთ ნაჩვენები პროცესი.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ დავიწყებთ x2+6x+8 მრავალწევრით, შეგვიძლია, გამოვიყენოთ მამრავლებად დაშლა, რათა ჩავწეროთ ის ორი ორწევრის ნამრავლის სახით: (x+2)(x+4).
იმის გასაგებად, თუ როგორ ხდება ეს, მოდით, ვნახოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1: x2+5x+6 - ის დაშლა

x2+5x+6- ის დასაშლელად პირველ რიგში უნდა ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომელთა ნამრავლია 6 (მუდმივი რიცხვი) და ჯამია 5 (x-ის კოეფიციენტი).
ეს ორი რიცხვია 2 და 3, ვინაიდან 2⋅3=6 და 2+3=5.
შემდეგ დავუმატოთ თითოეული მიღებული რიცხვი x-ს ორი ორწევრა მამრავლის მისაღებად: (x+2) და (x+3).
საბოლოოდ, სამწევრი შემდეგნაირად დავშალეთ:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
დაშლის შესამოწმებლად შეგვიძლია, გადავამრავლოთ ეს ორი ორწევრი:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
x+2 - ისა და x+3- ის ნამრავლი ნამდვილად არის x2+5x+6. სწორად დავშალეთ!

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) დაშალეთ მამრავლებად x2+7x+10.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

2) დაშალეთ მამრავლებად x2+9x+20.

მოდით, გადავხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს და ვნახოთ, მათგან რისი სწავლა შეგვიძლია.

მაგალითი 2: x2−5x+6 - ის დაშლა

x2−5x+6 - ის დასაშლელად ჯერ ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომელთა ნამრავლია 6 და ჯამია −5.
ეს ორი რიცხვია −2 და −3, ვინაიდან (−2)⋅(−3)=6 და (−2)+(−3)=−5.
შემდეგ დავუმატოთ თითოეული მიღებული რიცხვი x-ს ორი ორწევრა მამრავლის მისაღებად: (x+(−2)) და (x+(−3)).
დაშლის პროცესი ნაჩვენებია ქვემოთ:
x2−5x+6=(x+(−2))(x+(−3))=(x−2)(x−3)
დაშლის კანონზომიერება: მიაქციეთ ყურადღება, რომ x2−5x+6 - ის დასაშლელად საჭირო ორივე რიცხვი უარყოფითია: −2 და −3, იმიტომ რომ მათი ნამრავლი უნდა იყოს დადებითი (6) და მათი ჯამი - უარყოფითი (−5).
საზოგადოდ, x2+bx+c-ს დაშლისას თუ c დადებითია და b - უარყოფითი, მაშინ ორივე მამრავლი იქნება უარყოფითი!

მაგალითი 3: x2−x−6 - ის დაშლა

x2−x−6 შეგვიძლია, დავწეროთ, როგორც x2−1x−6.
x2−1x−6 - ის დასაშლელად ჯერ ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომელთა ნამრავლია −6 და ჯამია −1.
ეს ორი რიცხვია 2 და −3, ვინაიდან (2)⋅(−3)=−6 და 2+(−3)=−1.
შემდეგ, დავუმატოთ თითოეული მიღებული რიცხვი x-ს ორი ორწევრა მამრავლის მისაღებად: (x+2) და (x+(−3)).
დაშლის პროცესი ნაჩვენებია ქვემოთ:
x2−x−6=(x+2)(x+(−3))=(x+2)(x−3)
დაშლის კანონზიმიერებები: მიაქციეთ ყურადღება, რომ x2−x−6 - ის დასაშლელად გვჭირდება ერთი დადებითი რიცხვი (2) და ერთი უარყოფითი რიცხვი (−3) იმიტომ რომ მათი ნამრავლი უნდა იყოს უარყოფითი (−6).
საზოგადოდ, x2+bx+c-ს დაშლისას თუ c უარყოფითია, მაშინ ერთი მამრავლი იქნება დადებითი და ერთი მამრავლი იქნება უარყოფითი.

შეჯამება

საზოგადოდ, x2+bx+c სახის სამწევრის დასაშლელად უნდა ვიპოვოთ c-ს გამყოფები, რომელთა ჯამიც იქნება b.
დავუშვათ, ეს რიცხვებია m და n, ესე იგი, c=mn და b=m+n, მაშინ x2+bx+c=(x+m)(x+n).

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

3) დაშალეთ მამრავლებად x2−8x−9.

4) დაშალეთ მამრავლებად x2−10x+24.

1) დაშალეთ მამრავლებად x2+7x−30.

ეს რატომ მუშაობს?

იმის მისახვედრად, თუ რატომ მუშაობს დაშლის ეს მეთოდი, დავუბრუნდეთ საწყის მაგალითს, სადაც x2+5x+6 დავშალეთ, როგორც (x+2)(x+3).
თუ დავბრუნდებით უკან და გადავამრავლებთ ორ ორწევრს, ვნახავთ 2-სა და 3-ის გავლენას x2+5x+6 ნამრავლის ფორმირებაზე.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+2⋅3=x2+(2+3)x+2⋅3
ვხედავთ, რომ x-ის კოეფიციენტი არის 2-სა და 3-ის ჯამი, ხოლო მუდმივი წევრი არის 2-სა და 3-ის ნამრავლი.

ვიეტის თორემა

მოდით, ყველაფერი, რაც გავაკეთეთ (x+2)(x+3)-სთვის, გავიმეოროთ (x+m)(x+n)-სთვის:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+m⋅n=x2+(m+n)x+m⋅n
რომ შევაჯამოთ ეს პროცესი, ვიღებთ შემდეგ განტოლებას:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+m⋅n
მას ეწოდება ვიეტას თეორემა.
ის გვაჩვენებს, თუ x2+bx+c სამწევრის x2+(m+n)x+m⋅n სახით წარმოდგენის ( ანუ, ისეთი ორი m და n რიცხვის მოძებნით, რომ b=m+n და c=m⋅n) შემდეგ რატომ შეგვიძლია ამ სამწევრის დაშლა ასე: (x+m)(x+n).

დასაფიქრებელი შეკითხვა

6) შეგვიძლია თუ არა დაშლის ამ მეთოდის გამოყენება 2x2+3x+1 - ის დასაშლელად?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

როდის შეგვიძლია მამრავლებად დაშლისთვის ამ მეთოდის გამოყენება?

ზოგადად, ვიეტას თეორემა გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როცა ნამდვილად შეგვიძლია სამწევრის ჩაწერა (x+m)(x+n) სახით რაიმე m და n მთელი რიცხვებისთვის.
ეს ნიშნავს, რომ სამწევრის პირველი წევრი აუცილებლად უნდა იყოს x2 (და არა, მაგალითად, 2x2) იმისთვის, რომ შევძლოთ ამ მეთოდის გამოყენება. ამის მიზეზი ისეაა, რომ (x+m)-ისა და (x+n)-ის ნამრავლი ყოველთვის იქნება ისეთი მრავალწევრი, რომლის პირველი წევრიც x2-ია.
თუმცა x2 პირველი წევრის მქონე ყველა სამწევრი არ იშლება. მაგალითად, x2+2x+2 ვერ დაიშლება, რადგან არ არსებობს ორი მთელი რიცხვი, რომელთა ჯამია 2 და ნამრავლია 2.
მომავალ გაკვეთილებში ვისწავლით სხვა სახის მრავალწევრების დაშლის სხვა გზებს.

რთული ამოცანები

7*) დაშალეთ მამრავლებად x2+5xy+6y2.

8*) დაშალეთ მამრავლებად x4−5x2+6.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.