If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა I

თემა 15: გაკვეთილი 5

კვადრატული გამოსახულებების დაშლა. შესავალი

კვადრატული განტოლების მამრავლებად დაშლა: საწყისი კოეფიციენტი = 1

ისწავლეთ, როგორ დავშალოთ კვადრატული გამოსახულებები ორი წრფივი ორწევრის ნამრავლის სახით. მაგალითად, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

რა უნდა იცოდეთ ამ გაკვეთილისთვის

მრავალწევრის დაშლა გულისხმობს მის ჩაწერას ორი ან მეტი მრავალწევრის ნამრავლის სახით. ის არის მრავალწევრების გადამრავლების შებრუნებული პროცესი. ამ თემაზე მეტის გასაგებად იხილეთ ჩვენი წინა სტატია: საერთო გამყოფების გატანა.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში ისწავლით, როგორ დაშალოთ x, squared, plus, b, x, plus, c სახის მრავალწევრი ორი ორწევრის ნამრავლად.

მიმოხილვა: ორწევრების გამრავლება

განვიხილოთ გამოსახულება: left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
მათი ნამრავლის პოვნა შეგვიძლია, თუ რამდენჯერმე გამოვიყენებთ განრიგებადობის კანონს.
ანუ, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
აქედან ვხედავთ, რომ x, plus, 2 და x, plus, 4 არის x, squared, plus, 6, x, plus, 8-ის მამრავლები, მაგრამ როგორ უნდა გვეპოვა ეს მამრავლები, თუ მათგან არ დავიწყებდით?

სამწევრების მამრავლებად დაშლა

სამწევრის (ანუ, 3 წევრისგან შემდგარი მრავალწევრის) დასაშლელად შეგვიძლია, შევაბრუნოთ ორწევრების გადამრავლების ზემოთ ნაჩვენები პროცესი.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ დავიწყებთ x, squared, plus, 6, x, plus, 8 მრავალწევრით, შეგვიძლია, გამოვიყენოთ მამრავლებად დაშლა, რათა ჩავწეროთ ის ორი ორწევრის ნამრავლის სახით: left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
იმის გასაგებად, თუ როგორ ხდება ეს, მოდით, ვნახოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1: x, squared, plus, 5, x, plus, 6 - ის დაშლა

x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff- ის დასაშლელად პირველ რიგში უნდა ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომელთა ნამრავლია start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff (მუდმივი რიცხვი) და ჯამია start color #e07d10, 5, end color #e07d10 (x-ის კოეფიციენტი).
ეს ორი რიცხვია start color #11accd, 2, end color #11accd და start color #1fab54, 3, end color #1fab54, ვინაიდან start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 და start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5.
შემდეგ დავუმატოთ თითოეული მიღებული რიცხვი x-ს ორი ორწევრა მამრავლის მისაღებად: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis და left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
საბოლოოდ, სამწევრი შემდეგნაირად დავშალეთ:
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
დაშლის შესამოწმებლად შეგვიძლია, გადავამრავლოთ ეს ორი ორწევრი:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
x, plus, 2 - ისა და x, plus, 3- ის ნამრავლი ნამდვილად არის x, squared, plus, 5, x, plus, 6. სწორად დავშალეთ!

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) დაშალეთ მამრავლებად x, squared, plus, 7, x, plus, 10.
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

2) დაშალეთ მამრავლებად x, squared, plus, 9, x, plus, 20.

მოდით, გადავხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს და ვნახოთ, მათგან რისი სწავლა შეგვიძლია.

მაგალითი 2: x, squared, minus, 5, x, plus, 6 - ის დაშლა

x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff - ის დასაშლელად ჯერ ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომელთა ნამრავლია start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff და ჯამია start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
ეს ორი რიცხვია start color #11accd, minus, 2, end color #11accd და start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, ვინაიდან left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 და left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5.
შემდეგ დავუმატოთ თითოეული მიღებული რიცხვი x-ს ორი ორწევრა მამრავლის მისაღებად: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis და left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
დაშლის პროცესი ნაჩვენებია ქვემოთ:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
დაშლის კანონზომიერება: მიაქციეთ ყურადღება, რომ x, squared, minus, 5, x, plus, 6 - ის დასაშლელად საჭირო ორივე რიცხვი უარყოფითია: minus, 2 და minus, 3, იმიტომ რომ მათი ნამრავლი უნდა იყოს დადებითი left parenthesis, 6, right parenthesis და მათი ჯამი - უარყოფითი left parenthesis, minus, 5, right parenthesis.
საზოგადოდ, x, squared, plus, b, x, plus, c-ს დაშლისას თუ c დადებითია და b - უარყოფითი, მაშინ ორივე მამრავლი იქნება უარყოფითი!

მაგალითი 3: x, squared, minus, x, minus, 6 - ის დაშლა

x, squared, minus, x, minus, 6 შეგვიძლია, დავწეროთ, როგორც x, squared, minus, 1, x, minus, 6.
x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff - ის დასაშლელად ჯერ ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომელთა ნამრავლია start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff და ჯამია start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10.
ეს ორი რიცხვია start color #11accd, 2, end color #11accd და start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, ვინაიდან left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 და start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1.
შემდეგ, დავუმატოთ თითოეული მიღებული რიცხვი x-ს ორი ორწევრა მამრავლის მისაღებად: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis და left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
დაშლის პროცესი ნაჩვენებია ქვემოთ:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
დაშლის კანონზიმიერებები: მიაქციეთ ყურადღება, რომ x, squared, minus, x, minus, 6 - ის დასაშლელად გვჭირდება ერთი დადებითი რიცხვი left parenthesis, 2, right parenthesis და ერთი უარყოფითი რიცხვი left parenthesis, minus, 3, right parenthesis იმიტომ რომ მათი ნამრავლი უნდა იყოს უარყოფითი left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.
საზოგადოდ, x, squared, plus, b, x, plus, c-ს დაშლისას თუ c უარყოფითია, მაშინ ერთი მამრავლი იქნება დადებითი და ერთი მამრავლი იქნება უარყოფითი.

შეჯამება

საზოგადოდ, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff სახის სამწევრის დასაშლელად უნდა ვიპოვოთ start color #aa87ff, c, end color #aa87ff-ს გამყოფები, რომელთა ჯამიც იქნება start color #e07d10, b, end color #e07d10.
დავუშვათ, ეს რიცხვებია m და n, ესე იგი, c, equals, m, n და b, equals, m, plus, n, მაშინ x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

3) დაშალეთ მამრავლებად x, squared, minus, 8, x, minus, 9.

4) დაშალეთ მამრავლებად x, squared, minus, 10, x, plus, 24.

1) დაშალეთ მამრავლებად x, squared, plus, 7, x, minus, 30.

ეს რატომ მუშაობს?

იმის მისახვედრად, თუ რატომ მუშაობს დაშლის ეს მეთოდი, დავუბრუნდეთ საწყის მაგალითს, სადაც x, squared, plus, 5, x, plus, 6 დავშალეთ, როგორც left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
თუ დავბრუნდებით უკან და გადავამრავლებთ ორ ორწევრს, ვნახავთ start color #11accd, 2, end color #11accd-სა და start color #1fab54, 3, end color #1fab54-ის გავლენას x, squared, plus, 5, x, plus, 6 ნამრავლის ფორმირებაზე.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
ვხედავთ, რომ x-ის კოეფიციენტი არის start color #11accd, 2, end color #11accd-სა და start color #1fab54, 3, end color #1fab54-ის ჯამი, ხოლო მუდმივი წევრი არის start color #11accd, 2, end color #11accd-სა და start color #1fab54, 3, end color #1fab54-ის ნამრავლი.

ვიეტის თორემა

მოდით, ყველაფერი, რაც გავაკეთეთ left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis-სთვის, გავიმეოროთ left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis-სთვის:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
რომ შევაჯამოთ ეს პროცესი, ვიღებთ შემდეგ განტოლებას:
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
მას ეწოდება ვიეტას თეორემა.
ის გვაჩვენებს, თუ x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff სამწევრის x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 სახით წარმოდგენის ( ანუ, ისეთი ორი start color #11accd, m, end color #11accd და start color #1fab54, n, end color #1fab54 რიცხვის მოძებნით, რომ start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 და start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54) შემდეგ რატომ შეგვიძლია ამ სამწევრის დაშლა ასე: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis.

დასაფიქრებელი შეკითხვა

6) შეგვიძლია თუ არა დაშლის ამ მეთოდის გამოყენება 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1 - ის დასაშლელად?
აირჩიეთ 1 პასუხი:
აირჩიეთ 1 პასუხი:

როდის შეგვიძლია მამრავლებად დაშლისთვის ამ მეთოდის გამოყენება?

ზოგადად, ვიეტას თეორემა გამოიყენება მხოლოდ მაშინ, როცა ნამდვილად შეგვიძლია სამწევრის ჩაწერა left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis სახით რაიმე m და n მთელი რიცხვებისთვის.
ეს ნიშნავს, რომ სამწევრის პირველი წევრი აუცილებლად უნდა იყოს x, squared (და არა, მაგალითად, 2, x, squared) იმისთვის, რომ შევძლოთ ამ მეთოდის გამოყენება. ამის მიზეზი ისეაა, რომ left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis-ისა და left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis-ის ნამრავლი ყოველთვის იქნება ისეთი მრავალწევრი, რომლის პირველი წევრიც x, squared-ია.
თუმცა x, squared პირველი წევრის მქონე ყველა სამწევრი არ იშლება. მაგალითად, x, squared, plus, 2, x, plus, 2 ვერ დაიშლება, რადგან არ არსებობს ორი მთელი რიცხვი, რომელთა ჯამია 2 და ნამრავლია 2.
მომავალ გაკვეთილებში ვისწავლით სხვა სახის მრავალწევრების დაშლის სხვა გზებს.

რთული ამოცანები

7*) დაშალეთ მამრავლებად x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared.

8*) დაშალეთ მამრავლებად x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6.