ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა I > თემა 15

გაკვეთილი 3: მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა საერთო გამყოფების მეშვეობით

მრავალწევრების დაშლა საერთო გამყოფის მოშორების საშუალებით

ისწავლეთ, როგორ მოვაშოროთ საერთო გამყოფი მრავალწევრა გამოსახულებებიდან. მაგალითად, 6x²+10x დაშალეთ 2x(3x+5) სახით.

რა უნდა იცოდეთ, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

ორი ან მეტი ერთწევრის უსგ (უდიდესი საერთო გამყოფი) არის მათი ყველა საერთო მარტივი მამრავლის ნამრავლი. მაგალითად,

6 x

-ისა და

4 x^{2}

-ის უსგ არის

2 x

თუ ეს თქვენთვის ახალია, იხილეთ ჩვენი სტატია: ერთწევრების უდიდესი საერთო გამყოფები.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში ისწავლით, როგორ გამოყოთ მრავალწევრებიდან საერთო მამრავლები.

განრიგებადობის კანონი: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

რომ გავიგოთ, როგორ გავიტანოთ საერთო ჯერადები, უნდა გავიაზროთ განრიგებადობის კანონი.

მაგალითად,

3 x^{2}

-ისა და

4 x + 3

-ის ნამრავლის საპოვნელად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ განრიგებადობის კანონი ქვემოთ ნაჩვენები გზით:

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ორწევრის თითოეული წევრი გამრავლდა საერთო მამრავლზე -

3 x^{2}

-ზე.

რადგან განრიგებადობის კანონი იგივეობაა, ამ პროცესის შებრუნებულიც ასევე ჭეშმარიტი იქნება!

თუ დავიწყებთ ასე:

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

, შეგვიძლია, გამოვიყენოთ განრიგებადობის კანონი

3 x^{2}

-ის ფრჩხილებს გარეთ გასატანად და მივიღებთ:

3 x^{2} (4 x + 3)

მიღებული გამოსახულება მოცემულია მამრავლების სახით, რადგან ჩაწერილია, როგორც ორი მრავალწევრის ნამრავლი, მაშინ, როცა საწყისი გამოსახულება წარმოადგენს ორი წევრის ჯამს.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) დაშალეთ $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ მამრავლებად.

2 x (3 x) + 2 x (5)

- ის მამრავლების სახით ჩასაწერად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ განრიგებადობის კანონი.

მიუხედავად იმისა, რომ,

2 x (3 x) + 2 x (5) = 6 x^{2} + 10 x

გამოსახულება მართებულია (ეს მიიღება მამრავლების თითოეულ წევრზე გადამრავლებით),

6 x^{2} + 10 x

არ არის მამრავლებად დაშლილი.

საბოლოოდ, $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ გამოსახულება მამრავლებად შემდეგნაირად დაიშლება: $2 x (3 x + 5)$ ‍.

უდიდესი საერთო გამყოფის (უსგ) გატანა ფრჩხილებს გარეთ

მრავალწევრიდან უსგ-ს ფრჩხილებს გარეთ გასატანად შემდეგნაირად ვიქცევით:

ვიპოვოთ მრავალწევრის ყველა წევრის უსგ.
თითოეული წევრი წარმოვადგინოთ უსგ-სა და რამე მამრავლის ნამრავლის სახით.
გამოვიყენოთ განრიგებადობის კანონი უსგ-ს ფრჩხილებს გარეთ გასატანად.

მოდით, გავიტანოთ უსგ

2 x^{3} - 6 x^{2}

მრავალწევრიდან.

ნაბიჯი 1: ვიპოვნოთ უსგ.

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

ესე იგი,

2 x^{3} - 6 x^{2}

მრავალწევრის უსგ არის

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

ნაბიჯი 2: თითოეული წევრი წარმოვადგინოთ $2 x^{2}$ ‍-სა და რაიმე მამრავლის ნამრავლის სახით.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

საძიებელი მამრავლები შეგვიძლია, ვიპოვოთ თითოეული წევრის უსგ-ზე

(2 x^{2})

გაყოფით.

პირველი იქნება $\frac{2 x^{3}}{2 x^{2}} = x$ ‍.
მეორე წევრი იქნება $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2}} = 3$ ‍.

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ეს გამოსახულებები შედგება თითოეულ ერთწევრში დარჩენილი მამრავლებისგან:

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

ასე, რომ მოცემული მრავალწევრი შეიძლება, შემდეგნაირად ჩაიწეროს:

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

უსგ-ს გატანა ფრჩხილებს გარეთ.

ახლა შეგვიძლია განრიგებადობის კანონის გამოყენება

2 x^{2}

-ის ფრჩხილებს გარეთ გასატანად.

მიღებული შედეგის შემოწმება

შეგვიძლია, ასე შევამოწმოთ, სწორად დავშალეთ თუ არა გამოსახულება: მრავალწევრი ისევ

2 x^{2}

-ზე გავამრავლოთ.

რადგან მიღებული გამოსახულება საწყისი მრავალწევრის ანალოგიურია, ჩვენი დაშლა მართებულია!

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

2) გაიტანეთ უდიდესი საერთო გამყოფი შემდეგი მრავალწევრიდან: $12 x^{2} + 18 x$ ‍.

ნაბიჯი 1: ვიპოვნოთ უსგ.

$12 x^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍
$18 x = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x$ ‍

ასე რომ,

12 x^{2} + 18 x

-ის უსგ არის

2 \cdot 3 \cdot x

ან

6 x

ნაბიჯი 2: თითოეული წევრი წარმოვადგინოთ $6 x$ ‍-სა და რაიმე მამრავლის ნამრავლის სახით.

$12 x^{2} = (6 x) (2 x)$ ‍
$18 x = (6 x) (3)$ ‍

მოცემული მრავალწევრი შეიძლება, შემდეგნაირად ჩაიწეროს :

12 x^{2} + 18 x = (6 x) (2 x) + (6 x) (3)

უსგ-ს გატანა ფრჩხილებს გარეთ.

ახლა შეგვიძლია განრიგებადობის კანონის გამოყენება

6 x

-ის ფრჩხილებს გარეთ გასატანად.

საბოლოოდ, $12 x^{2} + 18 x$ ‍-დან უსგ-ს გატანის შემდეგ მივიღებთ შემდეგ გამოსახულებას: $6 x (2 x + 3)$ ‍.

3) გაიტანეთ უდიდესი საერთო გამყოფი შემდეგი მრავალწევრიდან:

10 x^{2} + 25 x + 15 =

ნაბიჯი 1: ვიპოვნოთ უსგ.

$10 x^{2} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x$ ‍
$25 x = 5 \cdot 5 \cdot x$ ‍
$15 = 3 \cdot 5$ ‍

ესე იგი,

10 x^{2} + 25 x + 15

მრავალწევრის უსგ არის

5

ნაბიჯი 2: თითოეული წევრი წარმოვადგინოთ $5$ ‍-სა და რაიმე მამრავლის ნამრავლის სახით.

$10 x^{2} = (5) (2 x^{2})$ ‍
$25 x = (5) (5 x)$ ‍
$15 = (5) (3)$ ‍

მოცემული მრავალწევრი შეიძლება, შემდეგნაირად ჩაიწეროს :

10 x^{2} + 25 x + 15 = (5) (2 x^{2}) + (5) (5 x) + (5) (3)

უსგ-ს გატანა ფრჩხილებს გარეთ.

ახლა შეგვიძლია განრიგებადობის კანონის გამოყენება

5

-ის ფრჩხილებს გარეთ გასატანად.

საბოლოოდ, $10 x^{2} + 25 x + 15$ ‍-დან უსგ-ს გატანის შემდეგ მივიღებთ შემდეგ გამოსახულებას: $5 (2 x^{2} + 5 x + 3)$ ‍.

4) გაიტანეთ უდიდესი საერთო გამყოფი შემდეგი მრავალწევრიდან:

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

ნაბიჯი 1: ვიპოვნოთ უსგ.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$8 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$x^{2} = x \cdot x$ ‍

ასე რომ,

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}

-ის უსგ არის

x \cdot x

ან

x^{2}

ნაბიჯი 2: თითოეული წევრი წარმოვადგინოთ $x^{2}$ ‍-სა და რაიმე მამრავლის ნამრავლის სახით.

$x^{4} = (x^{2}) (x^{2})$ ‍
$8 x^{3} = (x^{2}) (8 x)$ ‍
$x^{2} = (x^{2}) (1)$ ‍

მოცემული მრავალწევრი შეიძლება, შემდეგნაირად ჩაიწეროს :

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} = (x^{2}) (x^{2}) - (x^{2}) (8 x) + (x^{2}) (1)

უსგ-ს გატანა ფრჩხილებს გარეთ.

ახლა შეგვიძლია განრიგებადობის კანონის გამოყენება

x^{2}

-ის ფრჩხილებს გარეთ გასატანად.

საბოლოოდ, $x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}$ ‍-დან უსგ-ს ფრჩხილებს გარეთ გატანის შემდეგ მივიღებთ შემდეგ გამოსახულებას: $x^{2} (x^{2} - 8 x + 1)$ ‍.

შეგვიძლია თუ არა, ვიყოთ უფრო ეფექტური?

თუ უსგ-ს ფრჩხილებს გარეთ გატანის პროცესი თქვენთვის სირთულეს არ წარმოადგენს, შეგიძლიათ, სცადოთ უფრო სწრაფი მეთოდი:

უსგ-ს პოვნის შემდეგ მამრავლების სახით ჩაწერილი ფორმის მისაღებად საწყისი მრავალწევრის თითოეული წევრი გავყოთ უსგ-ზე, შევკრიბოთ და მიღებული ჯამი გავამრავლოთ უსგ-ზე.

მაგალითად, ნახეთ, როგორ ვიყენებთ ამ სწრაფ მეთოდს, რათა დავშალოთ მამრავლებად

5 x^{2} + 10 x

, რომლის უსგ-ც არის

5 x

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

ორწევრა მამრავლების ფრჩხილებს გარეთ გატანა

არ არის აუცილებელი, რომ მრავალწევრის საერთო გამყოფი ერთწევრი იყოს.

მაგალითად, განვიხილოთ შემდეგი მრავალწევრი:

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

მიაქციეთ ყურადღება, რომ

2 x - 1

ორწევრი ორივე წევრისთვის საერთოა და განრიგებადობის კანონის გამოყენებით შეგვიძლია, მრავალწევრიდან გავიტანოთ:

ხანდახან ამ დაშლის წარმოდგენა უფრო მარტივია, თუ განვახორციელებთ შემდეგნაირ ჩანაცვლებას:

განრიგებადობის კანონის თანახმად,

A B - C B = B (A - C)

მაგრამ თუ

A = x

B = 2 x - 1

და

C = 4

, შეგვიძლია, ჩავსვათ ეს სიდიდეები, რათა სწორად დავშალოთ მამრავლებად.

$x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1) = (2 x - 1) (x - 4)$ ‍

თუ მამრავლებად დაშლას შემდეგნაირად ჩავწერდით:

2 x - 1 (x - 4)

, ეს იმის მანიშნებელი იქნებოდა, რომ მხოლოდ

- 1

მრავლდება

x - 4

-ზე.

ვიცით, რომ მთლიანი მამრვლი,

2 x - 1

, უნდა გადამრავლდეს და ამიტომ უნდა ჩავსვათ ეს მამრავლი ფრჩხილებში.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

5) გაიტანეთ უდიდესი საერთო გამყოფი შემდეგი მრავალწევრიდან:

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

მიაქციეთ ყურადღება, რომ

x + 3

ორივე წევრისთვის საერთოა და განრიგებადობის კანონის გამოყენებით შეგვიძლია, მრავალწევრიდან გავიტანოთ:

მამრავლებად დაშლილს ექნება სახე:

(x + 3) (2 x + 5)

მამრავლებად დაშლის სხვადასხვა ტიპი

ალბათ, ისე ჩანს, თითქოს ტერმინი „მამრავლი" რამდენიმე სხვადასხვა პროცესის აღსაწერად გამოვიყენეთ:

დავშალეთ ერთწევრები, როგორც სხვა ერთწევრების ნამრავლი. მაგალითად: $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
განრიგებადობის კანონის გამოყენებით მრავალწევრებიდან გამოვყავით უსგ. მაგალითად: $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
გამოვყავით ორწევრა საერთო გამყოფები, რის შედეგადაც მივიღეთ ორი ორწევრის ნამრავლის ტოლი გამოსახულება. მაგალითად: $x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)$ ‍.

მიუხედავად იმისა, რომ განსხვავავებულ ხერხებს ვიყენებთ, თითოეულ შემთხვევაში მრავალწევრს ვწერთ ორი ან მეტი მამრავლის ნამრავლის სახით. ასე რომ, სამივე მაგალითში მრავალწევრი ნადვილად დავშალეთ მამრავლებად..

რთული ამოცანები

6*) გაიტანეთ უდიდესი საერთო გამყოფი შემდეგი მრავალწევრიდან:

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

ნაბიჯი 1: ვიპოვნოთ უსგ.

$12 x^{2} y^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍

ესე იგი,

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2}

მრავალწევრის უსგ არის

6 x^{2} y^{2}

ნაბიჯი 2: თითოეული წევრი წარმოვადგინოთ $6 x^{2} y^{2}$ ‍-სა და რაიმე მამრავლის ნამრავლის სახით.

$12 x^{2} y^{5} = (6 x^{2} y^{2}) (2 y^{3})$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2}) (5 x^{2})$ ‍

მოცემული მრავალწევრი შეიძლება, შემდეგნაირად ჩაიწეროს :

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2}) (2 y^{3}) - (6 x^{2} y^{2}) (5 x^{2})

უსგ-ს გატანა ფრჩხილებს გარეთ.

ახლა შეგვიძლია განრიგებადობის კანონის გამოყენება

6 x^{2} y^{2}

-ის ფრჩხილებს გარეთ გასატანად.

მამრავლებად დაშლილი მრავალწევრი შემდეგნაირად ჩაიწერება:

6 x^{2} y^{2} (2 y^{3} - 5 x^{2})

7*) დიდი მართკუთხედი, რომლის ფართობია

14 x^{4} + 6 x^{2}

კვადრატული მეტრი, გაყოფილია ორ პატარა მართკუთხედად, რომელთა ფართობებია

14 x^{4}

და

6 x^{2}

კვადრატული მეტრი.

მართკუთხედის სიგანე (მეტრებში) ტოლია

14 x^{4}

-სა და

6 x^{2}

-ის უდიდესი საერთო გამყოფის.

რას უდრის დიდი მართკუთხედის სიგრძე და სიგანე?

სიგანე =

მეტრი

სიგრძე =

მეტრი

ვიცით, რომ მართკუთხედის სიგანე ტოლია

14 x^{4}

-სა და

6 x^{2}

-ის უდიდესი საერთო გამყოფის. მოდით, ვიპოვოთ ეს გამყოფი!

$14 x^{4} = 2 \cdot 7 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

რადგან უსგ არის

2 x^{2}

, მართკუთხედის სიგანე იქნება

2 x^{2}

დიდი მართკუთხედის სიგრძის გაგება შეგვიძლია ორი პატარა მართკუთხედის სიგრძეების საშუალებით, რომლებსაც ვიპოვით ფართობის ფორმულის გამოყენებით:

A = (l) (w)

(Area = სიგრძე \times სიგანე)

და იმ ფაქტის გათვალისწინებით, რომ

w = 2 x^{2}

$\begin{aligned} 14 x^{4} მართკუთხედი \\ 14 x^{4} = (l) (2 x^{2}) \\ \frac{14 x^{4}}{2 x^{2}} = l \\ 7 x^{2} = l \end{aligned}$ ‍ $\begin{aligned} The 6 x^{2} Rectangle \\ 6 x^{2} = (l) (2 x^{2}) \\ \frac{6 x^{2}}{2 x^{2}} = l \\ 3 = l \end{aligned}$ ‍

ამ სიგრძეების შეკრებით მივიღებთ დიდი მართკუთხედის სიგრძეს:

7 x^{2} + 3

მიაქციეთ ყურადღება, რომ იგივე შედეგს მივიღებდით, თუ

2 x^{2}

-ს გავიტანდით დიდი მართკუთხედის

14 x^{4} + 6 x^{2}

ფართობიდან:

$\begin{aligned} 14 x^{4} + 6 x^{2} & = (2 x^{2}) (7 x^{2}) + (2 x^{2}) (3) \\ = 2 x^{2} (7 x^{2} + 3) \end{aligned}$ ‍

ორივე შემთხვევაში ვხედავთ, რომ დიდი მართკუთხედის სიგრძეა $7 x^{2} + 3$ ‍ მეტრი.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ალგებრა I

კურსი: ალგებრა I > თემა 15

რა უნდა იცოდეთ, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

განრიგებადობის კანონი: a(b+c)=ab+ac‍

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

უდიდესი საერთო გამყოფის (უსგ) გატანა ფრჩხილებს გარეთ

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

შეგვიძლია თუ არა, ვიყოთ უფრო ეფექტური?

ორწევრა მამრავლების ფრჩხილებს გარეთ გატანა

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

მამრავლებად დაშლის სხვადასხვა ტიპი

რთული ამოცანები

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

განრიგებადობის კანონი: $a (b + c) = a b + a c$ ‍