საკოორდინატო სიბრტყე: შესავალი

ეს არის რენე დეკარტის პორტრეტი. ერთ-ერთი უდიდესი მოაზროვნე, მათემატიკოსიცა და ფილოსოფოსიც. მგონი ტენდენციას ამჩნევთ, რომ დიდი ფილოსოფოსები დიდი მათემატიკოსებიც იყვნენ და პირიქით. დეკარტი გალილეოს თანამედროვე იყო, მასზე 32 წლით უმცროსი, თუმცა, გალილეოს სიკვდილიდან მალევე გარდაიცვალა. იგი გაცილებით ახალგაზრდა გარდაიცვალა, გალილეო თავის 70-იან წლებში იყო, დეკარტი კი დაახლოებით 54 წლის იქნებოდა. იგი განსაკუთრებით ცნობილია თავისი ამ გამოთქმის გამო, საკმაოდ ფილოსოფიური ფრაზაა, "ვაზროვნებ, მაშასადამე ვარსებობ". მინდა ასევე დავამატო, ალგებრასთან კავშირში არაა, მაგრამ ჩემი აზრით კარგი ფრაზაა, მისი შედარებით ნაკლებად ცნობილი ფრაზა. სწორედ ეს. მომწონს, რადგან ძალიან პრაქტიკულია და გვააზრებინებს, რომ ასეთი დიადი ტვინებიც კი, ფილოსოფიისა და მათემატიკის სვეტები, საბოლოო ჯამში მაინც რიგითი ადამიანები იყვნენ. მან თქვა: "არ უნდა დანებდე, მე ყველა შეცდომა დავუშვი, რაც კი შეიძლებოდა დამეშვა და მაინც არ დავნებებივარ." ეს ჩემი აზრით საკმაოდ კარგი რჩევაა. მან ფილოსოფიასა და მათემატიკაში მრავალი რამ გააკეთა, მაგრამ მიზეზი, რატომაც ის ამ ვიდეოშია, არის ის, რომ სწორედ ამ ადამიანმა დაამყარა ძალიან მნიშვნელოვანი კავშირი ალგებრასა და გეომეტრიას შორის. მარცხნივ აქ გვაქვს ალგებრის სამყარო. რაც ცოტა გავარჩიეთ კიდეც. გვაქვს სიმბოლოებთან დაკავშირებული კითხვები, რომლებიც განსხვავებულ მინშვნელობებს იღებენ შეიძლება გვქონდეს y უდრის 2x-ს მინუს ერთს. ეს განტოლება გვაძლევს დამოკიდებულებას x-სა და y-ს შორის. შეგვიძლია ცხრილი ავაგოთ და x-ის მნიშვნელობებისთვის ვიპოვოთ თუ როგორი იქნება y-ის მნიშვნელობები. შეგვიძლია ნებისმიერი x-ის არჩევა და შემდეგ y-ის გამოთვლა. მე მაინც მარტივ მნიშვნელობებს ავიღებ, რათა მათემატიკა არ გართულდეს, მაგალითად, თუ x უდრის მიუნუს ორს, მაშინ y ტოლი იქნება ორჯერ მინუს ორს მინუს ერთის, რაც უდრის მინუს ოთხს მინუს ერთის, ანუ მინუს ხუთს. როცა x არის მინუს ერთი, y ტოლი იქნება ორჯერ მინუს ერთს მინუს ერთის, რაც ტოლი იქნება მინუს სამის. თუ x უდრის ნულს, y ტოლი იქნება ორჯერ ნულს მინუს ერთის, რაც ტოლი იქნება მინუს ერთის. კიდევ რამდენიმე გავაკეთოთ. თუ x არის ერთი, ნებისმიერის აღება შემეძლო, რა მოხდება როცა x უდრის ორის ფესვს ან როცა x არის მინუს ხუთი გაყოფილი ორზე, ან დადებითი თექვსმეტი. ამ რიცხვებს ვიღებთ, რათა y-ის მნიშვნელობის გამოთვლისას, გამოთვლები გამარტივდეს. მაგრამ როცა x უდრის ერთს, y ტოლი იქნება ორჯერ ერთს მინუს ერთის, ტოლი იქნება ორს მინუს ერთის, რაც არის ერთი. კიდევ ერთს გავაკეთებ. ამჯერად ახალი ფერით. იისფერი იყოს. თუ x არის ორი, მაშინ y იქნება: ორჯერ ორს მინუს ერთი, რაც უდრის ოთხს მინუს ერთს, ანუ უდრის სამს. დამოკიდებულება გარკვეულწილად დავადგინეთ. თავიდან ვთქვით თუ როგორია ზოგადი დამოკიდებულება x-სა და y-ს შორის, შემდეგ კი დავაკონკრეტეთ, ანუ x-ის კონკრეტული მნიშვნელობებისთვის ვეძებდით შესაბამის y მნიშვნელობებს. დეკარტმა გაიაზრა, რომ შეგვიძლია ამისი ვიზუალიზაცია. შეგვიძლია თითოეული წერტილი ვიზუალურად გამოვსახოთ. თუმცა ეს ასევე დაგვეხმარება დამოკიდებულების ვიზუალიზაციაში. დეკარტმა ფაქტობრივად ააშენა ხიდი აბსტრაქტულ ალგებრულ რიცხვებსა და გეომეტრიას შორის, რომელიც ხილულ ფორმებს ზომებს და კუთხეებს სწავლობს. აქ გვაქვს გეომეტრიის სამყარო. ცხადია, ისტორიაში იქნებოდნენ ადამიანები, რომლებიც ამ საკითხებზე მუშაობდნენ, მაგრამ ისინი დავიწყებულნი არიან. სანამ მსოფლიო დეკარტს მიიღებდა, გეომეტრია ევკლიდური იყო. ეს იგივე გეომეტრიაა რაც მერვე, მეცხრე და მეათე კლასებში ისწავლება. ეს არის გეომეტრია, რომელიც შეისწავლის დამოკიდებულებას სამკუთხედებს და მათ კუთხეებს შორის, დამოკიდებულებას წრეებს შორის, გვაქვს რადიუსები, წრეში ჩახაზული სამკუთხედები და კიდევ მრავალი სხვა რამ, რაც გეომეტრიის ვიდეოებში საფუძვლიანადაა გარჩეული. დეკარტმა ჩათვალა, რომ შეეძლო ისევე მოეხდინა ალგებრული ჩანაწერის ვიზუალიზაცია, როგორც ევკლიდე ახერხებდა ამას სამკუთხედებისა და წრეების შემთხვევაში და ასეც მოიქცა. ფურცელი შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ როგორც ორგანზომილებიანი სიბრტყე, ან, უფრო ზუსტად, ორგანზომილებიანი სიბრტყის ნაწილი. ვამბობთ ორ განზომილებას, რადგან სულ ორი მიმართულება გვაქვს. არის ზემოთ და ქვემოთ მიმართულება, ეს პირველი ლურჯად დავხატავ, ვიზუალიზაცია გვინდა, ჯობს ფერები მონაცვლეობით იყოს, გვაქვს ზემოთა და ქვემოთა მიმართულება და გვაქვს მარჯვენა და მარცხენა მიმართულება. ამიტომ ეწოდება ამ სიბრტყეს ორგანზომილებიანი. თუ სამი განზომილებაა, მაშინ დაემატება შიგნით-გარეთ მიმართულება. ორ განზომილებაზე მუშაობა მარტივია, რადგან ეკრანიც ორგანზომილებიანია. დეკარტმა თქვა: გვაქვს ორი ცვლადი და მათ შორის ასეთი დამოკიდებულებაა, რატომ არ შეგვიძლია ეს ცვლადები ამ განზომილებებს დავუკავშიროთ? შეთანხმების მიხედვით, y იყოს დამოკიდებული ცვლადი, სწორედ ისე, როგორც აქამდე ვაკეთებდით. ეს მოვათავსოთ ვერტიკალურ ღერძზე, დამოუკიდებელი ცვლადი კი, რომლიც უბრალოდ იმისთვის ავირჩიეთ რომ შესაბამისი y მნიშვნელობა გვენახა, მოვათავსოთ ჰორიზონტალურ ღერძზე. პირველად სწორედ დეკარტმა გამოიყენა x-ები და y-ები ასე, მომავალში z-საც შევხვდებით, უცნობი ცვლადების სახით, რომლებითაც ვმანიპულირებთ. დეკარტემ მოიაზრა, რომ შეიძლებოდა განზომილებების გადანომრვა, ვთქვათ, x მიმართულებით ეს იყოს მინუს სამი, ეს იყოს მინუს ორი, ეს კი იყოს მინუს ერთი. ეს იქნება ნული. ვნომრავთ x-ის მიმართულებას მარცხნიდან მარჯვნივ. ეს იქნება დადებითი ერთი, ეს - დადებითი ორი, ეს კი - დადებითი სამი. ასევე შეგვიძლია მოვიქცეთ y მიმართულებითაც, გვექნება, ვთქვათ, მინუს 5, მინუს 4, მინუს 3, ვეცდები უფრო ზუსტად დავხაზო. რაღაცებს გავასუფთავებ. ამას წავშლი, ამას კი ცოტა მეტად დავაგრძელებ, რომ მინუს ხუთამდე შევძლო ჩასვლა ისე, რომ ყველაფერი სუფთად იყოს. ჩავიდეთ აქამდე. შეგვიძლია გადავნომროთ, ეს არის ერთი, ეს - ორი, ეს - სამი, ეს იქნება მინუს ერთი, მინუს ორი. ეს უბრალოდ შეთანხმებაა, შეიძლებოდა პირიქით გადანომრვაც, შეგვეძლო x აქ დაგვესვა, y კი აქ, ეს დადებით მიმართულებად გვექცია, ეს კი - უარყოფითად. ეს უბრალოდ აღნიშვნაა, რომელსაც ხალხი დეკარტის გამო მიეჩვია. მინუს ორი, მინუს სამი, მინუს ოთხი და მინუს ხუთი. დეკარტმა მოიფიქრა, რომ შეგვიძლია x-ის და y-ის მნიშვნელობები წერტილს დავუკავშიროთ ორ განზომილებაში. შეგვიძლია ავიღოთ x კოორდინატი, ავიღოთ x მნიშვნელობა, მაგალითად მინუს ორი, და ვთქვათ, რომ მისი მდებარეობაა x ღერძზე, ნულს მარცხნივ რადგან უარყოფითია და იგი დაკავშრებულია ვერტიკალური მიმართლების მინუს ხუთთან. ესეიგი y-ის მნიშვნელობაა მინუს ხუთი, ამიტომ, გადავდივართ ორით მარცხნივ და ხუთით ქვემოთ. მივდივართ ამ წერტილამდე. ესეიგი, მინუს ორი და მინუს ხუთი შეგვიძლია ამ წერტილს დავუკავშიროთ, ამ ორგანზომილებიან სიბრტყეზე. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ წერტილების კოორდინატებია (-2, -5), რაც მეუბნება თუ სად უნდა ვიპოვო ეს წერტილი. ამას ეწოდება დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, რენე დეკარტის საპატივცემულოდ, რადგან ეს ყველაფერი მისი მოფიქრებულია. მან სრულიად სენსაციურად დაუკავშირა ორ განზომილებაში წერტილებს დამოკიდებულებები. გავაკეთოთ შემდეგი ნაბიჯი, ეს არის დამოკიდებულება, როცა x უდრის მინუს ერთს, y უდრის მინუს სამს, ესეიგი x არის მინუს ერთი, y არის მინუს სამი. ეს სწორედ ეს წერტილია. შეთანხმების თანახმად, როცა კოორდინატებს ვწერთ, ჯერ ვწერთ x კოორდინატებს, შემდეგ კი y. დღეს ყველა ასე იქცევა. (-1, -3) იქნება ეს წერტილი. შემდეგი წერტილია როცა x ნულია, y კი მინუს ერთი. როცა x არის ნული, ანუ არც მარცხნივ არც მარჯვნივ, y არის მინუს ერთი, ანუ ჩავდივართ ერთით. ესეიგი ესაა წერტილი (0, -1). აი აქ. ამისი გაგრძელება შეიძლება. როცა x არის ერთი, y უდრის ერთს. როცა x არის ორი, y არის სამი, ამასაც იისფრად დავწერ. როცა x არის ორი, y არის სამი. (2, 3), ეს სტაფილოსფერი კი არის (1, 1), რაც თავისთავად კარგია, უბრალოდ x ების მნიშვნელობებს ვსვამთ, მაგრამ დეკარტმა გაიაზრა, რომ თუ ვცადეთ და x-ის ყველა მნიშვნელობა აღვნიშნეთ, თუ ყველა x-ის შევსება შევძელით, გამოგვივა წრფის დახაზვა. ესეიგი, ყველა შესაძლო x-ის ჩასმით, მივიღებთ წრფეს, რომელიც დაახლოებით ასე გამოიყურება. თუ ავიღებთ რაიმე x-ს და მოვძებნით მის y მნიშვნელობას, ეს რეალურად იქნება წერტილი ამ წრფეზე. ან, სხვანაირად რომ შევხედოთ, ნებსმიერი წერტილი ამ წრფეზე, ამ განტოლების ამოხსნას წარმოადგენს. ესეიგი, თუ აქ წერტილი გვაქვს, რომლის მიხედვით როცა x არის 1/2, y არის 2. ჩავწეროთ, (1.5, 2). ეს განტოლების ამოხსნაა. როცა x არის 1.5, ორჯერ 1.5 მინუს ერთ უდრის ორს. ასე მოულოდნელად, დეკარტმა ალგებრასა და გეომეტრიას შორის ხიდის აგება მოახერხა. შეგვიძლია ნებისმიერი x და y წყვილის ვიზუალიზაცია, რომლებიც ამ განტოლებას აკმაყოფილებენ. დეკარტმა დააკავშირა ალგებრა და გეომეტრია, სწორედ ამიტომ ამ ტიპის კოორდინატებს, რომელთა მეშვეობით წერტილებს ვხაზავთ დეკარტის კოორდინატები ეწოდა. განტოლების პირველი ტიპი რომელსაც ვისწავლით, იქნება დაკავშირებული სწორედ ამ მასალასთან. (ეს შედის ალგებრის ტრადიციულ კურიკულუმში) მათ წრფივი განტოლებები ეწოდებათ. შეიძლება იფიქროთ, რომ ეს უბრალო განტოლებაა და ისედაც ჩანს რა რისი ტოლია, მაგრამ რატომაა ისინი წრფივი? რისი ბრალია მათი წრფესთან მსგავსება? იმისთვის რომ ეს გავიაზროთ, სწორედ რენე დეკარტეს ნახტომია საჭირო თუ ამის გრაფიკს ააგებთ დეკარტის კოორდინატებში, ევკლიდურ სიბრტყეში, მიიღებთ წრფეს. მომავალში ნახავთ რომ არსებობს განტოლებები, რომლებითაც წრფეს ვერ მიიღებთ, მიიღებთ რაიმე სახის მრუდს.