If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 9

გაკვეთილი 6: სრულ კვადრატამდე შევსება
მათემატიკა
ალგებრა (ყველა მასალა)
კვადრატული განტოლებები და ფუნქციები
სრულ კვადრატამდე შევსება
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

კვადრატული განტოლებების ამოხსნა კვადრატის დასრულების საშუალებით

Google–ის საკლასო ოთახი
მაგალითად, ამოხსენით x²+6x=-2, რისთვისაც გადააქციეთ (x+3)²=7 გამოსახულებად და შემდეგ ამოიღეთ კვადარტული ფესვი.

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

აქამდე კვადრატულ განტოლებებს ხსნიდით კვადრატული ფესვის ამოღებით ან მამრავლებად დაშლის მეთოდით. ეს მეთოდები შედარებით მარტივი და ეფექტურია, როცა მათი გამოყენება შეიძლება. სამწუხაროდ, მათ ყოველთვის ვერ ვიყენებთ.
ამ გაკვეთილში ისწავლით მეთოდს, რომლის საშუალებითაც ამოხსნით ნებისმიერი სახის კვადრატულ განტოლებას.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნა კვადრატის დასრულების საშუალებით

განვიხილოთ განტოლება x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2. ამ განტოლებისთვის კვადრატული ფესვისა და მამრავლებად დაშლის მეთოდებს ვერ გამოვიყენებთ.
მაგრამ იმედი არ დავკარგოთ! ჩვენ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ მეთოდი, რომელსაც ეწოდება სრულ კვადრატამდე შევსება. დავიწყოთ ამოხსნა და შემდეგ უფრო დაწვრილებით მიმოვიხილოთ.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=7დავუმატოთ 9, ანუ, შევავსოთ სრულ კვადრატამდე.(3)(x+3)2=7გამოსახულება მარცხენა მხარეს დავშალოთ მამრავლებად.(4)(x+3)2=±7ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი.(5)x+3=±7(6)x=±7−3გამოვაკლოთ 3.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{დავუმატოთ 9, ანუ, შევავსოთ სრულ კვადრატამდე.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{გამოსახულება მარცხენა მხარეს დავშალოთ მამრავლებად.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{გამოვაკლოთ 3.}\end{aligned}
გამოდის, რომ ამონახსნებია x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 და x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3.

რა მოხდა აქ?

მე-start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd პუნქტში x, squared, plus, 6, x-ზე 9-ის დამატებით გაგვიმართლა და გამოსახულება სრული კვადრატი გამოვიდა, რომელიც შეიძლება, მამრავლებად ასე დაიშალოს: left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared.
რა თქმა უნდა, ეს არ იყო დამთხვევა. რიცხვი 9 სპეციალურად შეირჩა, რათა გამოსახულებას სრული კვადრატის სახე მიეღო.

როგორ შევავსოთ გამოსახულება სრულ კვადრატამდე

იმისათვის, რომ მივხვდეთ, რატომ ავირჩიეთ 9, საკუთარ თავს უნდა ვკითხოთ: თუ x, squared, plus, 6, x სრული კვადრატის გამოსახულების დასაწყისია, რა უნდა იყოს მუდმივი წევრი?
ვივარაუდოთ, რომ გამოსახულება შეიძლება დაიშალოს, როგორც სრული კვადრატი left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, სადაც მუდმივი წევრი იქნება a, რომელიც ისევ უცნობია. ეს გამოსახულება განივრცობა x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared-ის სახით, რაც გვეუბნება ორ რამეს:
  1. x კოეფიციენტი, რომელიც, ვიცით, რომ არის 6, უნდა იყოს 2, a-ს ტოლი. ეს იმას ნიშნავს, რომ a, equals, 3.
  1. მუდმივი რიცხვი, რომელიც უნდა დავუმატოთ, უდრის a, squared-ს, რაც არის 3, squared, equals, 9.
თქვენით სცადეთ რამდემინე კვადრატის დასრულება.
რომელი მუდმივი წევრი აკლია სრულ კვადრატს, რომელიც იწყება ასე: x, squared, plus, 10, x?
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

რომელი მუდმივი წევრი აკლია სრულ კვადრატს, რომელიც იწყება ასე: x, squared, minus, 2, x ?
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

რომელი მუდმივი წევრი აკლია სრულ კვადრატს, რომელიც იწყება ასე: x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x ?
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5

გამოწვევის კითხვა

რომელი მუდმივი წევრი აკლია სრულ კვადრატს, რომელიც იწყება ასე: x, squared, plus, b, dot, x?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ეს კითხვა სრულ კვადრატამდე შევსების სწრაფ მეთოდს გვაძლევს მათ, ვისაც მოგვწონს სწრაფი მეთოდები და დაზეპირებასთან არაფერი გვაქვს საწინააღმდეგო. ის გვაჩვენებს, რომ x, squared, plus, b, x - ის სრულ კვადრატამდე შესავსებად, სადაც b ნებისმიერი რიცხვია, ამ გამოსახულებას უნდა დავუმატოთleft parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared.
მაგალითად, x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x რომ იყოს სრული კვადრატი, მას უნდა დავუმატოთ left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9.

განტოლებების კიდევ ერთხელ ამოხსნა

კარგი! ახლა, როცა უკვე სერტიფიცირებული სრულ კვადრატამდე შემვსებელი ხართ, დავუბრუნდეთ განტოლებების ამოხსნას ჩვენი მეთოდით.
შევხედოთ ახალ მაგალითს, განტოლებას x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=13დაუმატეთ 25, სრული კვადრატის შევსება.(3)(x−5)2=13დაშალეთ მარცხნივ მდგომი გამოსახულება.(4)(x−5)2=±13ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.(5)x−5=±13(6)x=±13+5დაუმატეთ 5.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{დაუმატეთ 25, სრული კვადრატის შევსება.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{დაშალეთ მარცხნივ მდგომი გამოსახულება.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{დაუმატეთ 5.}\end{aligned}
მარცხენა მხარის საწყისი გამოსახულება რომ იყოს სრული კვადრატი, მე–start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd ხაზში 25 დავუმატეთ. როგორც ეს ყოველთვის ხდება განტოლებების შემთხვევაში, იგივე გავაკეთეთ მარჯვენა მხარესაც, რის შედეგადაც minus, 12 გახდა 13.
ზოგადად, კვადრატის დასასრულებლად დასამატებელი რიცხვის არჩევა არ არის დამოკიდებული განტოლების მარჯვენა მხარეზე, მაგრამ ეს რიცხვი ყოველთვის უნდა დავუმატოთ ორივე მხარეს.
ახლა თქვენი ჯერია, რომ ამოხსნათ რამდენიმე განტოლება.
ამოხსენით x, squared, minus, 8, x, equals, 5.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოხსენით x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

განტოლების დალაგება კვადრატის დასრულებამდე

წესი 1: გამოვყოთ ცვლადი წევრი მუდმივი წევრისგან

ასე ხდება განტოლების x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1 ამოხსნა:
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1გამოაკელით x.(3)x2+4x=7დაუმატეთ 6.(4)x2+4x+4=11დაუმატეთ 4, სრული კვადრატის შევსება.(5)(x+2)2=11დაშალეთ.(6)(x+2)2=±11ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.(7)x+2=±11(8)x=±11−2გამოაკელით 2.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{გამოაკელით }x.}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{დაუმატეთ 6.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{დაუმატეთ 4, სრული კვადრატის შევსება.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{დაშალეთ.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{გამოაკელით 2.}\end{aligned}
განტოლების ერთ მხარეს კვადრატის დასრულება ვერ დაგვეხმარება, თუ x წევრი მეორე მხარესაც გაქვთ. სწორედ ამიტომ გამოვაკელით მე–start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995 მწკრივში x, ყველა ცვლადიანი წევრი კი მარცხენა მხარეს მოვათავსეთ.
გარდა ამისა, იმისთვის, რომ x, squared, plus, 4, x გახდეს სრული კვადრატი, მას უნდა დავუმატოთ 4, მაგრამ მანამდე უნდა დავრწმუნდეთ, რომ ყველა მუდმივი წევრი განტოლების მეორე მხარეს მოვათავსეთ. სწორედ ამიტომ დავუმატეთ მე–start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff ხაზში 6 და დავტოვეთ x, squared, plus, 4, x ცალკე.

წესი 2: დარწმუნდით, რომ x, squared-ის კოეფიციენტი 1-ის ტოლია.

ასე ხდება განტოლების 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42 ამოხსნა:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−14გაყავით 3-ზე.(3)x2−12x+36=22დაუმატეთ 36, სრული კვადრატის შევსება.(4)(x−6)2=22დაშალეთ.(5)(x−6)2=±22ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.(6)x−6=±22(7)x=±22+6დაუმატეთ 6.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{გაყავით 3-ზე.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{დაუმატეთ 36, სრული კვადრატის შევსება.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{დაშალეთ.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{ამოიღეთ კვადრატული ფესვი.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{დაუმატეთ 6.}\end{aligned}
სრულ კვადრატამდე შევსების მეთოდი მუშაობს მხოლოდ მაშინ, თუ x, squared-ის კოეფიციენტია 1.
სწორედ ამიტომ მე-start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c ხაზში გამოსახულება გავყავით x, squared-ის კოეფიციენტზე, რაც უდრის 3–ს.
ზოგჯერ x, squared-ის კოეფიციენტზე გაყოფის შედეგად სხვა კოეფიციენტები წილადებად გარდაიქმნება. ეს არ ნიშნავს იმას, რომ შეცდომა დაუშვით, ეს ნიშნავს, რომ ამოხსნისას უბრალოდ წილადებთან მუშაობა მოგიწევთ.
ახლა თქვენი ჯერია, რომ ამოხსნათ ასეთი განტოლება.
ამოხსენით 4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.