ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 9

გაკვეთილი 3: კვადრატული გამოსახულების ამოხსნა კვადრატული ფესვის ამოღებით

კვადრატული გამოსახულების ამოხსნა კვადრატული ფესვის ამოღებით

ისწავლეთ x^2=36 ან (x-2)^2=49 სახის კვადრატული განტოლებების ამოხსნა.

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

თქვენ უკვე ამოხსენით წრფივი განტოლებები, რომლებიც შეიცავენ მუდმივ წევრებს (ჩვეულებრივ რიცხვებს) და წევრებს პირველ ხარისხში აყვანილი ცვლადებით

(x^{1} = x)

ახლა ისწავლით, თუ როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლებები, რომლებიც შეიცავენ მეორე ხარისხში აყვანილ ცვლადიან წევრებს

(x^{2})

აი, როგორი ტიპის კვადრატული განტოლებების ამოხსნას ისწავლით ამ სტატიაში:

x^{2} = 36

(x - 2)^{2} = 49

[რატომ არის ეს კვადრატული განტოლება?]

2 x^{2} + 3 = 131

ახლა საქმეს მივუბრუნდეთ.

$x^{2} = 36$ ‍-ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

ვთქვათ, გვინდა, ამოვხსნათ შემდეგი განტოლება:

x^{2} = 36

. ჯერ სიტყვიერად ჩამოვაყალიბოთ, რის პოვნას გვთხოვს განტოლება. ის გვეკითხება, საკუთარ თავზე გამრავლების შედეგად, რომელი რიცხვი იქნება $36$ ‍-ის ტოლი.

ეს შეკითხვა, შეიძლება, გეცნობათ. ეს იმიტომ, რომ ეს 36-ის კვადრატული ფესვის განსაზღვრებაა, რაც მათემატიკურად ასე გამოისახება:

\sqrt{36}

ასე გამოიყურება განტოლების ამოხსნის მთელი პროცესი:

\begin{aligned} x^{2} & = 36 \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{36} & ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი. \\ x & = \pm \sqrt{36} \\ x & = \pm 6 \end{aligned}

ახლა გადავხედოთ, თუ რას მოიცავდა ეს ამოხსნა.

რას ნიშნავს $\pm$ ‍ ნიშანი

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ნებისმიერ დადებით რიცხვს აქვს ორი კვადრატული ფესვი: დადებითი კვადრატული ფესვი და უარყოფითი კვადრატული ფესვი. მაგალითად, კვადრატში აყვანილი

6

და

- 6

, ორივე, უდრის

36

-ს. აქედან გამომდინარე, ამ განტოლებას აქვს ორი ამონახსნი.

ნიშანი

\pm

ამ ცნების მათემატიკურად წარმოჩენაში ყვეხმარება. მაგალითად,

\pm 6

ნიშნავს: „

6

ან

- 6

შებრუნებული მოქმედებების შესახებ

წრფივი განტოლებების ამოხსნისას ცვლადის გამოსაყოფად შებრუნებულ მოქმედებებს ვიყენებდით: თუ ცვლადს

3

ჰქონდა დამატებული, ჩვენ განტოლების ორივე მხარეს ვაკლებდით

3

-ს. თუ ცვლადი

4

-ზე იყო გამრავლებული, მაშინ განტოლების ორივე მხარეს

4

-ზე ვყოფდით.

კვადრატში აყვანის შებრუნებული მოქმედება კვადრატული ფესვის ამოღებაა. ოღონდ, სხვა მოქმედებებისგან განსხვავებით, კვადრატული ფესვის ამოღებისას აუცილებლად უნდა ამოვიღოთ ორივე ფესვი (დადებითიც *და *უარყოფითიც).

ახლა თქვენით ამოხსენით რამდენიმე მსგავსი განტოლება.

ამოცანა 1

ამოხსენით $x^{2} = 16$ ‍.

x = \pm

ამოცანა 2

ამოხსენით $x^{2} = 81$ ‍.

x = \pm

ამოცანა 3

ამოხსენით $x^{2} = 5$ ‍.

$(x - 2)^{2} = 49$ ‍-ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

ასე ხდება

(x - 2)^{2} = 49

განტოლების ამოხსნა:

\begin{aligned} (x - 2)^{2} & = 49 \\ \sqrt{(x - 2)^{2}} & = \sqrt{49} & ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი. \\ x - 2 & = \pm 7 \\ x & = \pm 7 + 2 & დავუმატოთ 2. \end{aligned}

შესაბამისად, პასუხებია $x = 9$ ‍ და $x = - 5$ ‍.

ახლა გადავხედოთ, თუ რას მოიცავდა ეს ამოხსნა.

$x$ ‍-ის გამოცალკავება

კვადრატული ხარისხის ნიშნის მოსაშორებლად გამოვიყენეთ შებრუნებული მოქმედება - ამოვიღეთ კვადრატული ფესვი.

x

-ის გამოსაყოფად ეს მნიშვნელოვანი ნაბიჯი იყო, მაგრამ იმისათვის, რომ სრულად გამოგვეყო

x

, მოგვიწია ბოლოს

2

დაგვემატებინა.

ამოხსნების გააზრება

ჩვენი მუშაობა დასრულდა

x = \pm 7 + 2

-ით. როგორ გავიგოთ ეს გამოსახულება? დაიმახსოვრეთ, რომ

\pm 7

ნიშნავს: "

+ 7

ან

- 7

." ამიტომ, ჩვენი პასუხი უნდა დავყოთ ამ ორი შემთხვევის მიხედვით:

x = 7 + 2

ან

x = - 7 + 2

ეს გვაძლევს ორ ამონახსნს:

x = 9

და

x = - 5

[შეამოწმეთ, რომ ესენი ნამდვილად ამონახსნებია.]

ახლა თქვენით ამოხსენით რამდენიმე მსგავსი განტოლება.

ამოცანა 4

ამოხსენით $(x + 3)^{2} = 25$ ‍.

ამოცანა 5

ამოხსენით $(2 x - 1)^{2} = 9$ ‍.

ამოცანა 6

ამოხსენით $(x - 5)^{2} = 7$ ‍.

რატომ უნდა გავხსნათ ფრჩხილები

მოდით დავუბრუნდეთ მაგალითს:

(x - 2)^{2} = 49

. ვთქვათ, ფრჩხილების გახსნა მოგვინდა. წრფივ განტოლებებზე მუშაობისასაც ასე არ ვაკეთებთ?

ფრჩხილების გახსნის შედეგად მივიღებთ შემდეგ განტოლებას:

x^{2} - 4 x + 4 = 49

ამ განტოლებაში თუ გვსურდა კვადრატული ფესვის ამოღება, უნდა ამოგვეღო

x

-ის კვადრატული ფესვი. მაგრამ ასე მივიღებთ

\sqrt{x}

-ს, რაც ვერ დაგვეხმარება.

ამის საპირისპიროდ,

x^{2}

ან

(x - 2)^{2}

გამოსახულებებიდან კვადრატული ფესვების ამოღება მოგვცემს მშვენიერ გამოსახულებებს

x

-ს ან

(x - 2)

-ს.

ამიტომ, კვადრატულ განტოლებებში ძალიან გამოსადეგია მამრავლებად დაშლა, რადგან ის გვეხმარება კვადრატული ფესვის ამოღებაში.

$2 x^{2} + 3 = 131$ ‍-ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

ყველა კვადრატული განტოლება მაშინვე არ ამოიხსნება კვადრატული ფესვის ამოღებით. ზოგჯერ გვჭირდება კვადრატში აყვანილი წევრის გამოყოფა, სანამ მისგან ფესვს ამოვიღებთ.

მაგალითად,

2 x^{2} + 3 = 131

განტოლება რომ ამოვხსნათ, ჯერ უნდა გამოვაცალკევოთ

x^{2}

. ეს ხდება ზუსტად ისე, როგორც

x

წევრის გამოცალკავება წრფივ განტოლებაში.

\begin{aligned} 2 x^{2} + 3 & = 131 \\ 2 x^{2} & = 128 & გამოვაკლოთ 3. \\ x^{2} & = 64 & გავყოთ 2-ზე. \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{64} & ამოვიღოთ კვადრატული ფესვი. \\ x & = \pm 8 \end{aligned}

ახლა თქვენით ამოხსენით რამდენიმე მსგავსი განტოლება.

ამოცანა 7

ამოხსენით $3 x^{2} - 7 = 5$ ‍.

ამოცანა 8

ამოხსენით $4 (x - 1)^{2} + 2 = 38$ ‍.

რთული ამოცანა

ამოხსენით $x^{2} + 8 x + 16 = 9$ ‍.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 9

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

x2=36‍ -ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

რას ნიშნავს ±‍ ნიშანი

შებრუნებული მოქმედებების შესახებ

(x−2)2=49‍ -ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

x‍ -ის გამოცალკავება

ამოხსნების გააზრება

რატომ უნდა გავხსნათ ფრჩხილები

2x2+3=131‍ -ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

$x^{2} = 36$ ‍-ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

რას ნიშნავს $\pm$ ‍ ნიშანი

$(x - 2)^{2} = 49$ ‍-ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა

$x$ ‍-ის გამოცალკავება

$2 x^{2} + 3 = 131$ ‍-ის და მსგავსი განტოლებების ამოხსნა