If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ნებისმიერი ფორმის კვადრატული განტოლების დაშლა

გამოიყენეთ მთელი ცოდნა კვადრატული განტოლებების დაშლის შესახებ, რომ შეძლოთ ნებისმიერი ფორმის კვადრატული გამოსახულებების დაშლა.

რა უნდა იცოდეთ ამ გაკვეთილისთვის

ამ გაკვეთილში გამოყენებული იქნება დაშლის შემდეგი მეთოდები:

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ სტატიაში ივარჯიშებთ ამ მეთოდების ერთად გამოყენებაში, რათა სრულად დაშალოთ ნებისმიერი სახის კვადრატული გამოსახულება.

შესავალი: მამრავლებად დაშლის მეთოდების მიმოხილვა

მეთოდიმაგალითიროდის ვიყენებთ?
საერთო მამრავლების გატანა= 6x2+3x=3x(2x+1)თუ მრავალწევრის თითოეულ წევრს აქვს საერთო მამრავლი
ვიეტის თეორემა= x2+7x+12=(x+3)(x+4)თუ მრავალწევრს აქვს სახე: x2+bx+c და არსებობს c-ს გამყოფები, რომლებიც ჯამში იძლევა b-ს.
დაჯგუფების მეთოდი= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)თუ მრავალწევრს აქვს სახე: x2+bx+c და არსებობს ac-ს გამყოფები, რომლებიც ჯამში იძლევა b-ს.
სრული კვადრატის სამწევრები= x2+10x+25=(x+5)2თუ პირველი და ბოლო წევრი სრული კვადრატია და შუა წევრი არის მათგან კვადრატული ფესვების გაორკეცებული ნამრავლი.
კვადრატების სხვაობა=  x29=(x3)(x+3)თუ გამოსახულება წარმოადგენს კვადრატების სხვაობას.

ყველაფრის შეჯამება

პრაქტიკაში იშვიათად გეტყვიან, დაშლის რა მეთოდ(ებ) ი გამოიყენოთ ამოცანის ამოსახსნელად. ასე რომ, მნიშნვნელოვანია, განავითაროთ გარკვეული სახის მოქმედებათა სია, რომლის გამოყენებაც დაშლის პროცესს გაგიადვილებთ.
აქ მოყვანილია ასეთი სიის ერთი მაგალითი, სადაც დასმულია კითხვები იმისთვის, რომ განვსაზღვროთ, როგორ დავშალოთ კვადრატული მრავალწევრი.

კვადრატული გამოსახულების მამრავლებად დაშლა

ნებისმიერი დაშლის ამოცანის დაწყებამდე სასარგებლოა, გამოსახულება ჩავწეროთ სტანდარტული სახით.
რადგან საქმე ესაა, შეგიძლიათ, გადახვიდეთ კითხვების შემდეგ სიაზე:
კითხვა 1: არსებობს თუ არა საერთო გამყოფი?
თუ არა, გადადით მე–2 კითხვაზე, თუ კი, გაიტანეთ უსგ და გადადით მე–2 კითხვაზე.
დაშლის პროცესში ძალიან მნიშვნელოვანი ნაბიჯია უსგ-ს გატანა, რადგან ის ამცირებს რიცხვებს, რაც, თავის მხრივ, აამარტივებს კანონზომიერებების აღმოჩენას!
კითხვა 2: გვაქვს თუ არა კვადრატების სხვაობა (მაგალითდ x216 ან 25x29)?
თუ გვაქვს კვადრატების სხვაობა, დაშალეთ a2b2=(a+b)(ab) ფორმულის გამოყენებით, თუ არა, გადადით მე–3 კითხვაზე.
კითხვა 3: გვაქვს თუ არა სრული კვადრატის სამწევრი (მაგალითად x210x+25 ან 4x2+12x+9)?
თუ სრული კვადრატის სამწევრი არსებობს, დაშალეთ a2±2ab+b2=(a±b)2 ფორმულის გამოყენებით, თუ არა, გადადით მე–4 კითხვაზე.
კითხვა 4:
ა.) გვაქვს თუ არა შემდეგი სახის გამოსახულება: x2+bx+c?
თუ არა, გადადით მე–5 კითხვაზე, თუ კი, გადადით ბ)-ზე.
ბ.) არსებობს თუ არა c-ს გამყოფები, რომლებიც ჯამში გვაძლევენ b-ს?
თუ არსებობს, დაშალეთ ვიეტის თეორემის გამოყენებით. სხვა შემთხვევაში კვადრატული გამოსახულება მეტად არ დაიშლება.
კითხვა 5: ac-ს მამრავლები ჯამში b-ს გვაძლევს?
თუ უკვე აქ მიხვედით, უნდა იცოდეთ, რომ კვადრატული გამოსახულება უნდა იყოს ax2+bx+c ფორმის, რომელშიც a1. თუ გვაქვს ac-ს მამრავლები, რომლებიც ჯამში b-ს გვაძლევს, დავშალოთ დაჯგუფების მეთოდით. წინააღმდეგ შემთხვევაში, კვადრატული გამოსახულება მეტად აღარ დაიშლება.
ამ სიით ხელმძღვანელობა დაგეხმარებათ, დარწმუნდეთ, რომ მოცემული კვადრატული გამოსახულება ბოლომდე დაშალეთ!
ამის გათვალისწინებით, მოდით, გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1: 5x280-ის მამრავლებად დაშლა

მიაქციეთ ყურადღება, რომ გამოსახულება უკვე სტანდარტული სახითაა ჩაწერილი. შეგვიძლია, გადავიდეთ სიაზე.
კითხვა 1: გვაქვს თუ არა საერთო გამყოფი?
დიახ. 5x2-ის და 80-ის უსგ არის 5. მისი გატანა შემდეგნაირად შეგვიძლია:
5x280=5(x216)
კითხვა 2: გვაქვს თუ არა კვადრატების სხვაობა?
დიახ. x216=(x)2(4)2. შეგვიძლია, გამოვიყენოთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა გამოსახულების მამრავლებად დაშლის გასაგრძელებლად:
5x280=5((x)2(4)2)=5(x+4)(x4)
ამ გამოსახულებაში აღარაა კვადრატული წევრები. მრავალწევრი ბოლომდე დავშალეთ!
საბოლოოდ, 5x280=5(x+4)(x4).

მაგალითი 2: 4x2+12x+9-ის მამრავლებად დაშლა

კვადრატული გამოსახულება ისევ სტანდარტული სახითაა მოცემული. მოდით, დავიწყოთ სიის შემოწმება!
კითხვა 1: გვაქვს თუ არა საერთო გამყოფი?
არა. 4x2-ს, 12x-ს და 9-ს არ აქვს საერთო გამყოფი. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 2: გვაქვს თუ არა კვადრატების სხვაობა?
არა. გვაქვს x წევრი, ასე რომ, ეს ვერ იქნება კვადრატების სხვაობა. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 3: გვაქვს თუ არა სრული კვადრატის სამწევრი?
დიახ. პირველი წევრი სრული კვადრატია, ვინაიდან 4x2=(2x)2, ბოლო წევრიც სრული კვადრატია, რადგან 9=(3)2. ასევე, შუა წევრი არის კვადრატში აყვანილი რიცხვების გაორმაგებული ნამრავლი, ვინაიდან 12x=2(2x)(3).
ამ გამოსახულების დასაშლელად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ სრული კვადრატის სამწევრის ფორმულა.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
საბოლოოდ, 4x2+12x+9=(2x+3)2.

მაგალითი 3: 12x63+3x2-ის მამრავლებად დაშლა

ეს კვადრატული გამოსახულება არაა ჩაწერილი სტანდარტული სახით. შეგვიძლია, ის შემდეგნაირად გადავწეროთ: 3x2+12x63 და შემდეგ გადავიდეთ სიაზე.
კითხვა 1: გვაქვს თუ არა საერთო გამყოფი?
დიახ. 3x2-ის,12x-ისა და 63-ის უსგ არის 3. მისი გატანა შემდეგნაირად შეგვიძლია:
3x2+12x63=3(x2+4x21)
კითხვა 2: გვაქვს თუ არა კვადრატების სხვაობა?
არა. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 3: გვაქვს თუ არა სრული კვადრატის სამწევრი?
არა. მიაქციეთ ყურადღება, რომ 21 არ არის სრული კვადრატი, ასე რომ, ეს ვერ იქნება სრული კვადრატის სამწევრი. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 4ა: გვაქვს თუ არა შემდეგი სახის გამოსახულება: x2+bx+c?
დიახ, მიღებულ კვადრატულ გამოსახულებას, x2+4x21, აქვს ეს სახე.
კითხვა 4ბ: არსებობს თუ არა c-ს გამყოფები, რომლებიც ჯამში გვაძლევენ b-ს?
დიახ, კონკრეტულად, არსებობს 21-ის გამყოფები, რომელთა ჯამია 4.
რადგან 7(3)=21 და 7+(3)=4, შეგვიძლია, დაშლა გავაგრძელოთ შემდეგნაირად:
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)
საბოლოოდ, 3x2+12x63=3(x+7)(x3).

მაგალითი 4: 4x2+18x10-ის მამრავლებად დაშლა

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ამ კვადრატულ გამოსახულებას უკვე აქვს სტანდარტული სახე.
კითხვა 1: გვაქვს თუ არა საერთო გამყოფი?
დიახ. 4x2-ის,18x-ისა და 10-ის უსგ არის 2. მისი გატანა შემდეგნაირად შეგვიძლია:
4x2+18x10=2(2x2+9x5)
კითხვა 2: გვაქვს თუ არა კვადრატების სხვაობა?
არა. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 3: გვაქვს თუ არა სრული კვადრატის სამწევრი?
არა. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 4ა: გვაქვს თუ არა შემდეგი სახის გამოსახულება: x2+bx+c?
არა, კვადრატული გამოსახულების პირველი კოეფიციენტია 2. შემდეგი შეკითხვა.
კითხვა 5: არსებობს თუ არა ac-ს გამყოფები, რომლებიც ჯამში გვაძლევენ b-ს?
მიღებული კვადრატული გამოსახულებაა 2x2+9x5 და, ესე იგი, უნდა ვიპოვოთ 2(5)=10 - ის გამყოფები, რომელთა ჯამია 9.
ვინაიდან (1)10=10 და (1)+10=9, პასუხია დიახ.
ახლა შეგვიძლია, შუა წევრი ჩავწეროთ ასე: 1x+10x და დასაშლელად გამოვიყენოთ დაჯგუფების მეთოდი.
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)გახლიჩეთ შუა წევრი=2((2x21x)+(10x5))დააჯგუფეთ წევრები=2(x(2x1)+5(2x1))გაიტანეთ უსგ-ები=2(2x1)(x+5)გაიტანეთ 2x1

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) დაშალეთ 2x2+4x16 სრულად.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

2) დაშალეთ 3x260x+300 სრულად.

3) დაშალეთ 72x22 სრულად.

4) დაშალეთ 5x2+5x+15 სრულად.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

5) დაშალეთ 8x212x8 სრულად.

6) დაშალეთ 5618x+x2 სრულად.

7) დაშალეთ 3x2+27 სრულად.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.