ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 10

გაკვეთილი 33: მრავალწევრის ნულები და მისი გრაფიკი

მრავალწევრების დადებითი და უარყოფითი შუალედები

გაიგეთ, რა კავშირია მრავალწევრების ამონახსნებსა და იმ შუალედებს შორის, რომლებშიც ეს მრავალწევრები დადებითია ან უარყოფითი.

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

მრავალწევრა f-ის ნულები ის წერტილებია, სადაც x ღერძს კვეთს y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis გრაფიკი.

მაგალითისთვის, დავუშვათ რომ f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. ვინაიდან f ფუნქციის ნულები არის minus, 3 და 1, გრაფიკი y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis გადაკვეთს x ღერძს წერტილებში left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis და left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis.

თუ ეს თქვენთვის სიახლეა, გირჩევთ გადახედოთ ჩვენს სტატიას მრავალწევრების ნულების შესახებ.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

მიუხედავად იმისა, რომ x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები ფუნქციის გრაფიკის მნიშვნელოვანი მახასიათებელია, თვალსაჩინო სურათისთვის მეტი რამ გვჭირდება.

მრავალწევრა ფუნქციის ნიშნის ცოდნა ნულებს შორის რამდენიმე სიცარიელის შევსებაში დაგვეხმარება.

ამ სტატიაში ვისწავლით, როგორ განვსაზღვროთ ინტერვალები, სადაც მრავალწევრა ფუნქცია დადებითი ან უარყოფითია და როგორ დავაკავშიროთ ეს ინფორმაცია გრაფიკთან.

დადებითი და უარყოფითი ინტერვალები

მრავალწევრა ფუნქციის ნიშანი მიმდევრობით მყოფ ნებისმიერ ორ ნულს შორის არის ან ყოველთვის დადებითი, ან ყოველთვის უარყოფითი.

[რატომ?]

მაგალითისთვის, განვიხილოთ გრაფიკზე ასახული ფუნქცია f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

გრაფიკზე ვხედავთ, რომ f, left parenthesis, x, right parenthesis ყოველთვის არის...

...უარყოფითი, როდესაც minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
...დადებითი, როდესაც minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
...უარყოფითი, როდესაც 1, is less than, x, is less than, 3.
...დადებითი, როდესაც 3, is less than, x, is less than, infinity.

თუმცა, არ არის აუცილებელი რომ მრავალწევრა ფუნქციამ ნულებს შორის ნიშანი შეიცვალოს.

მაგალითისთვის, განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკი g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

გრაფიკზე ვხედავთ, რომ g, left parenthesis, x, right parenthesis ყოველთვის არის...

...უარყოფითი, როდესაც minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
...დადებითი, როდესაც minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
...დადებითი, როდესაც 0, is less than, x, is less than, infinity.

ყურადღება მიაქციეთ იმას, რომ g, left parenthesis, x, right parenthesis არ იცვლის ნიშანს x, equals, minus, 2 მნიშვნელობისას.

მრავალწევრა ფუნქციის დადებითი და უარყოფითი ინტერვალების განსაზღვრა

ვნახოთ, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared მრავალწევრა ფუნქციის რომელი ინტერვალებია დადებითი და რომელი - უარყოფითი.

f ფუნქციის ნულებია minus, 3 და 1. შედეგად გვაქვს სამი ინტერვალი, რომლებშიც f ფუნქციის ნიშანი მუდმივია:

ვიპოვოთ f ფუნქიის ნიშანი minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 მნიშვნელობებისთვის.

ჩვენ ვიცით, რომ f ფუნქცია ამ ინტერვალში ან ყოველთვის დადებით იქნება, ან ყოველთვის უარყოფითი. შეგვიძლია, ვიპოვოთ ნიშანი f-ის განსაზღვრით ამ ინტერვალის ერთი რომელიმე მნიშვნელობისთვის. ვინაიდან minus, 4 ამ ინტერვალშია, ვიპოვოოთ f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.

ჩვენ მხოლოდ მრავალწევრა ფუნქციის ნიშანი გვაინტერესებს, მისი სრულყოფილად შეფასება არ გვჭირდება:

\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2\\ \\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&\small{\gray{\text{გამოთვალეთ მხოლოდ პასუხის ნიშანი.}}}\\\\ &=(-)(+)&&\small{\gray{\text{უარყოფითის კვადრატი დადებითია.}}}\\ \\ &=-&&\small{\gray{\text{უარყოფითჯერ დადებითი უარყოფითია.}}}\end{aligned}

აქ ვხედავთ, რომ f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis უარყოფითია, და შესაბამისად f, left parenthesis, x, right parenthesis ყოველთვის იქნება უარყოფითი minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 ინტერვალისთვის.

შეგვიძლია, პროცესი გავამეოროთ დარჩენილი ინტერვალებისთვის.

[ამის ნახვა მინდა, თუ შეიძლება!]

შედეგები შეჯამებულია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

ეს თავსებადია y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis გრაფიკთან.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis ფუნქციის ნულები არის x, equals, minus, 6 და x, equals, minus, 1.

რა არის g ფუნქციის ნიშანი ინტერვალში minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1?

(Choice A)
g, left parenthesis, x, right parenthesis ყოველთვის დადებითია ინტერვალში minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.
(Choice B)
g, left parenthesis, x, right parenthesis ყოველთვის უარყოფითია ინტერვალში minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.
(Choice C)
minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1 შუალედში g, left parenthesis, x, right parenthesis დადებითიცაა და უარყოფითიც.

[დახმარება მჭირდება!]

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis ფუნქციის ნულებია x, equals, minus, 5, x, equals, 2 და x, equals, 3 მნიშვნელობებში.

რა არის h, left parenthesis, x, right parenthesis ფუნქციის ნიშანი ინტერვალში minus, 5, is less than, x, is less than, 2?

(Choice A)
h, left parenthesis, x, right parenthesis ყოველთვის დადებითია ინტერვალში minus, 5, is less than, x, is less than, 2.
(Choice B)
h, left parenthesis, x, right parenthesis ყოველთვის უარყოფითია ინტერვალში minus, 5, is less than, x, is less than, 2.
(Choice C)
h, left parenthesis, x, right parenthesis დადებითიცაა და უარყოფითიც, ინტერვალში minus, 5, is less than, x, is less than, 2.

[დახმარება მჭირდება!]

რთული ამოცანა

3*) ქვემოთ მოცემულებიდან, რომელი შეიძლება იყოს f g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed ფუნქციის გრაფიკი?

[დახმარება მჭირდება!]

დადებითი და უარყოფითი ინტერვალების განსაზღვრა გრაფიკის გამოსახულებიდან

მრავალწევრა ფუნქციის დადებითი ან უარყოფითი ინტერვალების დადგენის კიდევ ერთი გზა არის გრაფიკის აგება მრავალწევრა ფუნქციის უსასრულობაში ქცევასა და ნულების სიმრავლეზე დაყრდნობით.

დამატებითი დეტალებისთვის იხილეთ ჩვენი სტატია მრავალწევრა ფუნქციების გრაფიკების შესახებ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.