ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 10

გაკვეთილი 37: მრავალწევრიანი ფუნქციების სიმეტრიულობა

მრავალწევრების სიმეტრიულობა

ისწავლეთ, როგორ განსაზღვროთ, მრავალწევრა ფუნქცია ლუწია, კენტია თუ არც ერთი.

რა უნდა იცოდეთ კარგად, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

ფუნქცია არის ლუწი, თუ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია

y

ღერძის მიმართ.

ალგებრულად,

f

არის ლუწი ფუნქცია, თუ ყველა

x

-ისთვის

f (- x) = f (x)

ფუნქცია არის კენტი თუ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია სათავის მიმართ.

ალგებრულად,

f

არის კენტი ფუნქცია, თუ ყველა

x

-ისთვის

f (- x) = - f (x)

თუ ეს თქვენთვის სიახლეა, გირჩევთ, გადახედოთ ჩვენს შესავალს ფუნქციების სიმეტრიაში.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

თქვენ ისწავლით, მრავალწევრის განტოლებაზე დაყრდნობით როგორ განსაზღვროთ, მრავალწევრი ლუწია, კენტი, თუ არცერთი.

გამოკვლევა: ერთწევრების სიმეტრია

ერთწევრი არის ერთწევრიანი მრავალწევრი. ერთწევრებს აქვს ფორმა

f (x) = a x^{n}

, სადაც

a

არის ნამდვილი რიცხვი და

n

არის მთელი რიცხვი, რომელიც მეტია ან ტოლია

0

-ის.

ამ მაგალითში გავაანალიზებთ რამდენიმე ერთწევრა ფუნქციის სიმეტრიას, რათა დავინახოთ, შეგვიძლია თუ არა, დავადგინოთ რამე ზოგადი წესი, რომლის მიხედვითაც ერთწევრა ფუნქცია კენტია ან ლუწი.

ზოგადად, იმის დასადგენად,

f

ფუნქცია კენტია, ლუწი თუ არც კენტი და არც ლუწი, ვაანალიზებთ გამოსახულებას

f (- x)

-თვის:

თუ $f (- x)$ ‍ იგივეა რაც $f (x)$ ‍, მაშინ $f$ ‍ ლუწია.

თუ $f (- x)$ ‍ საპირისპიროა $f (x)$ ‍-ის, მაშინ $f$ ‍ კენტია.
სხვა შემთხვევებში ის არც ლუწია და არც კენტი.

პირველ მაგალითში დავადგინოთ,

f (x) = 4 x^{3}

ფუნქცია ლუწია, კენტი თუ არცერთი.

$\begin{aligned} f (- x) & = 4 (- x)^{3} \\ = 4 (- x^{3}) & (- x)^{3} = - x^{3} \\ = - 4 x^{3} & გაამარტივეთ \\ = - f (x) & რადგან f (x) = 4 x^{3} \end{aligned}$ ‍

ამ შემთხვევაში,

f (- x) = - f (x)

, და შესაბამისად,

f

ფუნქცია კენტი ფუნქციაა.

[მინდა, ვნახო გრაფიკი, იმისათვის, რომ შევამოწმო, რომ ის ნამდვილად კენტია.]

ახლა თავად სცადეთ რამდენიმე მაგალითი, რათა ნახოთ, შეგიძლიათ თუ არა კანონზომიერების დანახვა.

1) ფუნქცია $g (x) = 3 x^{2}$ ‍ ლუწია, კენტი, თუ არცერთი?

[დახმარება მჭირდება!]

2) ფუნქცია $h (x) = - 2 x^{5}$ ‍ ლუწია, კენტი თუ არცერთი?

[დახმარება მჭირდება!]

გამოკვლევის დასკვნა

ზემოთ მოცემული მაგალითებიდან ჩანს, რომ თუ

f

არის ლუწი ხარისხის ერთწევრა ფუნქცია, მაშინ

f

ფუნქცია ლუწი ფუნქციაა. ამის მსგავსად, თუ

f

ფუნქცია ერთწევრაა და კენტი ხარისხის, მაშინ

f

ფუნქცია კენტი ფუნქციაა.

	ლუწი ფუნქცია	კენტი ფუნქცია
მაგალითები	$g (x) = 3 x^{2}$ ‍	$h (x) = - 2 x^{5}$ ‍
ზოგადად	$f (x) = a x^{n}$ ‍, სადაც $n$ ‍ არის $ლუწი$ ‍	$f (x) = a x^{n}$ ‍, სადაც $n$ ‍ არის $კენტი$ ‍

ეს იმიტომაა, რომ

(- x)^{n} = x^{n}

როდესაც

n

ლუწია და

(- x)^{n} = - x^{n}

როდესაც

n

კენტია.

შესაძლოა, რომ სწორედ ამ მიზეზით დაერქვათ ლუწ და კენტ ფუნქციებს ეს სახელები!

კვლევა: მრავალწევრების სიმეტრია

ამ გამოკვლევაში შევისწავლით იმ მრავალწევრა ფუნქციების სიმეტრიას, რომლებსაც ერთზე მეტი თავისუფალი წევრი აქვთ.

მაგალითი 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

იმის დასადგენად,

f

ფუნქცია ლუწია, კენტი თუ არცერთი, ვპოულობთ

f (- x)

-ს.

\begin{aligned} f (- x) & = 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} - 5 \\ = 2 (x^{4}) - 3 (x^{2}) - 5 & (- x)^{n} = x^{n} როცა n ლუწია \\ = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 & გაამარტივეთ \\ = f (x) & რადგან f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 \end{aligned}

ვინაიდან

f (- x) = f (x)

f

ფუნქცია ლუწი ფუნქციაა.

ყურადღება მივაქციოთ, რომ

f

-ის ყველა წევრი ლუწი ხარისხისაა.

მაგალითი 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

როგორც ყოველთვის, ვიწყებთ

g (- x)

-ის პოვნით.

\begin{aligned} g (- x) & = 5 (- x)^{7} - 3 (- x)^{3} + (- x) \\ = 5 (- x^{7}) - 3 (- x^{3}) + (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} როცა n კენტია \\ = - 5 x^{7} + 3 x^{3} - x & გაამარტივეთ \end{aligned}

ამ ეტაპზე, მივაქციოთ ყურადღება იმას, რომ

g (- x)

-ის ყოველი წევრი მოპირდაპირეა

g (x)

-ის ყოველი წევრის. ანუ

g (- x) = - g (x)

, და ამგვარად

g

ფუნქცია კენტი ფუნქციაა.

ყურადღება მივაქციოთ, რომ

g

ფუნქციის ყველა წევრი კენტი ხარისხისაა.

მაგალითი 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

ვიპოვოთ

h (- x)

\begin{aligned} h (- x) & = 2 (- x)^{4} - 7 (- x)^{3} \\ = 2 (x^{4}) - 7 (- x^{3}) & (- x)^{4} = x^{4} და (- x)^{3} = - x^{3} \\ = 2 x^{4} + 7 x^{3} & გაამარტივეთ \end{aligned}

2 x^{4} + 7 x^{3}

არ არის იგივე, რაც

h (x)

და არც

h (x)

-ის მოპირდაპირეა.

მათემატიკურად,

h (- x) \neq h (x)

და

h (- x) \neq - h (x)

, და ამგვარად

h

არც ლუწია და არც კენტი.

მივაქციოთ ყურადღება, რომ

h

ფუნქციას აქვს ერთი ლუწი ხარისხის წევრი და ერთი კენტი ხარისხის წევრი.

გამოკვლევის დასკვნა

ზოგადად, შეგვიძლია, დავადგინოთ, არის თუ არა მრავალწევრა ფუნქია ლუწი, კენტი, თუ არცერთი, თითოეულ წევრზე დაკვირვებით.

‍	ზოგადი წესი	მრავალწევრას მაგალითი
ლუწი	მრავალწევრი ლუწია, თუ ყოველი წევრი ლუწი ფუნქციაა.	$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍
კენტი	მრავალწევრი კენტია, თუ ყოველი წევრი კენტი ფუნქციაა.	$g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍
არცერთი	მრავალწევრი არც ლუწია და არც კენტი, თუ იგი შედგება როგორც ლუწი, ასევე კენტი ფუნქციებისგან.	$h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍