მრავალწევრის მამრავლებად დაშლა: საერთო მამრავლი (ძველი)

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ გამოსახულების უდიდესი საერთო გამყოფი ოთხი x მეოთხე ხარისხში გამრავლებული y-ზე პლუს რვა x მესამე ხარისხში გამრავლებული y-ზე უდიდესი საერთო გამყოფის ფრჩხილებს გარეთ გატანაში გულისხმობენ "იპოვე ოთხი x მეოთხე ხარისხისხში y-სა და რვა x მესამე ხარისხში y-ს უდიდესი საერთო გამყოფი და გამოსახულებიდან გამოიტანეთ" უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნა ოდნავ უცნაურია, რადგან არ ვიცით x-ის და y-ის მნიშვნელობები, არ ვიცით მათი ნიშანი, მეტი არიან თუ არა ერთზე, ამიტომ ეს უდიდესი საერთო გამყოფი არ იქნება რაიმე კონკრეტული რიცხვი, ეს გამყოფი თავის თავში გააერთიანებს ამ ორი ელემენტის ყველაზე მეტ შემადგენელ ნაწილს. დავიწყოთ, ჯერ დავშალოთ ოთხი x მეოთხე ხარისხში y: თავიდან ოთხს ვშლით მარტივ მამრავლებად ეს იქნება ორჯერ ორი, გამრავლებული x მეოთხე ხარისხში, ანუ: გამრავლებული x-ზე, x-ზე, x-ზე და x-ზე, და გამრავლებული y-ზე. ეს გამოსახულება მის შემადგენელ ნაწილებად დავშალეთ. ახლა იგივე გავიმეოროთ რვა x მესამე ხარისხში y-ის შემთხვევაშიც. რვა რომ დავშალოთ მარტივ მამრავლებად იქნება ორჯერ ორჯერ ორი, x მესამე ხარისხში იქნება x-ჯერ, x-ჯერ x, შემდეგ კი ყველაფერი გამრავლებული y-ზე. რომელი გამყოფებია საერთო? ასეთი რაც შეიძლება მეტი უნდა ვიპოვოთ, რათა უდიდესი საერთო გამყოფი გავიგოთ. პირველში ორი ორიანია, მეორეში კი - სამი ამიტომ საერთო გვაქვს ორი ორიანი პირველში ოთხი x-ა, მეორეში კი - სამი, ამიტომ საერთო იქნება სამი x თითო y ორივეშია, ამიტომ y საერთო იქნება. უდიდესი საერთო გამყოფი იქნება: ორჯერ ორჯერ ორი გამრავლებული x-ზე, x-ზე x-ზე და გამრავლებული y-ზე, ან ოთხი x მესამე ხარისხში y. სწორედ ამის გატანა გვსურს ფრჩხილებს გარეთ ეს შეგვიძლია გადავწეროთ, როგორც-- თუ ოთხ x მესამე ხარისხ y-ს ფრჩხილებს გარეთ გავიტანთ, ორივე ელემენტი ოთხ მესამე ხარისხ y-ზე უნდა გავყოთ. ოთხ x მეოთხე ხარისხში y-ს პლუს რვა x მესამე ხარისხში y და ორივე გაყოფილი ოთხ x მესამე ხარისხში y-ზე. ფრჩხილებს გარეთ გატანილი ელემენტი რომ გადაგვემრავლებინა ორივეზე, მნიშვნელთან შეიკვეცებოდა და ისევ ხელახლა თავდაპირველ გამოსახულებას მივიღებდით. ამიტომ, იმედია ხვდებით, რომ ეს ორივე ზუსტად ერთი და იგივე გამოსახულებებია აქ ოთხი x მესამე ხარისხში y ფრჩხილებს გარეთ გაგვაქვს, ამ ელემენტებს კი ვამარტივებთ. ოთხები შეიკვეცება, x მეოთხე ხარისხში გაყოფილი x მესამე ხარისხზე იქნება x. y გაყოფილი y-ზე კი არის ერთი. შემდეგ: რვა გაყოფილი ოთხზე არის ორი, x მესამე ხარისხში გაყოფილი x-ზე მესამე ხარისხში არის ერთი, y გაყოფილი y-ზე კი უდრის ერთს. ფრჩხილებში მივიღეთ x-ს პლუს ორი. ასევე შეგვეძლო იმის ნახვაც,თუ რა დარჩებოდა უდიდესი საერთო გამყოფის ამოღების შემდეგ. ჩვენ ამოვიღეთ ეს და ეს, რა დარჩა ოთხ x მეოთხე ხარისხ y-ში? დარჩა მხოლოდ ეს ერთი x. სწორედ ამიტომ აქ გვაქვს ეს ერთი x. როცა დავშალეთ რვა x მესამე ხარისხში y, ამოვიღეთ სამი x და y და დაგვრჩა მხოლოდ ეს ორიანი. სულ არ არის აუცილებელი ამ პროცესის გავლა, უბრალოდ ამან უკეთ დაგანახათ, თუ რა ხდება ამ დროს. ოთხ x მეოთხე ხარისხში y-ს პლუს რვა x მესამე ხარისხში y. ოთხი და რვის უდიდესი საერთო გამყოფი არის ოთხი. ამიტომ ამოვიღოთ ოთხი. x მეოთხე ხარისხის და x მესამე ხარისხის უდიდესი საერთო გამყოფი არის x მესამე ხარისხში y და y-ის უდიდესი საერთო გამყოფი კი არის y ასე მივიღებდით ოთხ x მესამე ხარისხში y-ს. აქედან ოთხი რომ ამომეღო დამრჩებოდა ერთი, x მეოთხე ხარისხიდან რომ ამომეღო x მესამე ხარისხში, დამრჩებოდა მხოლოდ x, y-იდან თუ y-ს ამოვიღებ მაშინ კი დამრჩება მხოლოდ ერთი ეს წევრი გახდება x. ხოლო აქედან რომ ამოვიღო ოთხი x მესამე ხარისხში y: რვიდან ოთხი რომ ამოვიღო მრჩება ორი, x მესამე ხარისხიდან x მესამე ხარისხის ამოღებისას მრჩება ერთი, y-იდან y-ის ამოღებისასაც მრჩება ერთი. საბოლოოდ ვიღებ x-ს პლუს ორს.