ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 20

გაკვეთილი 7: მატრიცების შეკრებისა და სკალარული გამრავლების თვისებები

მატრიცის სკალარული გამრავლების თვისებები

მატრიცის სკალარული გამრავლების თვისებები

ისწავლეთ მატრიცების სკალარული გამრავლების კანონები (როგორიცაა განრიგებადობის კანონი) და დაადგინეთ, რა აქვთ მათ ნამდვილი რიცხვების გამრავლების მსგავსი.

ქვემოთ მოცემულ ცხრილში

A

და

B

ერთნაირი განზომილებების მატრიცებია,

c

და

d

= სკალარები და

O

– ნულოვანი მატრიცა.

თვისება	მაგალითი
გამრავლების ჯუფდებადობის კანონი	$(c d) A = c (d A)$ ‍
განრიგებადობის კანონები	$c (A + B) = c A + c B$ ‍
	$(c + d) A = c A + d A$ ‍
ერთის იგივეობის თვისება	$1 A = A$ ‍
ნულზე გამრავლების თვისება	$0 \cdot A = O$ ‍
	$c \cdot O = O$ ‍
გამრავლების ჩაკეტილობის თვისება	$c A$ ‍ არის მატრიცა, რომელსაც იგივე განზომილებები აქვს, რაც - $A$ ‍ მატრიცას.

ეს სტატია შეგასწავლით ამ თვისებებს.

მატრიცები და სკალარული გამრავლება

მატრიცა არის რიცხვების მართკუთხედოვანი განლაგება სვეტებსა და რიგებში.

როცა ვმუშაობთ მატრიცებზე, ნამდვილ რიცხვებს მოვიხსენიებთ სკალარებად.

ტერმინი სკალარული გამრავლება გულისხმობს ნამდვილი რიცხვისა და მატრიცის ნამრავლს. სკალარული გამრავლებისას მატრიცის თითოეული წევრი მრავლდება მოცემულ სკალარზე.

\begin{aligned} 2 \cdot [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{ll} 2 \cdot 5 & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 10 & 4 \\ 6 & 2 \end{array}] \end{aligned}

თუ ამათგან რომელიმე თქვენთვის ახალია, სანამ გააგრძელებდეთ, უნდა ნახოთ შემდეგი სტატიები:

განზომილებების განხილვა

ყურადღება მიაქციეთ, რომ სკალარი გამრავლებული

2 \times 2

მატრიცაზე არის სხვა

2 \times 2

მატრიცა. ზოგადად, მატრიცის საკალრზე ნამრავლი იმავე განზომილებების სხვა მატრიცაა. სწორედ ეს იგულისხმება სკალარზე გამრავლების ჩაკეტილობის თვისებაში!

მატრიცების სკალარული გამრავლება და ნამდვილი რიცხვების გამრავლება

რადგან სკალარული გამრავლება მნიშვნელოვნად ეყრდნობა ნამდვილ რიცხვებზე გამრავლებას, თვისებების დიდი ნაწილი, რომლთაც ნამდვილ რიცხვებში ვიცნობთ, ჭეშმარიტია სკალარული გამრავლების დროსაც.

მოდით, სათითაოდ ვნახოთ თითოეული თვისება.

გამრავლების ჯუფთდებადობის კანონი: $(c d) A = c (d A)$ ‍

ეს თვისება ამბობს, რომ თუ მატრიცა მრავლდება ორ სკალარზე, შეგიძლიათ, ჯერ სკალარები გადაამრავლოთ და შემდეგ გაამრავლოთ მატრიცაზე. ან შეგიძლიათ, მატრიცა ერთ სკალარზე გაამრავლოთ და მიღებული შედეგი – მეორეზე.

შემდეგი მაგალითი ასახავს ამ თვისებას, როცა

c = 2

d = 3

და

A = [\begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 8 & 1 \end{array}]

თითოეულ სვეტში იგივეობის ერთი მხარე გავაერთიანეთ ერთ მატრიცაში. ყურადღება მიაქციეთ, რომ ეს ორი მატრიცა ტოლფასია ნამდვილ რიცხვებზე გამრავლების ჯუფდებადობის კანონის გამო. მაგალითად,

(2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5)

ეს ასახავს, რომ თავდაპირველი გამოსახულებებიც ტოლფასები უნდა იყოს!

განრიგებადობის კანონი:

$c (A + B) = c A + c B$ ‍

ეს თვისება ამბობს, რომ მატრიცების შეკრებისას სკალარის განრიგება შეგვიძლია.

აი, მაგალითი, სადაც

c = 2

A = [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]

, and

B = [\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 2 & 6 \end{array}]

თუ შევადარებთ თითოეული სვეტის ბოლო მატრიცებს, დავინახავთ, რომ ისინი ტოლფასია ნამდვილი რიცხვების განრიგებადობის კანონის გამო. მაგალითად,

2 (5 + 3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3

შესაბამისად, თავდაპირველი ორი გამოსახულებაც ტოლფასი უნდა იყოს!

$(c + d) A = c A + d A$ ‍

ეს თვისება ამბობს, რომ სკალარების შეკრებისას მატრიცის განრიგება შეგვიძლია.

აი, მაგალითი, სადაც

c = 2

d = 3

და

A = [\begin{array}{rr} 6 & 9 \\ 7 & 4 \end{array}]

კიდევ ერთხელ, ვხედავთ, რომ თითოეული სვეტის ბოლო მატრიცა ტოლფასია ნამდვილი რიცხვების ჯუფდებადობის გამო, რაც, ჩვენი სურვილისამებრ, თავდაპირველ გამოსახულებებს ტოლფასს ხდის!

ერთეულოვან მატრიცაზე გამრავლების თვისება: $1 A = A$ ‍

ეს თვისება ამბობს, რომ, როცა ნებისმიერ

A

მატრიცას ამრავლებთ სკალარ

1

–ზე, შედეგი თავდაპირველი

A

გამოსახულებაა.

ასე რომ, მაგალითისთვის, თუ

A = [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}]

, მაშინ გვექნება:

\begin{aligned} 1 [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 1 \cdot 2 & 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 7 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}] \end{aligned}

ყურადღება მიაქციეთ, რომ რადგან

1 \cdot a = a

ნებისმიერი ნამდვილი

a

-სთვის,

1

-ზე სკალარულ გამრავლებას ყოველთვის ექნება იგივეობის თვისება!

ნულზე გამრავლების თვისებები:

$0 \cdot A = O$ ‍

ეს თვისება ამბობს, რომ სკალარული გამრავლებისას,

0

–ჯერ ნებისმიერი

m \times n

სახის

A

მატრიცა არის

m \times n

ნულოვანი მატრიცა.

ეს ჭეშმარიტია ნამდვილ რიცხვთა სისტემაში ნულის იგივეობის თვისების გამო. თუ

a

ნამდვილი რიცხვია, ვიცით, რომ

0 \cdot a = 0

. შემდეგი მაგალითი ახდენს ამის ილუსტრირებას.

\begin{aligned} 0 [\begin{array}{rr} 3 & 8 \\ 6 & 7 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 0 \cdot 3 & 0 \cdot 8 \\ 0 \cdot 6 & 0 \cdot 7 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}

$c \cdot O = O$ ‍

ეს თვისება ამბობს, რომ ნებისმიერი სკალარი გამრავლებული ნულოვან მატრიაზე იგივე ნულოვანი მატრიცაა.

ეს თვისებაც ჭეშმარიტია ნამდვილ რიცხვთა სისტემაში ნულის იგივეობის თვისების გამო. აქ არის მაგალითი, სადაც

c = 3

და

O

არის

2 \times 2

ნულოვანი მატრიცა.

\begin{aligned} 3 [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ახლა, როცა გაეცანით სკალარული გამრავლების ყველა თვისებას, ვნახოთ, თუ შეძლებთ მათ გამოყენებას ტოლფასი მატრიცული გამოსახულებების დასადგენად.

ქვემოთ მოცემულ ამოცანებში

A

და

B

იყოს

2 \times 2

მატრიცები და

c

და

d

– სკალარები.

1) ჩამოთვლილთაგან რომელია $c (1 A + B)$ ‍–ის ტოლფასი?

მოცემული გვაქვს

c (1 A + B)

გამოსახულება.

ტოლფასი გამოსახულებების საპოვნელად შეგვვიძლია, გამოვიყენოთ მატრიცების თვისებები.

\begin{aligned} c (1 A + B) & = c (A + B) & გამრავლების იგივეობის თვისება \\ = c A + c B & განრიგებადობის კანონი \\ = c B + c A & შეკრების გადანაცვლებადობის კანონი \end{aligned}

აი, ტოლფაი გამოსახულებები:

$c A + c B$ ‍
$c B + c A$ ‍

2) ჩამოთვლილთაგან რომელია $(c d) A + 0 A$ ‍–ის ტოლფასი?

მოცემული გვაქვს

(c d) A + 0 A

გამოსახულება.

\begin{aligned} (c d) A + 0 A & = (c d) A + O & ნულზე გამრავლების თვისება \\ = (c d) A & ჯამის იგივეობის თვისება \\ = c (d A) & გამრავლების ჯუფდებადობის კანონი \end{aligned}

ასევე, განრიგებადობის კანონით ვიცით, რომ

(c d) A + 0 A = (c d + 0) A

აი, ტოლფაი გამოსახულებები:

$c (d A)$ ‍
$(c d + 0) A$ ‍

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ალგებრა (ყველა მასალა)