შებრუნებული ფუნქციები. შესავალი

შებრუნებული ფუნქციები, ყველაზე გავრცელებული გაგებით არის ფუნქციები რომლებიც „აბრუნებენ" ერთმანეთს.

მაგალითად, აქ ვხედავთ, რომ $f$f ფუნქციას $1$1 შეესაბამება $x$x-ს, $2$2- $z$z-ს და $3$3- $y$y-ს.

$f$f-ის შებრუნებული, რომელიც აღინიშნება $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript-ით (და იკითხება როგორც „$f$f-ის შებრუნებული"), შეაბრუნებს რუკაზე მოცემოლი ელემენტების ურთიერთდაკავშირების მიმართულებას. $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript ფუნქცია აკავშირებს $x$x-ს $1$1-თან, $y$y-ს - $3$3-თან და $z$z-ს - $2$2-თან.

ზოგადად, თუ $f$f ფუნქციაში $a$a შეესაბამება $b$b-ს, მაშინ $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript შებრუნებულ ფუნქციაში $b$b შეესაბამება $a$a-ს.

აქედან ვიღებთ შებრუნებული ფუნქციების ფორმალურ განმარტებას:

მოდით, ორიოდე მაგალითზე მუშაობით უფრო ღრმად გამოვიკვლიოთ ეს განსაზღვრება.

ვიგულისხმოთ, რომ $h$h ფუნქცია განისაზღვრება ზემოთმოყვანილი ასახვის დიაგრამით. რას უდრის $h^{-1}(9)$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis?

მოცემული გვაქვს ინფორმაცია $h$h ფუნქციის შესახებ და გვისვამენ შეკითხვას $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript ფუნქციის შესახებ. რადგან შებრუნებული ფუნქციები ერთმანეთს აბრუნებენ, საჭიროა შევაბრუნოთ ჩვენი აზროვნება.

კერძოდ, $h^{-1}(9)$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis-ის საპოვნელად შეგვიძლია, ვიპოვოთ $h$h-ის არგუმენტი. რომლის მნიშვნელობაცაა $9$9. ეს იმიტომ რომ თუ $h^{-1}(9)=x$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, მაშინ შებრუნებული ფუნქციების განსაზღვრების თანახმად, $h(x)=9$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9.

ასახვის დიაგრამიდან ვხედავთ, რომ $h(6)=9$h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9, შესაბამისად, $h^{-1}(9)=6$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.

ეს არის $g$g-ის გრაფიკი. მოდი ვიპოვოთ, რას უდრის $g^{-1}(-7)$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis

$g^{-1}(-7)$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis-ის საპოვნელად შეგვიძლია, ვიპოვოთ $g$g-ის არგუმენტი, რომელიც შეესაბამება $-7$minus, 7-ის მნიშვნელობას. ეს იმიტომ, რომ თუ $g^{-1}(-7)=x$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x, მაშინ, შებრუნებული ფუნქციების განსაზღვრების თანახმად, $g(x)=-7$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7.

გრაფიკიდან ვხედავთ რომ $g(-3)=-7$g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.

ამიტომ, $g^{-1}(-7)=-3$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.

ზემოთმოყვანილი მაგალითები გვიჩვენებენ ალგებრულ კავშირს ფუნქციასა და მის შებრუნებულს შორის, მაგრამ გვაქვს გრაფიკული კავშირიც!

გრაფიკსა და მნიშვნელობათა ცხრილში მოცემული $f$f ფუნქცია.

$f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript ფუნქციის არგუმენტებისა და მნიშვნელობების საპოვნელად შეგვიძლია, შევაბრუნოთ $f$f ფუნქციის არგუმენტები და მნიშვნელობები. ასე რომ, თუ $(a,b)$left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis არის $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis-ის გრაფიკზე, მაშინ $(b,a)$left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis იქნება $(b,a)$left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis-ის გრაფიკზე.

შედეგად გვაქვს ეს გრაფიკები და $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript-ის მნიშვნელობათა ცხრილი.

ერთად ამ გრაფიკების აღქმისას ვხედავთ რომ $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis-ის გრაფიკი და $y=f^{-1}(x)$y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis-ის გრაფიკი ერთმანეთის სიმეტრიულია $y=x$y, equals, x წრფის მიმართ.

ზოგადი გადმოსახედიდან მართალი იქნება: ფუნქცია და მისი შებრუნებული ერთმანეთის სიმეტრიულებია $y=x$y, equals, x წრფის მიმართ.

ერთი შეხედვით შეიძლება, დაუსაბუთებელად მოჩანდეს შებრუნებული ფუნქციებით დაინტერესება, მაგრამ, რეალურად, ჩვენ მათ ყოველთვის ვიყენებთ!

ჩათვალეთ რომ განტოლება $C=\dfrac59(F-32)$C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis გამოიყენება ცელსიუსებში ($C$C) მოცემული ტემპერატურის ფარენჰაიტებში ($F$F) გადასაყვანად.

მაგრამ ჩავთვალოთ, რომ გვინდოდა განტოლება, რომელიც შებრუნებას გააკეთებდა - გრადუსებში მოცემულ ტემპერატურას გადაიყვანდა ფარენჰაიტებში. ამას აღწერს ფუნქცია $F=\dfrac95C+32$F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32, იგივე მოცემული ფუნქციის შებრუნებული.

მეტად საფუძვლიან საფეხურზე, მათემატიკაში ბევრ განტოლებას ვხსნით „ცვლადის გამოცალკევების გზით". როდესაც გამოვაცალკევებთ ცვლადს, შეგვიძლია, რაც მის ირგვლივაა, იმის „ანულირება" მოვახდინოთ. ამგვარად, ამ განტოლებების ამოსახსნელად ჩვენ ვიყენებთ შებრუნებული ფუნქციების ცნებას.