ალგებრული მოდელების სიმეტრია

მაგრამ პირველ რიგში მოდით, გავიხსენოთ ფუნქციების სიმეტრიულობა.

ახლა გადავხედოთ მაგალითს.

ზამბარის $E(x)$E, left parenthesis, x, right parenthesis ენერგია, გაზომილი ჯოულებში, არის ზამბარის გაჩერებული მდგომარეობიდან გადაადგილების ფუნქცია, $x$x, გაზომილი მეტრებში, როცა დადებითი $x$x მიანიშნებს გაწელილ ზამბარაზე, უარყოფითი $x$x მიანიშნებს შეკუმშულ ზამბარაზე. $y=E(x)$y, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ.

რისი გაგება შეგვიძლია გამოსახულებაზე მისი გრაფიკის სიმეტრიულობიდან?

მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ცოდნა სიმეტრიაზე $E$E ფუნქციისთვის.

თუ $E$E ფუნქციის გრაფიკს ავრეკლავთ $y$y ღერძის მიმართ, ის საკუთარ თავს დაემთხვევა.

ესე იგი, $E$E ლუწი ფუნქციაა. ალგებრულად ეს ნიშნავს, რომ $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis ყველა $x$x-თვის.

რას ნიშნავს „$E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis ყველა $x$x-თვის”?

რდგან დებულება სამართლიანია ყველა $x$x-თვის, შეგვიძლია, ვთქვათ, რომ $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis სამართლიანია, როცა $x=2$x, equals, 2, $x=4$x, equals, 4, $x=10$x, equals, 10 და ა.შ. მოდით, დავიწყოთ იმაზე ფიქრით, თუ რას ნიშნავს ეს დებულება $x$x-ის კონკრეტული მნიშვნელობისთვის, ამ შემთხვევაში, როცა $x=2$x, equals, 2.

როცა $x=2$x, equals, 2, დებულება იღებს სახეს: $E(-2)=E(2)$E, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, 2, right parenthesis.

ორიენტირების მოხდენა იმაზე, თუ რას გამოხატავს თითოეული ცვლადი, დაგვეხმარება ამ ინტერპრეტაციის გაგებაში. გაიხსენეთ, რომ დადებითი არგუმენტი მიანიშნებს ზამბარის გაწელვაზე და უარყოფითი არგუმენტი მიანიშნებს ზამბარის შეკუმშვაზე, მნიშნვნელობა კი გამოხატავს ზამბარის ენერგიას.

როგორც ჩანს, $\purpleC{E}(\greenD{-2})=\purpleC{E}(\goldD{2})$start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, equals, start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis ნიშნავს, რომ $\greenD{\text{2 მეტრით შეკუმშული }\text{ზამბარის}}$start color #1fab54, start text, 2, space, მ, ე, ტ, რ, ი, თ, space, შ, ე, კ, უ, მ, შ, უ, ლ, ი, space, end text, start text, ზ, ა, მ, ბ, ა, რ, ი, ს, end text, end color #1fab54 $\purpleC{\text{ ენერგია}}$start color #aa87ff, start text, space, ე, ნ, ე, რ, გ, ი, ა, end text, end color #aa87ff იგივეა, რაც $\goldD{\text{2 მეტრით გაწელილი იმავე}\text{ ზამბარისა}}$start color #e07d10, start text, 2, space, მ, ე, ტ, რ, ი, თ, space, გ, ა, წ, ე, ლ, ი, ლ, ი, space, ი, მ, ა, ვ, ე, end text, start text, space, ზ, ა, მ, ბ, ა, რ, ი, ს, ა, end text, end color #e07d10.

ახლა უკვე მზად ვართ, განვმარტოთ ზოგადი მტკიცება $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis, რაც წარმოადგენს ჩვენს საბოლოო მიზანს.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითების გათვალისწინებით ვხედავთ, რომ $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis ნიშნავს, რომ $x$x მეტრით შეკუმშული ზამბარის ენერგია იგივეა, რაც $x$x მეტრით გაწელილი ზამბარისა.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გარკვეული სიდიდით შეკუმშული ზამბარის ენერგია იგივეა, რაც იმავე სიდიდით გაწელილი ზამბარისა.

ვცადოთ სხვა მაგალითი.

პრანავი ჩვეულებრივ იყენებს დღეში $20$20 კილოგრამ შეშას თავისი შეშის ღუმლისთვის, რათა სახლში ტემპერატურა იყოს $25$25 გრადუსი ცელსიუსი. ის ცდილობს, შეუსამაბოს დამწვარი შეშის $w$w რაოდენობა ტემპერატურის ცვლილებას. კერძოდ, დადებითი $w$w ნიშნავს $w$w კოლოგრამი შეშის დამატებას და უარყოფითი $w$w ნიშნავს $w$w კილოგრამი შეშის მოკლებას. $y=T(w)$y, equals, T, left parenthesis, w, right parenthesis გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ, სადაც $T(w)$T, left parenthesis, w, right parenthesis მიუთითებს პრანავის სახლში ტემპერატურის ცვლილებაზე.

$T$T ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის მიმართ.

ესე იგი, $T$T კენტი ფუნქციაა. ალგებრულად ეს ნიშნავს, რომ $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis ყველა $w$w-თვის.

ამ შემთხვევაში სიმეტრიის განმარტებისთვის გვჭირდება შემდეგი მათემატიკური მტკიცების გადათარგმნა: „$w$w-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis” კონტექსტის მიხედვით.

კიდევ ერთხელ, მოდით, დავიწყოთ იმაზე ფიქრით, თუ რას ნიშნავს ეს დებულება $w$w-ს კონკრეტული მნიშვნელობისთვის. შემდეგ შეგვიძლია, დავბრუნდეთ უკან და განვაზოგადოთ.

ამის ამოსახსნელად გაიხსენეთ, რომ დადებითი არგუმენტი ნიშნავს შეშის დამატებას, უარყოფითი არგუმენტი ნიშნავს შეშის დაკლებას ხოლო ფუნქციის მნიშვნელობა ტემპერატურის ცვლილებაა.

ესე იგი: $\blueC{T}(\maroonC{-1})=-{\blueC T}(\purpleD{1})$start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #ed5fa6, minus, 1, end color #ed5fa6, right parenthesis, equals, minus, start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #7854ab, 1, end color #7854ab, right parenthesis ნიშნავს, რომ $\blueC{\text{ტემპერატურის ცვლილება}}$start color #63d9ea, start text, ტ, ე, მ, პ, ე, რ, ა, ტ, უ, რ, ი, ს, space, ც, ვ, ლ, ი, ლ, ე, ბ, ა, end text, end color #63d9ea, რომელიც $\maroonC{1 \text{-ით ნაკლები კილოგრამი შეშის}}$start color #ed5fa6, 1, start text, negative, ი, თ, space, ნ, ა, კ, ლ, ე, ბ, ი, space, კ, ი, ლ, ო, გ, რ, ა, მ, ი, space, შ, ე, შ, ი, ს, end text, end color #ed5fa6 დაწვის შედეგია, არის $\purpleD{1 {\text {-ით მეტი კილოგრამი შეშის}}}$start color #7854ab, 1, start text, negative, ი, თ, space, მ, ე, ტ, ი, space, კ, ი, ლ, ო, გ, რ, ა, მ, ი, space, შ, ე, შ, ი, ს, end text, end color #7854ab დაწვის შედეგად ტემპერატურის ცვლილების საპირისპირო.

ახლა უკვე მზად ვართ, განვმარტოთ და განვაზოგადოთ სიმეტრია ზოგადი $w$w-თვის.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დამწვარი შეშის შემცირება და გაზრდა ერთისა და იმავე რაოდენობით ზუსტად საპირისპირო გავლენას ახდენს სახლის ტემპერატურაზე.

საზოგადოდ, ფუნქციის გრაფიკზე სიმეტრიის მნიშვნელობის განმარტებისთვის სასარგებლოა, გააკეთოთ შემდეგი:

ნაბიჯი $1$1: დაადგინეთ, ფუნქცია კენტია თუ ლუწი და გაარკვიეთ, რას ნიშნავს ეს ალგებრულად.

ნაბიჯი $2$2: გაიაზრეთ, რას წარმოადგენს თითოეული ცვლადი კონტექსტის მიხედვით.

ნაბიჯი $3$3: იფიქრეთ მტკიცებაზე, რომელიც იყენებს ცვლადების მნიშვნელობას და ადარებს მიღებულ მნიშვნელობებს მოპირდაპირე არგუმენტებისთვის.

ტრუდი ახალი სახის ავტომობილის მართვას სწავლობს. ავტომობილის სიჩქარე მბრუნავი სახელურის ადგილმდებარეობით განისაზღვრება. ავტომობილის $V(x)$V, left parenthesis, x, right parenthesis სიჩქარე, მოცემული მილით საათში, არის სახელურის $x$x ადგილმდებარეობის ფუნქცია. მიაქციეთ ყურადღება: $x>0$x, is greater than, 0 ნიშნავს, რომ სახელური მობრუნებულია $x$x ერთეულით საათის ისრის მიმართულებით და $x<0$x, is less than, 0 ნიშნავს, რომ სახელური მობრუნებულია $x$x ერთეულით საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით.

$y=V(x)$y, equals, V, left parenthesis, x, right parenthesis გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ.