If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 7

გაკვეთილი 15: ფუნქციების შედგენა (ალგებრა - მეორე დონე)

ფუნქციების შედგენა

გადახედეთ მაგალითებს, ახსნებს და სავარჯიშოებს, რომ გაიგოთ, როგორ იპოვოთ და შეაფასოთ შედგენილი ფუნქციები.
ორი მოცემული ფუნქციის გაერთიანება ისე შეგვიძლია, რომ ერთი ფუნქციის მნიშვნელობა მეორის არგუმენტი გახდეს. ეს მოქმედება განსაზღვრავს შედგენილ ფუნქციას. მოდით, ვნახოთ, თუ რას ნიშნავს ეს!

შედგენილი ფუნქციების გამოთვლა

მაგალითი

თუ f(x)=3x1 და g(x)=x3+2, მაშინ რას უდრის f(g(3))?

ამოხსნა

f(g(3))–ის გამოთვლის ერთი გზა არის „შიგნიდან გარეთ" მუშაობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით, ჯერ გამოვთვალოთ g(3) და შემდეგ შედეგი f–ში ჩავსვათ, რომ ვიპოვოთ პასუხი.
მოდით, გამოვთვალოთ g(3).
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   ჩასვით x=3.=29
რადგან g(3)=29, მაშინ f(g(3))=f(29).
ახლა მოდით, გამოვთვალოთ f(29).
f(x)=3x1f(29)=3(29)1               ჩასვით x=29.=86
აქედან გამომდინარეობს, რომ f(g(3))=f(29)=86.

შედგენილი ფუნქიის პოვნა

ზედა მაგალითში g ფუნქციამ 3 აქცია 29–ად და შემდეგ f ფუნქციამ 29 აქცია 86–ად. მოდით, ვიპოვოთ ფუნქცია, რომელიც 3–ს პირდაპირ 86–ად აქცევს.
ამის გასაკეთებლად საჭიროა ორი ფუნქციის კომპოზიცია, რომ ვიპოვოთ f(g(x)).

მაგალითი

რას უდრის f(g(x))?
ცნობისთვის, დაიმახსოვრეთ, რომ f(x)=3x1 და g(x)=x3+2.

ამოხსნა

თუ უფრო ახლოდან დავაკვირდებით f(g(x)) გამოსახულებას, დავინახავთ, რომ g(x) არის f ფუნქციის არგუმენტი. ასე რომ, მოდით g(x) ჩავსვათ f ფუნქციაში ყველგან, სადაც დავინახავთ x–ს.
f(x)=3x1f(g(x))=3(g(x))1
რადგან g(x)=x3+2, g(x)–ის ნაცვლად შეგვიძლია, ჩავსვათ x3+2.
f(g(x))=3(g(x))1=3(x3+2)1=3x3+61=3x3+5
ამ ახალმა ფუნქიამ 3 პირდაპირ 86–ად უნდა აქციოს. მოდით, შევამოწმოთ, ასეა თუ არა.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86
შესანიშნავია!

მოდით, ვივარჯიშოთ

ამოცანა 1

f(x)=3x1
g(x)=x3+2
გამოთვალეთ g(f(1)).
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi ან 2/3 pi

ამოცანა 2

m(x)=3x2
n(x)=x+4
იპოვეთ m(n(x)).

შედგენილი ფუნქციები: ფორმალური განმარტება

ზედა მაგალითში ჩვენ ვიპოვეთ და გამოვთვალეთ შედგენილი ფუნქცია.
ზოგადად, რომ გამოვთვალოთ f და g ფუნქციების კომპოზიცია, შეგვიძლია, დავწეროთ fg, რაც იკითხება, როგორც „f და g" ფუნქციების კომპოზიცია. ეს კომპოზიცია განისაზღვრება შემდეგი წესით:
(fg)(x)=f(g(x))
ქვემოთ მოცემული დიაგრამა გვაჩვენებს (fg)(x)–სა და f(g(x))–ს შორის დამოკიდებულებას.
ახლა მოდით, ახალი განსაზღვრების გათვალისწინებით დავაკვირდეთ სხვა მაგალითს.

მაგალითი

g(x)=x+4
h(x)=x22x
იპოვეთ (hg)(x) და (hg)(2).

ამოხსნა

(hg)(x) შეგვიძლია, ვიპოვოთ შემდეგნაირად:
(hg)(x)=h(g(x))განსაზღვრეთ.=(g(x))22(g(x))ჩასვითg(x) x-ის ნაცვლად  ფუნქციაში h.=(x+4)22(x+4)ჩაანაცვლეთx+4 g(x)-ს .=x2+8x+162x8გადაანაწილეთ.=x2+6x+8გააერთიანეთ მსგავსი წევრები.
რადგან ახლა გვაქვს hg ფუნქცია, შეგვიძლია x–ის ნაცვლად ჩავსვათ 2, რომ ვიპოვოთ (hg)(2).
(hg)(x)=x2+6x+8(hg)(2)=(2)2+6(2)+8=412+8=0
რა თქმა უნდა, (hg)(2)–ის პოვნა h(g(2))–ის გამოთვლითაც შეგვეძლო. ეს ქვემოთაა ნავენები:
(hg)(2)=h(g(2))=h(2)        რადგან g(2)=2+4=2=0             რადგან h(2)=222(2)=0
ქვედა დიაგრამა გვაჩვენებს (hg)(2)–ის და h(g(2))–ის დამოკიდებულებას.
აქ ვხედავთ, რომ g ფუნქცია 2–ს აქცევს 2–ად და რომ h ფუნქცია 2–ს აქცევს 0–ად, ხოლო hg ფუნქცია 2–ს პირდაპირ აქცევს 0–ად.

ახლა მოდით, ვივარჯიშოთ რამდენიმე ამოცანაზე

ამოცანა 3

f(x)=3x5
g(x)=32x
გამოთვალეთ (gf)(3).
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3/5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7/4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1 3/4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0.75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12 pi ან 2/3 pi

მე–4 და მე–5 ამოცანებში ვთქვათ, რომ f(t)=t2 და g(t)=t2+5.

ამოცანა 4

იპოვეთ (gf)(t).

ამოცანა 5

იპოვეთ (fg)(t).

რთული ამოცანა

y=f(x)–ისა და y=g(x)–ის გრაფიკები ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ბადეზე.
ჩამოთვლილთაგან ყველაზე მეტად რომელი უახლოვდება (fg)(8)–ის მნიშვნელობას?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.