If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 11

გაკვეთილი 25: ლოგარითმის ფუძის ცვლილების ფორმულა (ალგებრა - მეორე დონე)

ლოგარითმის ფუძის შეცვლა. შესავალი

ისწავლეთ, როგორ გადაწეროთ ნებისმიერი ლოგარითმი განსხვავებული ფუძის მქონე ლოგარითმების სახით. ეს ძალიან გამოსადეგია კალკულატორზე ლოგარითმების საპოვნევლად!
წარმოიდგინეთ, რომ ვეძებთ log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis–ის მნიშვნელობას. ვინაიდან 50 არ არის 2–ის რაციონალური ხარისხი, მოცემული გამოსახულების მნიშვნელობის პოვნა კალკულატორის გარეშე რთულია.
მაგრამ კალკულატორების უმრავლესობა ლოგარითმებს 10-ის ან e-ს ფუძით პოულობს. ამიტომ, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis-ის მნიშვნელობის საპოვნელად თავდაპირველად უნდა შევცვალოთ ლოგარითმის ფუძე.

ფუძის ცვლილების წესი

ჩვენ შეგვიძლია, ნებისმიერი ლოგარითმის ფუძე შევცვალოთ შემდეგი წესის გამოყენებით:
ჩანიშვნები:
  • ამ თვისების გამოყენებით შეგიძლიათ, ლოგარითმი ნებისმიერი ფუძე start color #0d923f, x, end color #0d923f–ით შეცვალოთ.
  • როგორც ყოველთვის, ლოგარითმების არგუმენტები უნდა იყოს დადებითი, ლოგარითმის ფუძეებიც უნდა იყოს დადებითი და არა 1-ის ტოლი, რომ ეს მახასიათებელი შენარჩუნდეს!

მაგალითად: ვიპოვოთ log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis

თუ თქვენი მიზანია ლოგარითმის მნიშვნელობის გაგება, შეცვალეთ ფუძე 10–ით ან e–ით, რადგან ამ ლოგარითმების გამოთვლა თითქმის ყველა კალკულატორს შეუძლია.
ასე რომ, მოდით, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis–ის ფუძე შევცვალოთ start color #1fab54, 10, end color #1fab54–ით.
ამისათვის ვიყენებთ ფუძის ცვლილების წესს, სადაც: b, equals, 2, a, equals, 50 და x, equals, 10.
log2(50)=log10(50)log10(2)ფუძის შეცვლის წესი=log(50)log(2)რადგანlog10(x)=log(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&\small{\gray{\text{ფუძის შეცვლის წესი}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&\small{\gray{\text{რადგან} \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
ახლა შეგვიძლია, მნიშვნელობა ვიპოვოთ კალკულატორის გამოყენებით.
log2(50)5,644\begin{aligned}\phantom{\log_2(50)}\approx 5{,}644 \end{aligned}

შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა

1) გამოთვალეთ log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

1) გამოთვალეთ log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

1) გამოთვალეთ log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis.
პასუხი დაამრგვალეთ უახლოეს მეათასედამდე.
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

ფუძის ცვლილების წესის განხილვა

ამ წუთისათვის შეიძლება, ფიქრობთ, „დიდებულია, მაგრამ რატომ მუშაობს ეს წესი?"
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction, left arrow, start color #e07d10, start text, ფ, უ, ძ, ი, ს, space, ც, ვ, ლ, ი, ლ, ე, ბ, ი, ს, space, წ, ე, ს, ი, end text, end color #e07d10
ამის გამოსაკვლევად დავუბრუნდეთ თავდაპირველ გამოსახულებას log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. თუ დავუშვებთ, რომ log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n, მაშინ 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50.
ვინაიდან ეს ორი მნიშვნელობა ტოლია, შეგვიძლია, ორივე მხარეს ავიღოთ ლოგარითმი ნებისმიერი ფუძით. მივიღეთ:
2n=50logx(2n)=logx(50)If Y=Z, შემდეგ logx(Y)=logx(Z)nlogx(2)=logx(50)ხარისხის წესიn=logx(50)logx(2)გაყავით ორივე მხარე logx(2)-ზე\begin{aligned} 2^n &= 50 \\\\ \log_x(2^n) &= \log_x(50)&&\small{\gray{\text{If $Y=Z$, შემდეგ $\log_x(Y)=\log_x(Z)$}}} \\\\ n\log_x(2)&=\log_x(50)&&\small{\gray{\text{ხარისხის წესი}}}\\\\ n &= \dfrac{\log_x(50)}{\log_x(2)} &&\small{\gray{\text{გაყავით ორივე მხარე $\log_x(2)$-ზე}}}\end{aligned}
რადგან n, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, გვაქვს log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, როგორც გვინდოდა!
იგივე ლოგიკით შეგვიძლია, დავამტკიცოთ ფუძის ცვლილების წესი. უბრალოდ 2–ის ნაცვლად დავწეროთ b და 50–ის ნაცვლად დავწეროთ a და დამტკიცებაც დასრულებულია!

რთული ამოცანები

1) გამოთვალეთ start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction კალკულატორის გარეშე.
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) რომელი გამოსახულებაა log, left parenthesis, 6, right parenthesis, dot, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis-ის ტოლფასი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.