If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 16

გაკვეთილი 1: რას წარმოადგენს წარმოსახვითი რიცხვები?
მათემატიკა
ალგებრა (ყველა მასალა)
კომპლექსური რიცხვები
რას წარმოადგენს წარმოსახვითი რიცხვები?
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

წარმოსახვითი რიცხვები. შესავალი

Google–ის საკლასო ოთახი
გაიგეთ მეტი წარმოსახვით ერთეულებზე, წარმოსახვით რიცხვებზე და უარყოფითი რიცხვების კვადრატულ ფესვებზე.
მათემატიკის სწავლისას ალბათ შენიშნეთ, რომ ზოგიერთ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს არცერთი ნამდვილი ამონახსნი.
მაგალითად, რაც არ უნდა მოინდომოთ, ვერ იპოვით ისეთ ნამდვილ რიცხვს, რომელიც არის x, squared, equals, minus, 1 განტოლების ამონახსნი. ამის მიზეზი არის ის, რომ შეუძლებელია ნამდვილი რიცხვი აიყვანო კვადრატში და მიიღო უარყოფითი რიცხვი!
თუმცა, x, squared, equals, minus, 1 განტოლების ამონახსნი არსებობს ახალ ნამდვილ რიცხვთა სისტემაში, რომელსაც კომპლექსურ რიცხვთა სისტემა ეწოდება.

წარმოსახვითი ერთეული

ამ ახალი რიცხვთა სისტემის საფუძველი არის წარმოსახვითი ერთეული, იგივე, რიცხვი i.
შემდეგი ტოლობა სწორია i რიცხვისათვის:
  • i, equals, square root of, minus, 1, end square root
  • i, squared, equals, minus, 1
მეორე თვისება გვაჩვენებს, რომ i რიცხვი ნამდვილად არის x, squared, equals, minus, 1 განტოლების ამონახსნი. წარმოსახვითი ერთეულის დამატებით ადრე ამოუხსნადი განტოლება ახლა იხსნება!

წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები

i არ არის მარტო! ამ წარმოსახვითი ერთეულის ჯერადების აღებით შეგვძლია, უთვალავი რაოდენობის წმინდა წარმოსახვით რიცხვი შევქმნათ.
მაგალითად, 3, i–იც, i, square root of, 5, end square root–იც და minus, 12, i–იც წმინდა წარმოსახვითი რიცხვებია, ანუ b, i ფორმის რიცხვი, სადაც b ნულისგან განსხვავებული ნამდვილი რიცხვია.
ამ რიცხვების კვადრატში აყვანა ცოტა ნათელს ფენს იმას, თუ როგორ უკავშირდება ისინი ნამდვილ რიცხვს. მოდით, ეს გამოვიკვლიოთ 3, i–ს კვადრატში აყვანით. მთელი ხარისხების თვისება იგივე რჩება, ასე რომ, 3, i–ის კვადრატში აყვანა შეგვიძლია, ისე, როგორც ვვარაუდობთ.
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ i, squared, equals, minus, 1, ეს კიდევ შეგვიძლია, გავამარტივოთ, როგორც ნაჩვენებია.
(3i)2=9i2=9(−1)=−9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
ის ფაქტი, რომ left parenthesis, 3, i, right parenthesis, squared, equals, minus, 9 ნიშნავს, რომ 3, i არის minus, 9-ის კვადრატული ფესვი.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

რას უდრის left parenthesis, 4, i, right parenthesis, squared?
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

ჩამოთვლილთაგან რომელია minus, 16–ის კვადრატული ფესვი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამ გზით ვხედავთ, რომ წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები უარყოფითი რიცხვების კვადრატული ფესვებია!

წმინდა წარმოსახვითი რიცხვების გამარტივება

ცხრილი გვაჩვენებს წმინდა წარმოსახვითი რიცხვების მაგალითებს რთული და გამარტივებული ფორმებით.
გაუმარტივებელი ფორმაგამარტივებული ფორმა
square root of, minus, 9, end square root3, i
square root of, minus, 5, end square rooti, square root of, 5, end square root
minus, square root of, minus, 144, end square rootminus, 12, i
მაგრამ როგორ ვამარტივებთ ამ წმინდა წარმოსახვით რიცხვებს?
მოდით, ახლოდან დავაკვირდეთ პირველ მაგალითს და ვნახოთ, თუ მოვიფიქრებთ გამარტივების გზას.
საწყისი ტოლობააზროვნების პროცესი
−9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}minus, 9-ის კვადრატული ფესვი წარმოსახვითი რიცხვია. 9-ის კვადრატული ფესვი უდრის 3-ს, ასე რომ უარყოფითი 9-ის კვადრატული ფესვი არის start text, 3, end text წარმოსახვითი ერთეული, ან 3, i.
შემდეგი თვისება ზემოთ მოცემულ „აზროვნების პროცესს" ხსნის მათემატიკური ტერმინებით.
თუ a, is greater than, 0, square root of, minus, a, end square root, equals, i, square root of, a, end square root
თუ თავს მოვუყრით ყველაფერს, რაც ვიცით ფესვების შესახებ, შეგვიძლია, გავამარტივოთ წმინდა წარმოსახვითი რიცხვები. მოდით, შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი

გაამარტივეთ square root of, minus, 18, end square root.

ამოხსნა

პირველ რიგში, დავაკვირდეთ, რომ square root of, minus, 18, end square root არის წარმოსახვითი რიცხვი, რადგან იგი არის უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი. ასე რომ, შეგვიძლია, square root of, minus, 18, end square root–ის ჩაწერა დავიწყოთ, როგორც i, square root of, 18, end square root.
შემდეგ შეგვიძლია, square root of, 18, end square root გავამარტივოთ იმის გამოყენებით, რაც უკვე ვიცით ფესვების შესახებ.
ეს ნამუშევარი ქვემოთ არის ნაჩვენები.
−18=i18For a>0, −a=ia=i⋅9⋅29 არის 18-ის გამყოფი სრული კვადრატი=i9⋅2ab=a⋅b როცაa,b≥0=i⋅3⋅29=3=3i2გამრავლება კომუტატიურია\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{For $a>0$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$ არის $18$-ის გამყოფი სრული კვადრატი}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ როცა} a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{გამრავლება კომუტატიურია}}} \end{aligned}
შედეგად, square root of, minus, 18, end square root, equals, 3, i, square root of, 2, end square root.

მოდით, ვივარჯიშოთ რამდენიმე ამოცანაზე

ამოცანა 1

გაამარტივეთ square root of, minus, 25, end square root.

ამოცანა 2

გაამარტივეთ square root of, minus, 10, end square root.

ამოცანა 3

გაამარტივეთ square root of, minus, 24, end square root.

მაინც რატომ გვაქვს წარმოსახვითი რიცხვები?

პასუხი მარტივია. i წარმოსახვითი ერთეული საშუალებას გვაძლევს ბევრი ისეთი განტოლების ამონახსნი ვიპოვოთ, რომელთაც მთელი ამონახსნი არ აქვთ.
ეს შეიძლება, უცნაურად მოგვეჩვენოს, მაგრამ საკმაოდ გავრცელებულია, განტოლება არ იხსნებოდეს ერთ რიცხვთა სისტემაში, მაგრამ იხსნებოდეს სხვა, უფრო ზოგად რიცხვთა სისტემაში.
აქ არის რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც შეიძლება, უკეთ იცოდეთ.
  • მხოლოდ ნატურალური რიცხვებით ვერ ამოვხსნით x, plus, 8, equals, 1–ს; ამისთვის მთელი რიცხვები გვჭირდება!
  • მოლოდ მთელი რიცხვებით ვერ ამოვხსნით 3, x, minus, 1, equals, 0–ს; ამისათვის რაციონალური რიხვები გვჭირდება!
  • მხოლოდ რაციონალური რიცხვებით ვერ ამოვხსნით x, squared, equals, 2–ს. გავეცნოთ ირაცონალური რიცხვებსა და ნამდვილი რიცხვების სისტემას!
ასე რომ, მხოლოდ მთელი რიცხვებით ვერ ამოვხსნით x, squared, equals, minus, 1–ს. ამისათვის წარმოსახვითი რიცხვები გვჭირდება!
მათემატიკის სწავლის გაგრძელებასთან ერთად დაინახავთ ამ რიცხვების მნიშვნელობას.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.